Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Элементы математического анализа - компетентностный подход. Учебное пособие.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

15.08.2026

Размер:

846 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011 / 1311 12 13 > Следующая >>>

Теперь

D = lim

an+1

= lim

(2n +3)5n+1

(2n +1)5n

= lim

2n +3

5n+1

n→∞ an

n→∞ (n +1)2

n→∞

2n +1 n +1

2 +

=5 lim

1 =5 >1.

n→∞

Имеем: D > 1; согласно признаку Даламбера ряд расходится.

Пример 3. Исследовать сходимость ряда

∞

n +1

∑

n=1

Решение. Наличие п! в знаменателе дроби

ап =

n +1

свидетельствует о её быстром убывании, в силу чего может быть эффективен

признак Даламбера. Имеем ап+1

n +2

(n +1)!

D = lim

an+1

= lim

n +2

п!

= lim

п+2

п!

n→∞

an n→∞ (n +1)!

п+1

n→∞

п+1

(п+1)!

= lim

п!

=0 .

n→∞

п!(п+1)

Поскольку D < 1, то данный ряд сходится.

4.6. Знакочередующиеся ряды

4.6.1. Рассмотрим последовательность

{an }, an R, an > 0, n =1, 2, ... .

(4.6.1)

Pяд вида

∞

a1 −a2 +a3 −...+(−1)n−1 an +... = ∑(−1)n−1 an

(4.6.2)

n=1

называется знакочередующимся. Достаточный признак его сходимости содержится в следующей теореме (признак Лейбница).

Теорема. Если последовательность (4.6.1) является убывающей и

lim an = 0,	(4.6.3)
п→∞

то знакочередующийся ряд (4.6.2) сходится. При этом для суммы S ряда справедлива оценка

0 ≤ S ≤ a1.

(4.6.4)

Замечание. Утверждение теоремы можно применить и к знакочередующемуся ряду

∞

∑(−1)n an ,

n=1

который начинается с отрицательного члена. Действительно, умножение всех членов ряда на ненулевое число (в нашем случае на –1) не влияет на его сходимость. В этом случае сумма S ряда окажется отрицательной и оценка вида (4.6.4) принимает вид

0 ≤ | S |≤ a1.

4.6.2. Следствие. При выполнении условий теоремы Лейбница сумма остатка

∞

RN = ∑ (−1)n−1 an n=N +1

знакочередующегося ряда имеет оценку

| RN |≤ aN +1 .

Утверждение следствия может быть переформулировано в виде сле-

дующего правила: при замене суммы знакочередующегося ряда суммой первых его нескольких членов абсолютная погрешность не превзойдёт модуля первого из отброшенных членов.

4.6.3. Пример 1. Исследовать сходимость ряда

		1− 1	+ 1	−...+(−1)n−1	1	+... .

		2	3		n
Решение. Выполнены оба условия признака Лейбница: последователь-
ность	1	является, очевидно, убывающей и имеет место соотношение


	n

lim 1 = 0.

п→∞ n

Значит, ряд сходится.

Пример 2. Вычислить сумму ряда

∑∞ (−1)n n

n=1 2n

с точностью до 0,01.


Решение. Имеем знакочередующийся ряд
− 1	+	2	−	3	+	4	−	5	+	6	−	7	+		8		−	9	+	10	−...
− 1	+	2	−	3	+	4	−	5	+	6	−	7	+		8		−	9	+	10	−...
2	2		2		2		2		2		2		2				2		2
с отрицательным первым членом; здесь ап =														n		, причём для последователь-
с отрицательным первым членом; здесь ап =														2n		, причём для последователь-
														2n

ности { ап } выполнены оба условия теоремы Лейбница. А именно, последовательность { ап } убывает и стремится к нулю ввиду того, что показательная

функция y = 2x растёт (при x →∞) быстрее линейной у = х.

Согласно вышеприведённому правилу сумму ряда можно вычислить приближённо, оставив все последовательные члены, модули которых ещё больше 0,01, и отбросив все члены, начиная с того, который уже меньше 0,01.

Первым таким является член									10			< 0,01, тогда как предшествующий ему
Первым таким является член									10			< 0,01, тогда как предшествующий ему
	9							2
	9	= 0, 017… > 0,01.
29		= 0, 017… > 0,01.
29		Имеем
		Имеем
		S ≈ − 1	+	2	−	3	+	4		−		5	+	6	−	7	+	8	−	9	≈ −0,16
		S ≈ − 1	+		−		+	24		−			+		−		+		−		≈ −0,16
		2	22		23			24			25		26		27		28		29

с точностью до 0,01.

4.7. Абсолютная и условная сходимость знакопеременного ряда

4.7.1. Рассмотрим ряд из действительных чисел

∞
∑un ,	(4.7.1)

n=1

среди членов которого имеются как положительные, так и отрицательные числа; такой ряд называется знакопеременным. Рассмотрим также ряд, составленный из абсолютных величин членов (4.7.1):

∞
∑\| un \|.	(4.7.2)

n=1

Будем считать, что количество как положительных, так и отрицательных членов в формуле (4.7.1) является бесконечным, так как в противном случае вопрос о сходимости сводится к случаю знакоположительных рядов.

Теорема. Если сходится ряд (4.7.2), то сходится и ряд (4.7.1). Сходимость ряда (4.7.1) в этом случае называется абсолютной. Обратное утверждение неверно: знакопеременный ряд может быть

сходящимся, тогда как (4.7.2) – расходящийся (см. пример 1 п. 4.6.3). В подобных случаях говорят, что ряд (4.7.1) сходится условно.

Подразделение видов сходимости на абсолютную и условную присуще именно знакопеременным рядам. С точки зрения введённых понятий сходящийся знакоположительный ряд – это всегда абсолютно сходящийся ряд, поскольку ряд из модулей совпадает с ним самим.

4.7.2. Пример 1. Исследовать сходимость ряда

∞

∑(−1)n sin

n=1

Решение. Имеем общий член ряда в виде

wn = (−1)n sin

sin

> 0 при n =1, 2, .... Значит,

| wn

|= sin

Построив ряд из модулей, получим для него число Даламбера

| wn+1 |

sin

D = lim

= lim

2n+1

= lim

2n+1

;

| w |

п→∞

sin

п→∞

вычисляя последний предел, мы воспользовались эквивалентностью бесконечно малых sint и t при t →0 в случаях, когда значения t выбраны рав-

ными	π	и		π	.

2n+1			2n
Итак,		D =			2	<1 , откуда следует, что сходится ряд из модулей, а тогда
				2

данный ряд сходится абсолютно.

Пример 2. Исследовать сходимость ряда

∑∞ n .

n=11−(−1)п n

Решение. Имеем

| wn |=

−(−1)п n |

(−1)n

(−1)

−1

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011 / 1311 12 13 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]