легко заметить, что | wn | не стремится к нулю:

lim | wn |= 1.

n→∞

Согласно достаточному признаку расходимости данный ряд будет расходящимся.

4.8.Упражнения для самостоятельного решения

4.8.1.Исследовать сходимость знакоположительных рядов, используя признаки Даламбера или Коши.

73

4.8.4. Исследовать знакочередующиеся ряды на сходимость и, в случае сходимости, установить её вид (абсолютная, условная).

4.9.Интервал сходимости степенного ряда

4.9.1.Пусть {хn }, n =1, 2, K, – последовательность степенных функций, {аn }, n =0,1, K, – произвольная последовательность действительных чисел.

Ряд вида

называется степенным; для ряда (4.9.1) используем также обозначение

∞

∑an хn . n=0

Ряд (4.9.1) является важнейшим представителем так называемых функциональных рядов. Очевидно, что любой степенной ряд сходится в точке х0 =0 , так как все его частичные суммы Sn (х0 )= a0 , и, следовательно, пре-

дел последовательности {Sn (х0 )} существует и равен a0 . Как оказывается,

существует интервал (–R, R) значений х, в котором имеет место сходимость (абсолютная), а при х > R (вне интервала) – расходимость ряда (4.9.1). Чис-

ло R называется радиусом сходимости степенного ряда, а (–R, R) – его интервалом сходимости. Возможны тривиальные случаи вырожденного интервала (R = 0) и бесконечного интервала (−∞, +∞).

4.9.2. Радиус сходимости R можно найти по одной из формул:

74

если существует соответствующее «число Даламбера»

Формулы (4.9.2) остаются справедливыми, если D =0 или K = 0 : тогда R =∞ , т.е. областью сходимости ряда является вся числовая ось. Если же D = +∞ (K = +∞), то R =0 , т.е. «областью» сходимости является единствен-

ная точка х0 = 0 .

Как оказывается, степенной ряд, обладающий в интервале сходимости (−R, R) суммой S(x) , можно почленно дифференцировать в (−R, R) ; при

этом в каждой точке х интервала существует S′(x) и сумма ряда из производных совпадает с S′(x) .

Более того, степенной ряд, обладающий суммой S (x) в некотором ин-

тервале сходимости, можно почленно интегрировать и почленно дифференцировaть сколь угодно много раз в этом интервале; при этом сум-

ма ряда из п-х производных совпадает с S (n) (x) .

4.9.3. Пример 1. Найти область сходимости ряда

∞

∑e−nx . n=0

Решение. Имеем функциональный ряд, который становится степенным после замены переменной y = e−x :

∞

∑y n .

n=0

Получена сумма бесконечной геометрической прогрессии со знаменателем y . Ряд сходится тогда и только тогда, когда | y | < 1 . Значит, область

сходимости определяется неравенством e−x <1 , откуда −x < 0 , так что x > 0 . Окончательно получили, что область сходимости ряда есть полупрямая x > 0 .

Пример 2. Найти область сходимости ряда

∑∞ 5n .

n=1 nxn

75

Решение. Если положить X = 1 , x ≠ 0 , то получим степенной ряд дей- x

ствительной переменной X

вне этого интервала степенной ряд расходится. Исследуем концы интервала.

а) X = 1 . В этой точке значение общего члена ряда

5

fn ( X ) = 5n X n n

∑∞ 1

n=1 n

(гармонический ряд), который расходится.

б) X = −1 . Имеем

5

полученный знакочередующийся ряд

∑∞ (−1)n

n=1 n

является условно сходящимся (см. п. 4.6.3).

Итак, область сходимости степенного ряда определяется соотношением

76