имеем | x | > 5 , что равносильно совокупности двух неравенств: x > 5 , x < −5 , во втором – x = −5 . Окончательно имеем область сходимости в виде

x (−∞, −5]U(5, +∞).

4.10.Разложения функций в степенные ряды

4.10.1.Рассмотрим задачу о представлении данной функции действи-

тельного переменного y = f (x) в виде бесконечного многочлена. Иными

словами, речь идёт о представлении функции суммой степенного ряда. Такой ряд в общем случае имеет вид

f (x) – его сумма, то она должна быть дифференцируема сколь угодно много

раз. В этом случае разложение (4.10.1), как нетрудно убедиться, принимает вид

f (x) = cos x имеют следующие разложения в ряд Маклорена на всей числовой оси:

4.10.3. Имеют место также следующие разложения (в указанных интервалах):

1) «биномиальное» разложение (разложение произвольной степени двучлена):

77

Представления элементарных функций в виде сумм степенных рядов (4.10.3) – (4.10.8) имеют весьма широкий спектр применений. С их помощью можно:

а) получать разложения других элементарных функций; б) получать приближённые значения трансцендентных функций;

в) вычислять(записыватьвформеряда) «неберущиеся» интегралыидр. Пример. Записать в виде суммы степенного ряда

x

Y (x) = ∫e−x2 dx .

0

Решение. Как известно из математического анализа, первообразные функции y = e−x2 (и, в частности, интеграл с переменным верхним пределом Y (x)) не выражаются через элементарные функции. Поэтому указанная по-

становка задачи – получить выражение первообразной в виде суммы степенного ряда – является вполне уместной. Начнём с разложения (4.10.3), которое имеет место при всех значениях аргумента х , и в частности, когда в роли

аргумента выступает ( − х2 ). Имеем

78

В результате почленного интегрирования (возможного по любому промежутку, и, в частности, от 0 до х) получаем

при всех действительных значениях х.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Методы математического анализа – мощный инструмент моделирования различных процессов и явлений. Владея дифференциальным исчислением, исследователь получает возможность определять скорость протекания процесса в любой фиксированный момент времени, его «пиковые» состояния, его «предельное» поведение при неограниченном росте времени протекания. Интегральное исчисление – это средство решения геометрических задач (площади, объёмы), вычисления работы переменной силы и др. Теория рядов открывает возможности для аппроксимации функций, приближённого вычисления их значений, а также «неберущихся» интегралов. Таким образом, овладение основными понятиями, фактами и методами математического анализа в значительной мере способствует формированию ряда общекультурных и общепрофессиональных копетенций бакалавров инженерных направлений подготовки.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1.Бермант, А. Ф. Краткий курс математического анализа : учебник. – 10-е изд., стереотип. / А. Ф. Бермант, И. Г. Араманович. – СПб. : Лань, 2003. – 736 с.

2.Демидович, Б. П. Сборник задач и упражнений по математическому анализу / Б. П. Демидович. – М. : Изд-во Моск. ун-та, 1997. – 624 с.

3.Индивидуальные задания по высшей математике / А. П. Рябушко, В. В. Бархатов и др. – Минск : Изд-во «Вышэйшая школа», 2013. – Ч. 1. – 304 с.; ч. 2. – 396 с.; ч. 3. –367 с.; ч. 4. – 336 с.

4.Нахман, А. Д. Введение в теорию и практику числовых и функциональных рядов : учебное пособие / А. Д. Нахман. – Palmarium Academic Publishing OmniScriptum GmbH&Co.KG, Germany, 2015. – 93 с.

79

1.3.Касательная и нормаль. Правило Лопиталя ………………………….. 14

1.4.Применение производной к исследованию функций ……………….. 16

1.5.Нахождение наибольшего и наименьшего значений функции …….. 19

2.ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ ………………………………………………………………. 22

2.1.Частные производные …………………………………………………. 22

2.2.Производная неявной функции ……………………………………….. 23

2.3.Уравнение касательной плоскости и нормали ………………………. 24

3.1.Неопределённый интеграл ……………………………………………. 31

3.2.Определённый интеграл ………………………………………………. 41

3.3.Несобственные интегралы …………………………………………….. 44

3.4. Приложения определённых интегралов к задачам геометрии ……… 47

3.5.Применение определённых интегралов к некоторым задачам естествознания ……………………………………………………………… 53

4.РЯДЫ ……………………………………………………………………….. 59

4.1.Вычисление конечных сумм ………………………………………….. 59

4.2.Числовые ряды. Основные понятия. Простейшие свойства ………... 61

4.3.Необходимый признак сходимости ряда. Сумма геометрической прогрессии ………………………………………………………………….. 64

4.4.Сходимость рядов с положительными членами:

признаки сравнения ………………………………………………………… 65 4.5. Сходимость рядов с положительными членами:

признаки Коши и Даламбера ………………………………………………. 67 4.6. Знакочередующиеся ряды …………………………………………….. 69 4.7. Абсолютная и условная сходимость знакопеременного ряда ……… 71

4.8.Упражнения для самостоятельного решения ………………………... 73

4.9.Интервал сходимости степенного ряда ………………………………. 74

4.10.Разложения функций в степенные ряды ……………………………. 77

ЗАКЛЮЧЕНИЕ ………………………………………………………………. 79 СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ ……………………………………………………. 79

80