9.Сменная производительность труда бригады рабочих описывается функцией у = –0,0033 t2 – 0,08t + 20,96, где t – время в часах. Определить объём выпуска продукции в течение года (за 240 рабочих дней), если смена длится 7 ч.

Вычислить прибыль, если заводская оптовая цена единицы продукции равна 200 р., её себестоимость – 100 р., а количество бригад – 10.

10.Потребление электроэнергии (в кВт) городскими предприятиями и

населением города с 8 до 18 ч приближённо описывается функцией y = 10000 – 8t + 15t2, где t – время в часах. Вычислить стоимость электроэнергии, потребляемой городом, если стоимость 1 кВт/ч равна 4 к.

11. Поступление товара на склад описывается функцией v = 0,006t2 –

– 0,t + 75, а реализация этих товаров торгующей организацией описывается функцией v2 = 0,003t2 – 0,4t + 56, где t – количество дней. Определить запас товара в условных единицах по истечении 60 рабочих дней, если исходного товара на складе не было.

12.Завод выпускает 40 000 единиц в год определённого вида продукции,

акаждый последующий год выпуск продукции непрерывно увеличивается на 1000 единиц. Определить сумму амортизационных отчислений за 10 лет при норме амортизации, равной 1,2% от себестоимости выпускаемой продукции, если себестоимость одной единицы продукции 120 р.

4.РЯДЫ

4.1. Вычисление конечных сумм

Введём следующие обозначения: сумму первых п членов последовательности {an }

a1 +a2 +...+ an

Задачи о вычислении подобных сумм в общем случае алгоритмически неразрешимы; в отдельных случаях могут быть использованы специальные приёмы. Приведём некоторые из них.

4.1.1. Взаимное уничтожение последовательных членов.

Решение. Выполним следующие преобразования общего члена:

59

Следовательно,

Sm =(ln1−ln 2 +ln 2 −ln3 +...+ln(m −2) −ln (m −1) +ln(m −1) −ln m) +

+(ln3 −ln 2 +ln 4 −ln3 +...+ln m −ln (m −1) +ln(m +1) −ln m) =

=(ln1−ln m) +(−ln 2 +ln (m +1)) = ln m +1.

2m

Таким образом,

Sm = ln m +1. 2m

4.1.2. Приём разложения правильной рациональной дроби на простейшие:

Решение. Используем для общего члена суммы равенство (4.1.1):

60

Решение. Представим общий член в виде

Теперь имеем геометрическую прогрессию, в которой

В общем случае сумма первых т членов геометрической прогрессии

Sm = а1 (1−qm ) . 1−q

Значит, Sm = 53 1− 23 т .

4.2. Числовые ряды. Основные понятия. Простейшие свойства

4.2.1. Рассмотрим произвольную бесконечную последовательность действительных чисел w1 , w2 , w3 , ..., wn , ... . Формально построим бесконечную

сумму вида

w1 + w2 + w3 +...+ wn +...

или, коротко,

∞

∑wn . (4.2.1)

n=1

Её будем называть числовым рядом; общий член последовательности {wn } называем общим членом ряда (4.2.1) .

Конечная сумма первых п членов

Sn = w1 +w2 +w3 +...+wn

именуется n-й частичной суммой ряда; при этом, по определению, S1 = w1 . Если существует предел вида

S = lim Sn ,

n→∞

то числовой ряд (4.2.1) называется сходящимся, в противном случае – расхо-

дящимся.

Число S назовём суммой сходящегося ряда; говорят также, что ряд (5.2.1) сходится к сумме S, и применяют запись

∞

S = ∑wn .

n=1

Основная задача в теории числовых рядов – получить ответ на вопрос, сходится или расходится данный ряд; вопрос о его сумме можно ставить

61

лишь тогда, когда доказана сходимость. Сумму же сходящегося ряда можно вычислить приближённо, взяв достаточно большое количество n членов в составе его частичной суммы Sn ; при этом точность вычисления увеличива-

ется с ростом n.

Пример 1. Доказать, что ряд

∑∞ 1

n=1 n(n +1)

сходится и найти его сумму.

Решение. Согласно вышеприведённым определениям вычислим частичную сумму произвольного (n-го) порядка, использовав приёмы 4.1.1, 4.1.2. Преобразуем общий член ряда к виду

и сложим первые n членов. При этом видим, что члены, начиная со второго и кончая предпоследним, будут взаимно уничтожаться:

∑∞ 1 , p R,

n=0 n p

называется обобщённым гармоническим или рядом Дирихле. Как оказывается, он сходится при p >1 и расходится при остальных действительных зна-

чениях p.

Пример 2. Доказать расходимость гармонического ряда.

Решение. Поведение частичных сумм ряда определится следующей оценкой его общего члена:

1 > ln(n +1) −ln n , n

известной из элементарной математики.

62

Частичная сумма n-го порядка

имеет оценку снизу

Sn > (ln 2 −ln1) +(ln3−ln 2) +...+(ln n −ln(n −1)) +(ln(n +1) −ln n) = ln(n +1),

откуда вытекает, что Sn →∞ вместе с ln(n +1) при n →∞ .

Итак, исследуемый ряд расходится. Интересна следующая интерпретация полученного результата. Допустим, что человек делает шаг, затем ещё полшага, затем треть, четверть шага и т.д. Как далеко он при этом уйдёт?

Ясно, что для ответа на этот вопрос следует сложить числа

1, 12 , 13 , 14 , ..., т.е найти сумму ряда 1+ 12 + 13 +...+ 1n +...,

которая, как мы только что выяснили, оказывается бесконечной. Следовательно, человек при описанном процессе уйдёт как угодно далеко.

4.2.2. Свойства сходящихся рядов. Пусть даны произвольные действительные числа τ, ρ и сходящиеся числовые ряды

n=1

сходится и его сумма равна τU +ρV .

В частности, при ρ= 0 , τ≠ 0 получаем, что ряд

∞

∑τun

n=1

имеет то же поведение, что и

∞

∑un .

n=1

Если исходный ряд был сходящимся, то его сумма умножится на τ. 4.2.3. Пусть {wn } – бесконечная последовательность. Ряд вида

N-й остаток (4.2.4) есть ряд, полученный отбрасыванием в формуле (4.2.1) первых N членов.

63