Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Элементы математического анализа - компетентностный подход. Учебное пособие.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

15.08.2026

Размер:

846 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78 / 138 9 10 11 12 13 > Следующая >>>

Далее,

x +2 = 2 −t , x +2 =(2 −t)2 , откуда dx = 2(t −2)dt . Следовательно,

2(t −2)dt

t −2

J = ∫

= −2∫

dt .

t −2

Теперь

g(t) =

имеет разрыв на левом конце отрезка интегрирова-

ния [0, 1] , т.е. в точке t =0 . Согласно определению п. а), 3.3.2

J = −2lim

∫

t −2

dt = −2 lim

∫

dt −∫

= −2lim(t

1ε −2ln

1ε )=

ε→0

ε t

ε→0

= −2lim(1−ε+2ln ε) = −2(1−0 +2ln 0) = −2(1−∞) =∞ ,

ε→0

т.е. интеграл оказывается расходящимся.

Пример 4. Вычислить несобственный интеграл

						1	e	1−x
					J = ∫		e	1−x	dx .
					J = ∫			1− x	dx .
						0		1− x
Решение. Функция				f (x) =	e	1−x		имеет разрыв на правом конце проме-
Решение. Функция				f (x) =	1− x			имеет разрыв на правом конце проме-
					1− x
жутка интегрирования. Согласно п. б), 3.3.2 имеем
1−ε								1−ε =−2lim(e ε −e1 )=−2(e0 −e)=2(e −1).
J = lim(−2)	∫	e 1−x d	1−x =−2lime			1−x		1−ε =−2lim(e ε −e1 )=−2(e0 −e)=2(e −1).
ε→0	∫			ε→0				0	ε→0
	0

3.3.3. Задачи для самостоятельного решения.

интегралы или установить их расходимость.

∞

1. ∫xe4−x2 dx .

2
9	xdx
5. ∫	xdx	.
5. ∫		.
0	9 − x

	e		dx			∞	x2 dx
2.	∫		dx		.	3. ∫	x2 dx	.
2.	∫	x		lnx	.	3. ∫	3	.
	1	x		lnx		0	8 + 2x
	4		xdx
6.	∫				.
6.	∫	x	2	−9	.
	3	x		−9
	3

Найти несобственные

∞ 2 +lnx

4.∫ x dx .1

3.4. Приложения определённых интегралов к задачам геометрии

Перечислим основные геометрические приложения определённых интегралов.

3.4.1. Площадь фигуры.

а)	Если плоская фигура D ограничена линиями x = a, x =b,
y = g(x),	y = f (x) , где g и f – непрерывны на отрезке [a, b] и g(x) ≤ f (x) при

x [a, b] , то её площадь (рис. 3.4.1)

S = ∫[f (x) − g(x)]dx .

В частности, при g(x) ≡ 0 имеем площадь криволинейной трапеции

(рис. 3.4.2).

y		y

	y = f(x)		y = f(x)

0	a	y = g(x)	b	x	0	a	b	x
		Рис. 3.4.1					Рис. 3.4.2

б) Если y = f (x) ≥0				задана параметрически, т.е. в виде
				x = x(t),
					α ≤t ≤β ,
				y = y(t),
причём	х	пробегает отрезок			[a, b] при α ≤t ≤β (т.е.	′
причём	х	пробегает отрезок			[a, b] при α ≤t ≤β (т.е.	x (t) >0 , a = x(α) ,
b = f (β) ),		то площадь		криволинейной трапеции, представленной на
рис. 3.4.2, находится по формуле
					β
					′
					S = ∫y(t)x (t)dt .
					α
			ρ = ρ(ϕ)		α
			ρ = ρ(ϕ)		в) Площадь сектора, определяемого в
					в) Площадь сектора, определяемого в
					полярных координатах		соотношениями
					α ≤ ϕ≤β,0 ≤ρ≤ρ(ϕ) ,	где	ρ(ϕ) – непре-
0	β	α		ρ	рывна на [α, β] (рис. 3.4.3), вычисляется по
0	β	α		ρ	формуле
					формуле

Рис. 3.4.3

S = 1 ∫ρ2 (ϕ)dϕ. 2 α

Пример 1. Вычислить площадь фигуры, ограниченной осью абсцисс и одной аркой циклоиды

				x = 2(t −sint),
						0 ≤t ≤ 2π .
				y =1		−cost,
y						Решение. Изобразим линию; для этого
						в системе координат х0у следует построить
						точки (x, y) , которые определяются произ-
	2					точки (x, y) , которые определяются произ-
	2					вольно выбранными значениями t из про-
						вольно выбранными значениями t из про-
						межутка [0, 2π] ; см. рис. 3.4.4. Согласно
	0		2π	4π	x	межутка [0, 2π] ; см. рис. 3.4.4. Согласно
			2π	4π	x	п. б), 3.4.1 имеем
		Рис. 3.4.4				п. б), 3.4.1 имеем

2π

S = ∫(1−cost)(2(t −sin t))′dt =2 ∫(1−cost)2 dt =

2π

∫dt −2

∫costdt +

∫cos

2π

−

2π

∫(1+cos2t)dt

= 2

tdt

= 2 t

2sint

2π−0

+ 1t

2π

1sin2t

2π

=2(2π+π) =6π;

использована формула понижения степени, см. п. 3.1.8.

Пример 2. Вычислить площадь фигуры, ограниченной кардиоидой (заданной в полярной системе координат) ρ=1+cosϕ.

Решение. Изобразим линию. В силу 2π- периодичности функции cosϕ линия замкнута и доста-

точно построить точки (ρ, ϕ) , определяемые значения-	0			2 ρ
точно построить точки (ρ, ϕ) , определяемые значения-	0		1	2 ρ
ми ϕ из промежутка [0, 2π] . Кроме того, линия сим-
метрична относительно полярной оси (поскольку зна-		Рис. 3.4.5
чения косинусов одинаковы для точек ϕ единичной		Рис. 3.4.5

окружности, симметричных относительно оси абсцисс). Поэтому достаточно

вычислить площадь,		соответствующую значениям ϕ [0, π] (площадь верхней
частифигуры) изатемеёудвоить; линияизображенанарис. 3.4.5.
S = 2 1	π	π	π	π
	∫(1+cosϕ)2 dϕ= ∫dϕ+2∫cosϕdϕ+∫cos2 ϕdϕ=
2	0	0	0	0

3π

=ϕ

+2sin ϕ

+ 2

∫0

(1+cos2ϕ)dϕ= π+0 +

4sin 2ϕ

2 .

3.4.2. Длина дуги линии.

а) Если линия L задана в декартовой системе координат уравнением

y = f (x) , то длина её дуги, соответствующей значениям x [a, b] (см. рис. 3.4.2),

вычисляется по формуле

l = ∫ 1+( f ′(x))2 dx .

б) Дуга заданной параметрически линии

x = x(t),

y = y(t)

в случае t [α, β] имеет длину

l = ∫ (x′(x))2 +(y′(t))2 dt

(предполагается монотонность x(t) на отрезке [α, β] ).

в) Частным случаем п. б) является задание линии в полярной системе координат уравнением ρ=ρ(ϕ) . В этом случае

x =ρ(ϕ)cosϕ,

y =ρ(ϕ)sin ϕ.

Длина дуги, соответствующей ϕ[α, β] , определяется по формуле

l = ∫ (ρ(ϕ))2 +(ρ′(ϕ))2 dϕ .

Пример 1. Найти длину дуги линии

	x		−	x
y = e 2		+e	2 , 0			≤ x ≤ 2 .

–1 1 2 x

Рис. 3.4.6

2 2

l = ∫ 1+( y′)2 dx = ∫

0 0

Решение. График								x		−	x
Решение. График				функции y = e 2					+e	2
изображён на рис. 3.4.6.
Заметим, что
y ′ =	1		x	− e	−	x
	1				−
	2	e 2			2		;
	2

( y′)2 = 1(e x −2 +e−x ). 4

Следовательно, согласно п. 3.4.2, а) имеем

1+ 1(ex −2 +e−x )dx = 1		∫2	ex +2 +e−x dx =
4	2	0

−

−1

∫

−e

=(e −e

)−(1

−1)

=e −

e 2

2 dx =

∫ e 2

2 dx =

2 e 2

Пример 2. Найти длину дуги линии

=cost +cos

y =sin t +sin tcost.

Решение. Линия замкнута, так как x = x(t), y = y(t) – 2π-периодические функции. В результате построения по точкам (t [0,2π]) получаем кардиоиду

(рис. 3.4.5); достаточно найти длину её половины, соответствующей изменению t от 0 до π, при этом используем формулу п. 3.4.2, б). Имеем:

x′(t) = −sint −2costsint = −(sint +sin 2t) ; y′(t) =cost +cos2 t−sin2 t =cost +cos 2t .

Далее,

(x′(t))2 +(y′(t))2 = (sint +sin 2t)2 +(cost +cos2t)2 =

=(sin2 t +cos2 t )+ 2(sintsin 2t +coscos2t )+(sin2 2t +cos2 2t )=

=2 +2cos(2t −t) =2(1+cost) = 2 2sin2 2t =4sin2 2t .

Поэтому

′

l = ∫

(x (t))

+(y (t))

dt = ∫2sin

dt = −2

2cos

= −4(0 −1) = 4 .

Следовательно, l =8 .

3.4.3. Объём тела вращения. Тело,

образованное вращением вокруг 0x криволинейной трапеции, ограниченной осью 0x, прямыми x = a, x =b и графиком

y = f (x) ( f (x) ≥0 при x [a,b] ), имеет объём (рис. 3.4.8)

V = π∫ f 2 (x)dx .

0 а

Рис. 3.4.8

Пример 1. Найти объём тела, обра-

зованного вращением криволинейного треугольника вокруг оси 0x, если тре-

угольник ограничен осью 0x, прямой x = π и графиком y = tgx .

Решение. Имеем

V = π

tg2 xdx = π

4 1−cos2 xdx = π

−

4 dx

∫

cos2 x

∫cos2 x

∫

π2

= π tgx

− x

= π 1

−0

−

= π−

Пример 2. Вывести формулу для вычисления объёма конуса.

Решение. Если образующая конуса расположена в системе координат так, как это показано на рис. 3.4.9, то объём будет найден в виде

H	Rx	2	πR2 x3			H		1		2

Vк = π∫		dx =					=		πR		H .
				2
0	H		H		3	0		3

R	y =	R	x

		H

Рис. 3.4.9

Пример 3. Вывести формулу для вычисления объёма шара.

Решение. Поверхность шара (сфера) может быть рассмотрена как ре-

зультат вращения линии y =

R2 − x2

вокруг оси абсцисс (рис. 3.4.10).

y =

R2 − x2

–R

Рис. 3.4.10

Следовательно,

2 2

4 3

∫

−x )dx =

= π

− x dx = 2π

2π R x −

= πR .

−R

3.4.4. Задачи для самостоятельного решения.

1. Найти объём тела, образованного вращением вокруг оси OX фигуры, ограниченной линиями:

1)	y =	1	(e	x	+e	−x	), y =0, x = −1, x =1; 2) y =3sin2x, y =0		≤ x ≤	π
		2						0			.

										2
2. Найти площадь фигуры, ограниченной следующими линиями:
1)	y =e−x , y = 2x +1, x =1; 2) y = − x , y = 2x, x = 4 .

3. Найти длину участка линии y = 2(x +1) x +1 при −1≤ x ≤ 0.

3.5.Применение определённых интегралов

кнекоторым задачам естествознания

3.5.1.Масса неоднородного стержня.

Рис. 3.5.1

Рассмотрим неоднородный стержень, расположенный на отрезке [a, b] оси 0x, рис. 3.5.4. Пусть ρ =ρ(x) – линейная плотность стержня (предполагаем функцию ρ(x) непрерывной на [a, b]) . Напомним при этом, что если ∆m –

масса части стержня на отрезке [x,	x + ∆x], то отношение m называется
			x
средней линейной плотностью стержня на этом отрезке, а предел вида
ρ(x)	=	lim	m

		x→0 x

– линейной плотностью (в точке х).

Разобьём отрезок [a, b] произвольным образом на n частей точками a = x0 < x1 < … < xn–1 < xn = b,

выберем на каждом частичном отрезке [xi–1, xi] точку ξi и составим сумму

∑ρ(ξi ) xi .

i=1

Поскольку каждое слагаемое этой суммы представляет собой приближённое значение массы части стержня на отрезке [xi–1, xi], то указанную сумму естественно принять за приближённое значение массы всего стержня. Согласуясь с этими предварительными рассуждениями, мы определим массу m всего стержня как предел вида

	n
m = lim	∑ρ(ξi )	xi , где λ = max xi .
λ→0	i=1	1≤i≤n
Таким образом,	i=1
Таким образом,

m = ∫ρ(x)dx .

3.5.2. Путь, пройденный телом. Путь s, пройденный телом, движущимся вовременномпромежутке[ t1 ,t2 ] соскоростьюv = v(t), вычисляется поформуле

s = ∫v(t)dt.

Рассуждения, приводящие к этой формуле, полностью аналогичны п. 3.5.1 настоящего параграфа.

Пример. Реактивный самолёт в течение 20 с увеличил свою скорость от 240 до 720 км/ч. Считая движение равноускоренным, найти его ускорение и путь, пройденный за это время.

Решение. Из условия задачи следует, что начальная и конечная скорости самолёта равны


v	0	=	240 1000		= 200 м/с ;	v =	720 1000		= 200 м/с .

		60		60	3	1	60	60

Скорость движения (равноускоренного), в зависимости от ускорения a и времени t, описывается формулой v = at + v0 , откуда

a = v −tv0 ≈6,7 м/с2 .

Путь, пройденный самолётом, в нашем случае определится в виде

t1		at	2	t1		3

s = ∫(v0					≈ 2,7 10		= 2,7 км.
	+at)dt = v0t +	2
t0				t0

3.5.3. Приложение определённого интеграла к решению математических задач с экономическим содержанием.

1. Продукция, произведённая рабочим во временном промежутке [a, b]

часов рабочего дня, вычисляется по формуле

y = ∫ f (x)dx ,

где f = f(x) – производительность труда работника в момент времени х, отсчитываемый от начала рабочего дня.

2. Количество товара, поступающего на склад во временном проме-

жутке [a, b] часов, вычисляется по той же формуле, где f = f(x) – количест-

во товара, поступающего на склад к моменту времени х.

3. Расход у электроэнергии в течение времени от а до b часов вычисля-

ется в виде

y = ∫f (x)dx ,

где f = f(x) – нагрузка на электростанцию в киловатт-часах; х – число часов, отсчитываемое от начала суток.

4. Объём дохода, полученного за t лет при постоянном годовом доходе, равном N и удельной норме процента, равной i, определяется по формуле

t		N
y = ∫	Ne−it dt =		(1−e−it ) .

0		i

Вообще говоря, в экономических задачах переменные меняются дискретно. Для использования определённого интеграла нужно составить некоторую идеализированную модель, предполагающую непрерывное изменение зависимых переменных (значений функций) и независимых перемененных (аргументов). Рассмотрим соответствующие примеры.

Пример 1. Поступление товара на склад определяется функцией v1 = 75 – 0,5х + 0,008х2, а отпуск товара торгующим организациям определяется функцией v2 = 60 – 0,6х + 0,004х2 , где х – число рабочих дней склада. Найти запас товара, который образовался за 60 рабочих дней.

Решение. Скорость роста запаса товара на складе в момент времени х v = v 1 – v2 = 15 + 0,1 х + 0,004х2.

Тогда запас товара за 60 дней

60	(15 +0,1x +0,004x	2		0,1x2	0,004x2	60
Q = ∫	(15 +0,1x +0,004x		)dx = 15x +	+		=1368 ед. товара.
0				2	3	0

Пример 2. Радиозавод выпускает в год 31 000 радиоприёмников, и каждый последующий год выпуск радиоприёмников увеличивается на 500 шт. Определить сумму амортизационных отчислений за 10 лет при норме амортизации, равной 1% от себестоимости выпускаемой продукции. Себестоимость одного радиоприёмника 50 р.

Решение. Из условия задачи следует, что выпуск радиоприёмников описывается функцией у = 31000+500х, где х – время в годах. Тогда объём выпуска v этой продукции за 10 лет

v = ∫(31000 +500x)dx .

Амортизационные отчисления равны

10	1 50		x	2	10
		(31000 +500x)dx =0,5 31000x +500				=167 500 p.
∫0 100			2
					0

Пример 3. Производство оборудования некоторого вида характеризуется темпом роста его выпуска

K = yt 1y ,

где ∆y – прирост выпуска этого оборудования за промежуток времени ∆t; y – уровень его производства за единицу времени на момент времени t. Найти общее количество оборудования, произведённого к моменту времени t, полагая, что K – известная постоянная величина, единицей времени является год, а в начальный момент времени t = 0 уровень ежегодного производства оборудования составляет y0 .

Решение. Перейдём к пределу при ∆t → 0, полагая, что он существует. Будем также полагать, что y является непрерывной функцией от времени t. Получаем

K = lim	y 1	=	y′	=(ln y)′ .

	t y
t→0			y

Интегрируя это равенство в пределах от 0 до t , получаем

ln y

= Kt

, или ln

= Kt , откуда

y = y

eKt .

Суммарное количество оборудования, выпущенного за время t, будет тогда найдено в виде определённого интеграла

t	t	1		t0 =	1	y0 (eKt −1).
Y (t )= ∫y(t )dt = ∫y0eKt dt =			y0eKt

0	0	K			K

Например, при K = 0,05 (5% ежегодного темпа роста) общее количество оборудования, выпущенного за 10 лет, составит

Y (10)= 20 y0 (e0,5 −1)≈13y0 .

При определении экономической эффективности капитальных вложений встречаются так называемые задачи дисконтирования, т.е. определения начальной суммы S через время t по её конечной величине St при процентной ставке p.

Известно, что при непрерывном начислении процента конечная сумма вычисляется по формуле St = Sert , где r = 0,01p. Если сумма St также являет-

ся функцией времени f(t), то дисконтированная сумма к моменту времени t составит S = f(t)e–rt.

Полная дисконтированная сумма за время t вычисляется по формуле

Sd = ∫f (t )e−rt dt .

Пример 4. Определить дисконтированную сумму Sd при f(t) = S0(1 + kt), где S0 – начальные капиталовложения; k – ежегодная доля их увеличения.

Решение. Вычисляя указанный интеграл методом интегрирования по частям, получаем

−rt

Sd = ∫S0 (1+kt )e

∫e

= S0

−

r 0

−rt

= S0

−

+kt +

Из полученной формулы можно сделать некоторые выводы:

1.Чем выше процентная ставка p (а значит, и r), тем меньше дисконт-

ная сумма Sd и, следовательно, выше доход, вычисляемый как разность между суммой ежегодно растущих капиталовложений за t лет и величиной Sd. Если рассматривать Sd как дисконтный доход, то увеличение процентной ставки p снижает рентабельность капитала.

2.Увеличение интенсивности ежегодных капиталовложений k приводит к увеличению Sd.

3.При неизменных p и k дисконтный доход растёт с увеличением промежутка времени t (количества лет).

3.5.4. Приложение определённого интеграла в биологии.

1. Задача о численности популяции. Число особей в популяции (числен-

ность популяции) меняется со временем. Если условия существования популяции благоприятны, то рождаемость превышает смертность и общее число особей в популяции растёт со временем. Назовём скоростью роста популяции прирост числа особей в единицу времени. Обозначим эту скорость v = v(t). В «старых», установившихся популяциях, давно обитающих в данной местности, скорость роста v(t) мала и медленно стремится к нулю. Но если популяция молода, её взаимоотношения с другими местными популяциями ещё не установились или существуют внешние причины, изменяющие эти взаимоотношения, например сознательное вмешательство человека, то v(t) может значительно колебаться, уменьшаться или увеличиваться.

Если известна скорость роста популяции v(t), то мы можем найти прирост численности популяции за промежуток времени от t0 до T. В самом де-

ле, из определения v(t) как скорости следует, что эта функция является производной от численности популяции N(t) в момент t, и, следовательно, численность популяции N(t) является первообразной для v(t). Поэтому прирост численности популяции за промежуток времени от t0 до T равен

N (T ) − N (t0 ) = ∫v(t)dt.

Известно, что в условиях неограниченных ресурсов питания скорость роста многих популяций экспоненциальна, т.е. v(t) = aekt. Популяция в этом случае как бы «не стареет». Такие условия можно создать, например, для микроорганизмов, пересаживая время от времени развивающуюся культуру в новые ёмкости с питательной средой. Применяя полученную формулу, в этом случае имеем, что численность популяции в момент времени T равна

T	a		Tt		a	(ekT −ekt0 ),
N (T ) = N (t0 ) +a ∫ekt dt = N (t0 ) +		ekt		= N (t0 ) +

t0	k	0			k

где N(t0) – численность популяции в момент времени t0. По подобной формуле подсчитывают, в частности, численность культивируемых плесневых грибков, выделяющих пенициллин.

2. Зависимость между количеством зелёной массы растений и количе-

ством выделяемого ею кислорода. Количество зелёной массы растений в регионе изменяется по закону M = M0 + at3/2, где масса исчисляется в тоннах, а время – в годах. Одна тонна зелёной массы выделяет q тонн кислорода в год. Требуется определить, сколько тонн кислорода Q будет выделено за T лет.

Решение. В момент времени t количество зелёной массы растений составляет M = M0 + at3/2 тонн, которые выделяют qM = qM0 + qat3/2 кислорода

тонн в год. За небольшой промежуток времени от ti до ti + ∆ti будет выделено примерно qM∆ti = (qM0 + qat3/2) ∆ti тонн кислорода. За весь промежуток вре-

мени от 0 до T лет будет выделено примерно

Q ≈ ∑qM i ti .

Таким образом, выделенный за T лет кислород приближённо равен площади ступенчатой фигуры, умноженной на число q. Значение ∑qM i ti тем

точнее, чем меньше отрезок ∆ti, а в точности искомое значение равно произведению q на площадь, ограниченную кривой M(t):

3/ 2

5/ 2

Q = q∫Mdt = q∫(M 0 +at

)dt = q M 0

= q M 0T +

3.5.5. Задачи для самостоятельного решения.

1.Сила в 98,1 Н растягивает пружину на 12 см. Какую работу она производит?

2.Скорость движения тела определяется по формуле v = 3t2 – 2t + 1. Найти путь, пройденный телом за 10 с от начала движения.

3.Из одной точки два тела одновременно начинают движение: одно со скоростью v = 3t2 + 2t, другое со скоростью v = 2t – 1. На каком расстоянии друг от друга они будут через 10 с, если они движутся по прямой линии в одном направлении?

4.Найти путь, пройденный телом от начала движения до остановки, если скорость его определяется по формуле v = 6t – 2t2.

5.Тело брошено с земли вертикально вверх. Найти наибольшую высоту подъёма, если его скорость v = 19,6 –9,8t.

6.Тело движется прямолинейно со скоростью v = 2t + 3. За сколько секунд оно пройдёт путь 88 м, если s0 = 0?

7.Скорость тела, падающего в пустоте с начальной скоростью v0, вычисляется по формуле v = v0 + gt. Вычислить длину пути s, пройденного телом за промежуток времени от 0 до Т.

8.Пружина растягивается на 6 см под действием силы в 19,62 Н. Какую работу производит эта сила, растягивая пружину на 10 см? Вычислить с точностью до 0,91 Дж.

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78 / 138 9 10 11 12 13 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]