3.ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

3.1.Неопределённый интеграл

Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Элементы математического анализа - компетентностный подход. Учебное пособие.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

15.08.2026

Размер:

846 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 136 7 8 9 10 11 12 13 > Следующая >>>

2. Исследуем функцию z = z(x) на экстремум (безусловный).

Имеем z′(x) = 2x −2(2 − x) = 2(2x −2). Определяем критическую точку:

x0 = 1.

Так как производная при переходе через точку x0 = 1 меняет знак с «−» на «+», то в этой точке функция z = z(x) имеет минимум.

Из уравнениясвязиопределяемy0 = 2 −x0 = 1 . Следовательно, точка(1, 1) – точка минимума функции z = x2 + y2 при условии x + y − 2 = 0.

Минимальное значение, достигаемое в этой точке, есть значение z = 2. Дадим геометрическую интерпретацию полученного результата. Совме-

стное рассмотрение двух данных уравнений означает, что поверхность z = x2 + y2 (так называемый эллиптический параболоид) рассечена плоско-

стью x + y − 2 = 0. На полученной линии пересечения найдена точка (1, 1) – точка с наименьшей (для этой линии) аппликатой. Этот минимум – именно условный, поскольку «обычный», «безусловный» минимум у функции

z = x2 + y2 достигается, очевидно, в точке (0, 0).

2.5.4. Задачи для самостоятельного решения. Дана функция z = ax2 +by2 +cx + dy + q . Найти:

а) её точки экстремума; б) наибольшее и наименьшее значения данной функции в прямоуголь-

нике, ограниченном указанными прямыми x = −2, x = 0, y = −1, y = 2 (значения параметров a,b,c,d = 6, q для каждого варианта указаны).

1.	a = −2, b = −4, c =8, d = −6, q = 3 .
2.	a =1, b = 5, c = −8, d = −10, q = 4 .
3.	a = 2, b = 4, c = −4, d = −2, q =1.
4.	a = −2, b = −1, c =8, d = 2, q = −4 .
5.	a =1, b = 4, c = 6, d = 4, q = −1 .
6.	a = −5, b = −2, c =10, d = −8, q = 6 .

Решение. Поскольку

есть (с точностью до коэффициента 1/2) производ-

наяот x , тообозначим t =

x , тогда dt =

dx . Поэтому(см. 5) табл. 3.1.2)

3.1.1. Интегрирование есть действие, обратное дифференцированию. Если f (x) = F ′(x) на некотором интервале (a, b) , то функция F(x) (по от-

ношению к f (x) ) называется первообразной.

Так, например, для f (x) = 2x первообразными являются: F(x) = x2 , F(x) = x2 −1 , ..., и вообще, любая функция вида F(x) = x2 +C , где С – произвольная постоянная.

В общем случае, совокупность всех первообразных для f (x) , x (a, b) , имеет вид: {F(x) +C}, где F(x) – некоторая (фиксированная) первообраз-

ная, С – произвольная постоянная. Такая совокупность называется неопределённым интегралом для f (x) . Обозначение:

∫ f (x) dx = F(x) +C .

Следующие таблица и свойства интегралов могут быть проверены (доказаны) путём дифференцирования правых частей и получением тем самым подынтегральных функций в левой части.

3.1.2. Таблица интегралов.

∫dx = x +C .

∫xα dx =

xα+1

+C,α ≠ −1.

α+1

∫dx = ln

+C .

∫ex dx = ex +C .

∫a x dx =

a x

+C .

lna

11.

∫

= arctgx +C .

+ x

12.

∫

= arcsin

+C .

a2 − x 2

6.∫sinxdx = −cos x +C .

7.∫cosxdx =sin x +C .

8.∫cosdx2 x = tgx +C .

9.∫sindx2 x = −ctgx +C .

10. ∫	dx	=arcsin x +C .

	1− x2

16.∫tgxdx = −ln cosx +C .

17.∫ctgxdx = ln sinx +C .

13.

∫

arctg

+C .

18.

∫

= ln

+C .

sinx

+ x

x −a

= ln

+C .

14.

∫ x2 − a2

2aln

+C .

19.

∫cosx

x + a

+C .

= ln

x + x2 + a

15.

∫

x2 + a

3.1.3.Линейность интеграла.

∫(λ f (x) +μg(x))dx = λ∫f (x)dx +μ∫g(x)dx; λ,μ = const.

3.1.4. Приёмы интегрирования.

а) Использованиетаблицы, линейностиипочленногоделения. Например,

∫

3 x −2x +1

3 x 2x

−

dx = ∫

dx =3∫x dx −2∫dx + ∫

−2x +ln

+C = 6 x −2x +ln

+C .

Использованы табличные интегралы: 2), 1), 3).

б) Замена переменных t = ϕ(x)

по формуле

∫

′

f (ϕ(x))ϕ

(x)dx = ∫ f (t)dt .

Указанная замена эффективна, если в произведении с dx имеется множитель, являющийся (с точностью до постоянного коэффициента) производной выражения («блока»), от которого зависит оставшийся множитель. Этот блок и обозначаем новой буквой. Вычислив интеграл, возвращаемся к старой переменной.

Пример 1. J = ∫1x+dxx2 .

Решение. Заметим, чтомножительхесть«почтипроизводная» отблока1+x2:

(1+ x2 )′ = 2x .

Следовательно, полагаем t =1+ x2 иустанавливаемсвязьдифференциалов: dt = 2xdx .

Числитель подынтегрального выражения будет равен dt , если его домножить на 2 (одновременно умножим интеграл на 1/2):

J = 1∫

2xdx

= 1∫dt = 1ln

+C = 1ln(1+ x2 )+C .

1+ x

t 2

Использован результат 3) табл. 3.1.2. Проверим ответ:

1ln(1+ x2 )+C ′

= 1

(1+ x2 )′ +0 =

+ x2

2 1+ x2

т.е. действительно получили подынтегральную функцию.

Пример 2. J = ∫2 xx dx .

21+ x

J = 2∫2

dx = 2∫2

dt = 2

+C =

+C .

ln2

Те же рассуждения можно привести без явного введения новой пере-

менной, так как d( x )=	1	dx , то согласно 5) табл. 3.1.2 имеем

2	x
J = 2 2 x d( x )= 2			2 x	+C =	21+ x	+C .

∫			ln2		ln2

Последний приём называется введением под знак дифференциала.

в) В случае интеграла «табличной» функции аргумента λx илиλx + a (λ,a =const) табличный результат следует делить на коэффициент λ (можно, конечно, применять также замену t = λx или t = λx + a соответственно).

Примеры.

∫sin 2xdx = −cos2x +C ;

= 1arcsin5x +C ;

∫

= ∫

1−(5x)2

1−25x2

∫

= 1ln

3x −1

+C .

3x −

(см. интегралы 6), 10), 3) табл. 3.1.2).

г) Выделение полного квадрата в случае квадратного трёхчлена в знаменателе дроби. Здесь следует пользоваться формулой

4ac −b2

+bx

= a x

и заменой переменных t = x +

, откуда x =t −

dx = dt .

Пример 1.

J = ∫

+8x + 20

Решение. Используем формулу г), в которой a =1, b =8, c = 20 . Имеем

1 20 −82

+8x +

20 =1 x +

= (x +4)

+4 .

4 1

Положим

t = x +4 ,

откуда

dt = dx .

Имеем

(см. интеграл 13)

табл. 3.1.2)

J = ∫

= ∫

arctg

x +4

+C .

(x +4)

Пример 2.

J = ∫

3x −1

dx .

6x −5 − x2

Решение. Выделяем полный квадрат (a = −1, b = 6, c = −5) :

− x2 +6x −5 = −(x −3)2 + 4 .

Следовательно,

3x −1

J = ∫

dx .

4 −(x −3)2

Положим t = x −3 , тогда x = t +3, dx = dt . Поэтому, сделав подстановку

в интеграле, получим

J =

∫

3(t +3) −1

dt =

∫

3t +8

dt =3

dt +8

= J1 + J2 .

4 −t 2

∫

4 −t 2

∫

4 −t 2

Вычисляем J1 . Заметим, что d(4 −t 2 )= −2tdt , значит

−2tdt

d(4 −t 2 )

−

J1 =

3 −

2 ∫

= −

∫

= −

∫(4

−t 2 ) 2 d(4 −t 2 )=

4 −t 2

(4 −t 2 )12

3 (4 −t 2 )12

= −

+C =C −3 4 −t

Использован интеграл 2) табл. 3.1.2. Интеграл

– табличный (см. 12)

табл. 3.1.2). Итак,

J =C −3

4 −t 2

+8arcsin

x −3

=C −3

4 −(x −3)2

+8arcsin

=C −3

6x −5 − x2 +8arcsin

3.1.5.Интегрирование «по частям»:

∫udv =uv − ∫vdu .

Приём эффективен при интегрировании функций логарифмической, обратных тригонометрических, а также произведений функций степенной на показательную, тригонометрическую, обратную тригонометрическую. Выбор множителя u (оставшийся множитель в интеграле есть dv ) обусловлен такими соображениями:

¾du должен иметь простой вид;

¾первообразная v = ∫dv должна легко отыскиваться;

¾∫vdu должен оказаться проще ∫udv (т.е. исходного).

Пример 1. J = ∫xe1+2 x dx .

Решение. Имеем произведение степенной и показательной функций. Выберем u = x . Тогда dv = e1+2 x dx . Следовательно,

du = dx , v = ∫e1+2 x dx = 1e1+2 x

2 (найдена одна из первообразных по методу 3.1.4, в)). По формуле 3.1.5 имеем

J = x

1+2 x

−∫

1+2 x

dx =

1+2 x

−

1 1

1+2 x

−

1+2 x

+C .

2 2

+C =

Заметим,

что возможен также выбор u = e1+2 x ,

dv = xdx ,

но в результате

интеграл ∫vdu оказался бы сложнее исходного.

Пример 2. J = ∫arctgxdx .

Решение. Здесь возможен лишь выбор u = arctgx, dv = dx . Тогда

du =

, v = ∫dx = x .

+ x

Следовательно,

)

J = (arctgx)x − ∫x

= xarctgx − 1∫

d (1+ x

+ x

1+ x

= xarctgx − 1ln(1+ x2 )+C.

3.1.6. Интегрирование рациональных дробей. Речь идёт о дробях типа

x2 − x +3

+ x2 −1

и т.п. (отношение многочленов). Дробь правильная,

8x3

+8x2

−3x +2

если степень числителя меньше степени знаменателя (первая дробь), и неправильная – в противном случае (например, вторая дробь).

а) Если предстоит интегрировать правильную дробь, то её знаменатель

записываем в виде произведения множителей типа (x −a)n и (x2 + px + q)m . После этого дробь будет представлять сумму слагаемых типа

	Ak					M k x + Nk
			(k	=1, ..., n) и			(k =1, ..., m) ,
	(x −a)k					(x2 + px +q)k
интегрирование которых – стандартная задача.
Пример 1. J = ∫		x2 − x +3			dx .
		3 2
		8x		+8x

Решение. Имеем

J = ∫

x2 − x +3

dx = 1

∫

− x +3

dx .

3 2

8x +8x

(x +1)

Множителю

соответствуют

два

слагаемых:

(x +1) – слагаемое

, т.е.

x +1

x2 − x +3

x2 (x +1)

x x +1

A, B ; множителю

x2 x

Если теперь определить коэффициенты А, В, С, то интегрирование сведётся к табличному. Приводя дроби к общему знаменателю, получим

x2 − x +3 = A(x +1) + Bx(x +1) +Cx2

или

x2 − x +3 = (B +C)x2 +( A + B)x + A ,

откуда (коэффициенты при одинаковых степенях будут равными)

B +C =1,

A =3,

= −1,

или

A + B

B = −4,

=5.

Следовательно,

A =3

−1

∫

−

J =

dx =

−4ln

+5ln

x +1

x x

−1

x +1

−

+ln

б) Неправильную дробь можно представить как результат деления с ос-

татком (деления многочленов «углом») в виде

дробь = частное +

остаток

знаменатель

после чего задача интегрирования сводится к цепочке известных задач.

Пример 2. J = ∫4x3 −2x +1dx . x2 +1

Решение. Подынтегральная функция – неправильная дробь. Выполнив деление числителя на знаменатель, получим

4x3 −2x	+1	= 4x +	−6x +1		.
x2 +1			x2	+1

Теперь выполняем интегрирование:

J = ∫

= 4∫xdx +∫

−3∫

dx =

4x −

x2 +1

1+ x2

x2 +1

= 4

+arctgx −3∫

d(x2 +1)

= 2x

+arctgx −3ln

+C .

x2 +1

3.1.7. Интегрирование некоторых типов иррациональностей.

а) Если в подынтегральном выражении с блоком n ax +b и аргументом х выполняются лишь арифметические действия, то вводится новая переменная t = n ax +b , откуда затем выражается х и вычисляется dx .

б) Если арифметические действия выполняются над блоками n ax +b ,

n ax +b , ... и аргументом х, то переменная t вводится по формуле t N = ax +b ,

где N – наименьшее общее кратное чисел m, n, ...; далее поступаем как в п. а). Полученные в п. а), б) интегралы – интегралы рациональных функций

переменной t.

Пример. J = ∫1+4 x x dx .

Решение. Имеем интеграл типа 3.1.7, б). Общее наименьшее кратное показателей корней N = 4 . Следовательно t 4 = x , тогда dx = 4t3dt . Значит

4 t 4 4t3dt

t 4 dt

J =

= 4

−1+

∫

1+ t 4

1+t 2

∫

−t +arctgt

−

x +arctg

= 4

x +C ;

взаключительном звене цепочки равенств t = 4 x .

3.1.8.Интегрирование некоторых типов тригонометрических выражений.

а) Интеграл вида J mn = ∫(sin x)m (cos x)n dx, m, n – целые. Если m = 2k +1 (нечётно), то (sin x)m = (sin2 x)k sin x = (1−cos2 x)k sin x .

Положим t = cos x , тогда

J mn = −∫(1−cos2 x)k (cos x)n (−sin xdx)= −∫(1−t 2 )k t n dt

и имеем интеграл от многочлена или типа 3.1.6. Аналогично поступаем в

случае нечётного n. Если m,	n ≥ 0 и m = 2k, n = 2l – чётны, то упрощаем ин-
теграл с помощью формул понижения степени:
cos2 x = 1(1+cos2x), sin2 x = 1		(1−cos2x).
2	2

Пример 1.

			4 x				2		x		2		1						2
∫cos				dx = ∫ cos							dx = ∫					(1+cos x) dx =
∫cos			2	dx = ∫ cos							dx = ∫					(1+cos x) dx =
			2						2				2
	1	∫						2				1		∫			∫			∫	1
=	4	∫	(1+ 2cos x +cos x)dx =									4		∫			∫	cos xdx +		∫	2	(1			=
=			(1+ 2cos x +cos x)dx =												dx +2			cos xdx +				(1		+cos2x)dx	=
	1				1					1	∫cos2xdx						1	3					1
=		x + 2sin x +				x		+								=			x + 2sin x +					sin 2x +C .
=	4	x + 2sin x +			2	x		+		2						=		2	x + 2sin x +				4	sin 2x +C .
	4				2					2							4	2					4

Использованы приёмы интегрирования 3.1.8, а) и 3.1.4, в).

Пример 2.

J = ∫sin 2 xcos3 xdx = ∫sin 2 xcos2 x(cos xdx) = ∫sin 2 x(1−sin 2 x)(cos xdx).

Полагая t =sin x,dt = cos xdx , имеем

J = ∫t 2 (1−t 2 )dt = 1t3 − 1t5 +C = 1sin3 x − 1sin5 x +C .

б) Универсальная тригонометрическая подстановка

t = tg

;sin x =

,cos x =

1−t 2

, dx =

2dt

+t 2

1+t 2

применяется, если подынтегральное выражение содержит только арифметическиедействиянад sin x и cos x ; приэтомполучаеминтегралытипа3.1.4, 3.1.6.

Пример.

J = ∫

1+sin x

Положим t = tg

; согласно формулам п. б)

J = ∫

2dt

= ∫

2dt

= 2∫

(t +1)

−1

: 1

= 2

+C =C −

+ 2t +t

(t +1)

−1

+ tg

3.1.9. Тригонометрические подстановки при интегрировании некото-

рых иррациональностей.

а) Если подынтегральное выражение содержит только арифметические

действия над х и			a2 − x2 , то применяется замена x = acost (или x = asint ),
после чего a2 − x2 = ±asint , dx = −asintdt .
	б)	Если та же ситуация с х		и x2 −a2 , то полагаем x =			a	(или

	a				sint		cost
x =		), тогда	x2 −a2 = ±atgt ,	dx = a		dt .
	sint
					cos2 t

в) В случае же х и

x2 + a2

полагаем x = atgt (или

x = actgt ), тогда

x2 + a2 = ±

, dx =

dt .

cost

cos2 t

Пример. J = ∫

9 − x2

dx .

Решение. Имеем выражение типа 3.1.9, а). Положим x =3cost

(следова-

тельно, t = arccos

), тогда

9 − x2

=3sint

(для определённости выбран знак

плюс при извлечении корня), dx = −3sintdt . Тогда

J =∫

3sint(−3sint)

dt = −∫

sin2 t

dt = −∫

1−cos2 t

dt =

(3cost)

cos

= −∫

∫dt =t − tgt +C =t − sint

+C = arccos

−

9 − x2

cos

cost

(cost и sint выражены через х из ранее записанных соотношений).

3.1.10. Рассмотренные методы и приёмы интегрирования не исчерпывают всех классов интегрируемых элементарных функций. В то же время из всего изложенного следует, что техника интегрирования сложнее по сравнению с дифференцированием. Не существует общего универсального метода интегрирования, поэтому возможности алгоритмизации в данном разделе математики весьма ограничены. Необходимы определённые навыки и изобретательность, которые приобретаются на практике в результате решения большого числа примеров.

Возникает вопрос о возможности вычисления интеграла от любой элементарной функции. Все элементарные функции дифференцируемы и их производные снова являются элементарными функциями. Об интегрировании функций этого сказать нельзя. Существует немало элементарных функций, интегралы от которых не выражаются через элементарные функции (говорят: «не интегрируютсявконечномвиде»), например: ∫ex2 dx, ∫lndxx , ∫sinx x dx идр.

Подчеркнём, что эти интегралы существуют, но они определяют функции, не являющиеся элементарными.

Было бы ошибочно считать, что «неберущиеся» интегралы являются экзотикой, придуманной математиками. К «неберущимся» интегралам приводят многие теоретические и практические задачи теории вероятностей, статистики, механики и др.

3.1.11. Задачи для самостоятельного решения. Найти следующие не-

определённые интегралы:

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 136 7 8 9 10 11 12 13 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]