z = z(x, y) и точка М. Найти:

а) градиент данной функции в точке М;

б) производную этой функции в точке М по направлению вектора ОМ , где точка О – начало координат.

2.5.Экстремумы функций двух переменных. Наибольшее и наименьшее значения

2.5.1.Экстремумы функций двух переменных. Говорят, что функция z = f (x, y) достигает максимума (минимума) в точке М0 (х0 , y0 ) , если её

значение z0 = f (x0 , y0 ) в указанной точке является наибольшим (наименьшим) по сравнению со значениями f (x, y) из некоторой окрестности точки М0 (х0 , y0 ) . Если функция z = f (x, y) непрерывна в некоторой области D и

обладает в области D всеми непрерывными частными производными до второго порядка включительно (эти условия выполнены для всякой элементарной функции двух переменных в её области определения), то поиск экстремумов (максимумовиминимумов) можетбытьосуществлёнпотакомуалгоритму:

а) найти z′x и z′y ;

б) найтиточки, вкоторыходновременно z′x =0 и z′y =0 (критическиеточки);

в) вычислив в каждой найденной критической точке ( х0 , у0 ) частные производные второго порядка

экстремума: в случае A > 0 имеется минимум, в случае A < 0 – максимум. Если δ<0 , то в данной критической точке экстремума нет.

27

Пример. Исследовать на экстремум функцию z = x3 −3xy + y3 −1. Решение. Имеем элементарную функцию, определённую при любых

которая в нашем случае имеет вид

Подставляя найденные значения поочерёдно в первое уравнение системы, получим y1 = 0 , y2 =1. Таким образом, заданная функция имеет две крити-

С = z′yy′ = (3y 2 −3x)′y = 6 y.

тельно, δ = AC − B2 = 27 > 0, так что в этой точке имеется экстремум. Поскольку A = 6 > 0 , то в точке М2 (1, 1) данная функция достигает минимума. Опре-

деляем минимальное значение функции: zmin (1, 1)=13 −3 1 1+13 −1 = −2. Ответ: zmin (1, 1)= −2 .

2.5.2. Наибольшее и наименьшее значения функции в замкнутой ог-

раниченной области D. Всякая непрерывная функция z = f (x, y) достигает в такой области D своего наибольшего и наименьшего значения. В частности,

28

для элементарных функций может быть использован следующий алгоритм нахождения этих значений:

а) найти частные производные z′x и z′y данной функции и определить

лишь те из них, которые расположены внутри области D;

б) вычислить значения данной функции z = f (x, y) в этих точках;

в) определить наибольшее и наименьшее значения функции на каждом участке границы области D. При этом, выражая переменную у или переменную х из уравнения соответствующего участка границы, будем всякий раз иметь функцию одной переменнойна некотором отрезке. Исследование такой функции на наибольшееинаименьшеезначения– знакомаязадача(см. п. 1.5.1);

г) среди значений, найденных в п. б) и в), выбрать наибольшее и наименьшее.

Решение. Данная элементарная функция определена при любых действительных значениях переменных x и y . Область D , ограниченная указан-

ными линиями, есть прямоугольник с вершинами (0, 0), (–3, 0), (–3, –3), (0, –3). Теперь реализуем указанный выше алгоритм:

а) найдём частные производные данной функции z′x = 2x − y +1, z′y = 2 y − x +1 и определим критические точки:

29

Остаётся вычислить значения данной функции в концевых точках участков границы (в «угловых» точках области D) М6 (0, 0), М7 (−3, 0), М8 (0, −3),

М9 (−3, −3) и произвести выбор наибольшего и наименьшего значений:

z6 (0, 0)= 0 , z7 = z(−3, 0)= (−3)2 +02 −(−3) 0 +(−3)+0 = 6 ,

z8 = z(0, −3)= 6, z9 = z(−3, −3) = (−3)2 +(−3)2 −(−3)(−3) −3 −3 =3.

Сравнивая эти значения, находим, что наибольшее из них равно 6 и достигается в точках М7 (−3, 0) и М8 (0, −3) , а наименьшее значение равно −1

идостигается в точке M1 (−1, −1).

2.5.3.Условный экстремум. Задачи на нахождение наибольших и наименьших значений различных величин (см. п. 1.5.2) являются частными слу-

чаями задач на условный экстремум. Точку максимума или минимума функции z = f (x, y) , достигнутого при условии, что её координаты х и у удовле-

творяют так называемому уравнению связи ϕ(x, y) = 0 , называют точкой ус-

ловного экстремума. В простейших случаях из уравнения связи удаётся выразить однозначным образом одну из переменных через другую, например y = τ(x). Следовательно, получаем задачу об экстремуме функции одной

переменной z = f (x,τ(x)) .

Пример. Найти точку минимума функции z = x2 + y2 при условии связи

x + y − 2 = 0.

Решение.

1. Из уравнения связи выражаем y и подставляем результат в выражение для z. Получаем функцию одной переменной z = x2 +(2 − x)2 .

30