3.2.Определённый интеграл

3.2.1.К понятию определённого интеграла приводит следующая задача

онахождении площади криволинейной трапеции. Пусть такая трапеция ог-

раничена отрезком [a, b] оси абсцисс, прямыми x = a, y =b и графиком непрерывной на [a, b] функции y = f (x) ; для определённости считаем f (x) ≥ 0 на [a, b] .

Выделим отрезок [x, x + x] малой длины x. Площадь соответствую-

щей «полоски» может быть приближённо вычислена как площадь прямоугольника со сторонами длины x и f (x) , где точка x [x, x + x] – произ-

вольна: S = f (x ) x . Разобьём всю криволинейную трапецию на такие по-

лоски, пронумеруем их (пусть их число равно n) и вычислим приближённо искомую площадь как сумму площадей полосок:

Устремляя к нулю каждую из длин xk , будем получать всё более точ-

ное приближение к площади S. В качестве точного её значения естественно принять предел (при стремлении к нулю всех xk ) последовательности сумм

(3.2.1). Можно доказать, что при сформулированных условиях указанный предел существует и является одним и тем же числом для всевозможных раз-

биений трапеции на полоски и выбора «промежуточных» точек xk .

Сконструированный предел «интегральных» сумм вида (3.2.1) называется определённым интегралом функции f (x) по отрезку [a, b] и обозначается

b

∫ f (x) dx .

a

Можно доказать, что функция вида

x

F (x) = ∫ f (τ) dτ

a

41

(она называется интегралом с переменным верхним пределом) является одной из первообразных для f (x) :

F ′(x) = f (x) ;

её приращение F (b) − F (a) есть площадь S криволинейной трапеции. Таким образом, приходим к следующей формуле Ньютона–Лейбница:

Площадь S криволинейной трапеции вычисляется теперь по формуле

(3.2.2).

3.2.2. Как и для неопределённого интеграла, здесь сохраняется свойство линейности. Кроме того, для любых чисел a, b, c :

3) ∫f (x)dx = ∫f (x)dx + ∫f (x)dx .

3.2.3. Формула интегрирования по частям:

∫udv =uv ba − ∫vdu .

a a

3.2.4. Если x =ϕ(t) монотонна на [α, β] , например, возрастает от x = a

к x =b при α ≤t ≤β , то формула замены переменных имеет вид

b β

∫ f (x)dx = ∫ f (ϕ(t))ϕ′(t)dt

a α

(знак «минус» в правой части – в случае убывания ϕ(t)) .

Заменяя переменную под знаком определённого интеграла, следует переходить к новым пределам интегрирования, и, найдя первообразную, к старой переменной не возвращаться.

Пример 1.

42

Решение. Сделаем замену переменных t = x −2 , откуда t 2 = x −2, x =t 2 +2, dx = 2td . Новые пределы интегрирования α и β опре-

43

e

Пример 4. J = ∫ln xdx .

1 x

Решение. Согласно п. 3.1.5 следует интегрировать по частям: u =ln x,du = dx ;

3.2.5. Задачи для самостоятельного решения. Найти определённые интегралы.

3.3.Несобственные интегралы

3.3.1.Интегралы с бесконечными пределами интегрирования опреде-

ляются следующим образом ( f (x) полагаем непрерывной на соответствую-

щих интервалах):

(относительно последних двух интегралов см. п. а), б)).

Если в случаях а), б) указанный предел не существует или бесконечен, то интеграл называется расходящимся. В случае же в) исходный интеграл считается расходящимся, если таковым является хотя бы один из интегралов в правой части равенства.

44

3.3.2. Интегралы от функций с разрывами второго рода определяются следующим образом (в п. а) и б) параметр ε >0 ):

а) f (x) имеет разрыв на левом конце отрезка, тогда

б) f (x) имеет разрыв на правом конце отрезка, тогда

в) f (x) имеет разрыв в точке c (a, b) , тогда

b c b

∫ f (x)dx = ∫ f (x)dx + ∫ f (x)dx

a a c

(относительно последних двух интегралов см. п. а), б)).

В случаях если соответствующий предел не существует или бесконечен (см. п. а), б)), интеграл называется расходящимся; расходимость в случае п. в) определяется аналогично п. 3.3.1, в).

Замену переменных под знаком несобственного интеграла можно осуществить по той же схеме, что и под знаком определённого интеграла.

Пример 1. Вычислить несобственный интеграл

положим затем t = x + 1 , тогда dx = dt . При этом новые пределы интегриро- 3

вания, определяемые по старым (a = −∞, b = −1 3) формулой t = x + 1 , будут

3

такими: α = −∞; β = 0 . Имеем

Получив интеграл табличного типа, воспользуемся определением 3.3.1, б) интеграла с бесконечным нижним пределом

45

нием 3.3.1, а) несобственного интеграла с бесконечным верхним пределом

т.е. интеграл является расходящимся.

Замечание. Приведённые примеры показывают, что формула Ньютона– Лейбница (3.2.1) распространяется на несобственные интегралы в виде

∞ b

∫ f (x)dx = F(+∞) − F(a); ∫ f (x)dx = F(b) − F(−∞) ;

a−∞

впростейших случаях (если в результате не получается неопределённости) можно пользоваться непосредственно последними соотношениями.

Например,

имеет разрыв (2-го рода) в концевой точке x = 2 . Удобно (прежде чем пользоваться определением 3.3.2) сделать замену переменных t = 2 − x + 2 ; при этом пределы интегрирования определяются следующим образом:

a = −1, α = 2 − −1+2 =1; b = 2, β = 2 − 4 = 0 .

46