2. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ

2.1.Частные производные

2.1.1.Вычисление частных производных функции двух переменных.

Соответствие f, которое каждой точке (х, у) из некоторой области D коорди-

натной плоскости сопоставляет единственное действительное число z, называется функцией двух действительных переменных, заданной на области D. Используется обозначение z = f (x, y) .

Если зафиксировать значение у, то функцию f можно рассматривать как функцию одной переменной х, и, следовательно, ставить вопрос о дифференцировании z = f (x, y) по переменой х. В этой ситуации производная

fх′(x, y) , вычисленная по переменной х, называется частной производной от

ции f, вычисленную по переменной у при фиксированном х, называют част-

вычислении частных производных пользуются обычными правилами диффе-

ренцирования. В частности, если вычисляем ∂f , то множитель целиком за-

∂x

висящий только от переменной у, можно вынести за знак производной; точно также поступаем с множителем, целиком зависящим только от переменной х

при нахождении ∂f .

∂y

Пример. Найти частные производные функции z = 2x3 y −5cos y +9 .

Решение. При вычислении z′x множитель 2 y и слагаемое 5cos y рассматриваем как постоянные величины. Следовательно,

22

2.1.2. Частные производные высших порядков. Частные производные z′x = fx′(x, y) и z′y = f y′(x, y) данной функции z = f (x, y) можно в свою оче-

редь рассматривать как функции двух переменных х и у. Следовательно, имеет смысл ставить вопрос о нахождении уже их частных производных – производных второго порядка:

z′x′у = ( f у′(x, y))′х , z′ух′ = ( f х′(x, y))′у – «смешанные» частные производные

второго порядка по переменным х и у.

Для элементарных функций двух переменных результат вычисления смешанных производных на самом деле не зависит от порядка дифференцирования: z′x′у = z′у′x .

Пример. Вычислить все частные производные второго порядка функции z = y2ex .

Решение. Cначала вычисляем производные первого порядка: z′x = y 2 (ex )′x = y 2e x , z′y = e x (y 2 )′y = 2 y e x .

Теперь z′xx′ = (y 2e x )′x = y2ex , z′yy′ =(2yex )′y =2ex , z′x′у = z′у′x = (y2ex )′x = 2 yex .

2.1.3. Задачи для самостоятельного решения. Вычислить частные производные по переменным x и y данных функций.

2.2.Производная неявной функции

2.2.1.Неявная функция одной переменной. Пусть зависимость пере-

менной у от переменной х, т.е. функция y = f (x) , задана неявно, в виде урав-

нения F (x, y) = 0 . Тогда производная функции y = f (x) может быть вычислена в виде

x2 −sin ( y −4x) −2 y = 0 . Найти dy . dx

23

2.2.2. Неявная функция двух переменных. Уравнением F(x, y, z) =0

задаётся зависимость переменной z от переменных x и y. Если эта зависимость z = f (x, y) – функциональная, то имеет смысл ставить вопрос о вычис-

Fx′ =0 −ex−y z 1=−ex−y z , Fy′ =0 −ex−y z (0 − z) = zex−y z , Fz′ = 3z 2 −e x−y z (0 − y) =

=3z2 + yex−y z .

2.2.3. Задачи для самостоятельного решения. Найти производную функции y = у(х) , заданной неявно уравнением.

(х0 , y0 , z0 ) , где z0 = f (x0 , y0 , z0 ) , имеет уравнение

z − z0 = f x′(x0 , y0 )(x − x0 ) + f y′(x0 , y0 )( y − y0 ) .

2.3.2. Нормаль к поверхности z = f (x, y) в точке (х0 , y0 , z0 ) , где z0 = f (x0 , y0 , z0 ) , есть перпендикуляр в точке касания (х0 , y0 , z0 ) . Она имеет уравнения

24

Теперьподставляемнайденныезначениявуравнениекасательнойплоскости: z −5 =5(x −2) −15( y +1) или z =5x −15y −20 .

Запишем также уравнения нормали: x −2 = y +1 = z −5 . 5 −15 −1

2.3.3. Задачи для самостоятельного решения. Найти уравнения каса-

тельной плоскости и уравнения нормали к поверхности z = f (x, y) в точке

2.4.Градиент и производная по направлению

2.4.1.Производная по направлению. Рассмотрим вектор l = М0М , со-

25

скорость изменения функции в точке M 0 в направлении вектора. Этот предел называется производной функции f в точке M 0 по направлению l .

Производную по направлению можно вычислить следующим образом:

этойточкеиобозначается grad f M 0 . Градиентимеетследующиекоординаты:

а) градиент данной функции в точке М; б) производную этой функции в точке М по направлению вектора

ОМ , где точка О – начало координат.

Решение. Преобразуем данную функцию к виду z = 1 ln(x2 + y2 ) и най-

cosβ = 1 .

5

Подставляя в формулу для производной по направлению найденные величины и ранее вычисленные значения частных производных в точке М, имеем

26