1.3.3. Задачи для самостоятельного решения. Составить уравнение касательной и нормали к кривой, заданной уравнением y = f (x) , в точке

1.4.Применение производной к исследованию функций

1.4.1.Исследование по первой производной: монотонность, экстре-

мумы. В основе исследования функции на монотонность (возрастание, убывание) и экстремумы (максимумы, минимумы) лежат следующие положения:

а) интервалы, где f ′(x) ≥ 0 , служат интервалами возрастания функции y = f (x) ; на интервалах, где f ′(x) ≤0 , функция убывает;

б) точки перемены знака f ′(x) с «+» на «–» служат точками максимума

(точка наибольшего значения функции среди всех её значений из некоторой окрестности этой точки) , а с «–» на «+» – точками минимума (точка наименьшего значения функции в некоторой окрестности).

1.4.2. Исследование по второй производной: характер выпуклости.

Говорят, что дуга линии имеет определённый характер выпуклости, если она пересекается с любой своей секущей не более, чем в двух точках. Такая дуга лежит по одну сторону от касательной, проведённой в любой точке дуги: если целиком ниже касательной, то дуга называется выпуклой (выпуклой вверх), а если выше – то вогнутой (выпуклой вниз).

В основе исследования функции на характер выпуклости лежат следующие положения:

а) интервалы, где f ′′(x) ≥0 , служат интервалами вогнутости графика функции y = f (x) ; на интервалах, где f ′′(x) ≤0 , график функции выпукл;

б) точки перемены знака второй производной f ′′(x) служат точками перегиба графика, т.е. точками перемены характера выпуклости.

16

1.4.3. Асимптоты графика. Вертикальная асимптота х= х0 графика функции y = f (x) возникает во всякой точке х0 , где эта функция не определена, и хотябыодинизодностороннихеёпределоввточке х0 равенбесконечности.

График функции обладает асимптотой y = kx +b на бесконечности (наклонной асимптотой), если существуют оба числа (оба предела):

при этом, вообще говоря, следует рассмотреть отдельно оба случая x → +∞ и x →−∞.

Если первый из указанных пределов не существует, или существует первый, но не существует второй, то график не обладает асимптотой (на бесконечности соответствующего знака).

1.4.4. Алгоритм полного исследования функции.

1.Исследование элементарными методами: область определения, характер чётности, периодичность.

2.Точки разрыва, вертикальные асимптоты.

3.Исследование на монотонность и экстремумы.

4.Характер выпуклости, точки перегиба.

5.Асимптоты на бесконечности.

боту [1]).

Решение. 1) Функция определена при всех х ≠1 . Поскольку её область определения не обладает симметрией относительно начала координат, то вопрос о характере чётности не стоит: функция ни чётна, ни нечётна.

Очевидно, что функция непериодична.

2) Функция претерпевает разрыв при х=1. Исследуем её поведение при стремлении х к 1 слева (т.е. при х<1, что обозначается в виде x →1−0) и

17

Критическими точками (т.е. точками, где производная не определена или обращается в ноль) служат точки х=1, х = 0, х = 2. Этими точками чи-

словая ось разбивается на интервалы знакопостоянства производной у′. При х (−∞, 0) имеем у′> 0 , а значит функция возрастает; при х (0, 1), а также при х (1, 2) имеем y′<0 , так что в каждом из этих интервалов функция убывает; наконец, у′> 0 при х (2, ∞) , так что в этом интервале функция возрастает.

В точке х = 0 производная у′ изменила свой знак с «+» на «–», следовательно, в этой точке данная функция достигла своего максимального значения: ymax = y(0) =0 . В точке х = 2 производная у′ изменила свой знак с «–» на «+», так что в этой точке данная функция приняла минимальное значение:

ymin = y(2) = 4.

4)Найдём вторую производную:

график вогнут. В точке х = 1 (критическая точка второй производной) функция не определена; следовательно, точек перегиба график не имеет.

5) Определяем асимптоты графика на бесконечности (наклонные асим-

дующему результату: график обладает той же асимптотой y = x +1 и на −∞.

Соединяя результаты полного исследования, изображаем эскиз графика функции.

18

Решение. Следуя изложенному алгоритму, находим y′=3x2 −3 . Теперь

определяем критические точки: 3(x2 −1) =0 , т.е. x = −1, x =1. Среди них

только первая точка лежит на заданном отрезке. Остаётся вычислить значения функции в точке x = −1 и на концах отрезка. Имеем: y(−2) = 2 ,

y(−1) =6 , y(0) = 4 . Теперь среди найденных значений выбираем наибольшее

уравнение не имеет решений; следовательно, производная знакопостоянна на указанном отрезке. Ясно, что y′> 0 , поэтому данная функция возрастает на отрезке

1.5.2. Задачи о наибольших и наименьших значениях величин. Многие задачи из геометрии, физики и других областей естествознания могут быть представлены следующей моделью: имеется некоторая величина, зависящая от двух переменных τ= τ(х, у) ; требуется найти её наибольшее или наи-

меньшее значения при условии, что х и у связаны некоторым уравнением.

В общем случае возникает так называемая задача об условном экстремуме функции двух переменных. Она решается средствами дифференциального исчисления таких функций, которое в общих чертах представлено ниже.

В простейших же случаях удаётся выразить одну переменную через другую,

врезультате чего величина τ оказывается функцией одной переменной. Для нахождения её наибольшего или наименьшего значений остаётся применить вышеизложенный алгоритм.

Пример. Прямоугольный треугольник имеет периметр, равный 2а. Найти размеры его катетов, при которых он обладает наибольшей площадью.

Решение. Если х и у – катеты треугольника, то, как известно из геомет-

рии, его площадь S = 1 xy. Очевидно, что каждый катет меньше периметра, 2

т.е. 0 < x < 2a , 0 < y < 2a . На основании теоремы Пифагора имеем гипотену-

зу c = x2 + y2 , так что периметр треугольника равен x + y + x2 + y2 = 2а.

20

Выразим из полученного уравнения у через х, после чего получим S в виде функции одной переменной. Итак, выполняем соответствующие преобразования полученного уравнения:

x2 + y2 = 2а−(х+ у) ; х2 + у2 = 4а2 −4а(х+ у) +(х+ у)2 ;

х2 + у2 = 4а2 −4а(х+ у) + х2 + у2 +2ху ; 2ах+2ау− ху = 2а2 .

ном интервале значений х наибольшее значение площади S может быть достигнуто в точке максимума; следовательно, исследуем знаки первой производной:

в этой единственной точке максимума площадь треугольника и принимает

Итак, при заданном периметре, равном 2а, наибольшая площадь прямоугольного треугольника достигается, если он равнобедренный с катетами

x = a(2 − 2 ) , у = a(2 − 2 ) .

1.5.3. Задачи для самостоятельного решения. Найти наименьшее и

21