Министерство образования и науки Российской Федерации

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования

«Тамбовский государственный технический университет»

А. Д. НАХМАН, С. В. ПЛОТНИКОВА

ЭЛЕМЕНТЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА – КОМПЕТЕНТНОСТНЫЙ ПОДХОД

Утверждено Учёным советом университета в качестве учебного электронного пособия для студентов, обучающихся

по специальности 08.05.02 «Строительство, эксплуатация, восстановление и техническое прикрытие автомобильных дорог, мостов и тоннелей»

Учебное электронное издание комплексного распространения

Тамбов Издательство ФГБОУ ВО «ТГТУ»

2017

1

УДК 517.9(075.8)

ББК В161.бя73

Н34

Рецензенты:

Доктор физико-математических наук, профессор, заведующий научно-исследовательской лабораторией «Механика интеллектуальных материалов и конструкций» ФГБОУ ВО «ТГТУ»

Г. М. Куликов

Доцент, заведующая кафедрой общеобразовательных дисциплин ТОГОАУ ДПО

«Институт повышения квалификации работников образования»

Т. В. Мирзаева

Нахман, А. Д.

Н34 Элементы математического анализа – компетентностный подход [Электронный ресурс] : учебное пособие / А. Д. Нахман, С. В. Плотникова. – Тамбов : Изд-во ФГБОУ ВО «ТГТУ», 2017. – 1 электрон. опт. диск (CD-ROM). – Системные требования : ПК не ниже класса

Pentium II ; CD-ROM-дисковод ; 40,6 Mb ; RAM ; Windows 95/98/XP ;

мышь. – Загл. с экрана. ISBN 978-5-8265-1708-6

Рассмотрены основные понятия, факты и методы математического анализа с точки зрения компетентностного подхода. Подготовлено в соответствии с требованиями актуализированных ФГОС к подготовке бакалавров и специалистов инженерных направлений подготовки и имеет целью формирование ряда общепрофессиональных компетенций.

Предназначено для студентов, обучающихся по специальности 08.05.02 «Строительство, эксплуатация, восстановление и техническое прикрытие автомобильных дорог, мостов и тоннелей».

УДК 517.9(075.8)

ББК В161.бя73

Все права на размножение и распространение в любой форме остаются за разработчиком. Нелегальное копирование и использование данного продукта запрещено.

2

ВВЕДЕНИЕ

Характерной особенностью новой образовательной парадигмы является переход к компетентностному подходу. В отличие от традиционной «квалификации», подразумевавшей определённый набор знаний, умений и навыков, в соответствии с требованиями рабочего места «компетенция» предполагает развитие в человеке способности ориентироваться в разнообразии сложных и непредсказуемых рабочих ситуаций, иметь представления о последствиях своей деятельности, а также нести за них ответственность.

Всоответствии с компетентностным подходом в образовательные стандарты и образовательные программы закладываются результаты обучения, на которые и ориентировано построение учебного процесса. Речь идёт не только

опредметных результатах, но и о метапредметных и личностных. Таким образом, овладение студентом определённой совокупностью знаний, умений и навыков должно сочетаться с развитием кругозора, овладением междисциплинарными связями, со способностью «переносить» знания и умения на незнакомые ситуации.

Компетенции формируются средствами учебных дисциплин, включённых в основные образовательные программы (ООП). Значительную роль в их формировании, а также в готовности решать профессиональные задачи, играют математические дисциплины. В частности, одной из таких важнейших профессиональных задач является экспериментально-исследовательская деятельность.

Врезультате освоения программы бакалавриата/специалитета у выпускника должны быть сформированы общекультурные (ОК), общепрофессиональные (ОПК) и профессиональные (ПК) компетенции. На их формирование и должны быть нацелены планируемые результаты изучения математических дисциплин.

Вчастности, предметные результаты освоения курса «Математический анализ» студентами специальности 08.00.00 «Техника и технологии строительства (специализация 08.05.02 «Строительство, эксплуатация, восстановление и техническое прикрытие автомобильных дорог, мостов и тоннелей»)» предполагают, что будут сформированы следующие общепрофессиональные компетенции:

–способность использовать основные законы естественно-научных дисциплин в профессиональной деятельности, применять методы математического анализа и математического (компьютерного) моделирования, теоретического и экспериментального исследования (ОПК-1);

–способность выявить естественно-научную сущность проблем, возникающих в ходе профессиональной деятельности, привлечь для их решения соответствующий физико-математический аппарат (ОПК-2).

Втаблице В1 представлены результаты обучения, которые должны быть достигнуты в процессе освоения студентами курса математического анализа.

3

В1. Структурные составляющие компетенции

В настоящем пособии мы излагаем основные понятия, факты и методы математического анализа с точки зрения компетентностного подхода.

Математический анализ – раздел высшей математики, в котором изучаются переменные величины в их взаимозависимости. При этом изучение происходит с отвлечением от физического (или иного конкретного) смысла величины. Основным в математическом анализе является понятие функциональной зависимости, т.е. соответствия, устанавливаемого между значениями переменных величин. Язык и методы математического анализа являются, таким образом, универсальными.

Математический анализ находит применение в самых разных областях деятельности человека: расчёт траекторий полёта космических объектов, изучение закономерностей развития циклонов, моделирование работы ядер-

4

ных реакторов др. Значительную роль играют методы и средства математического анализа в экономике: в частности, в вопросах оптимального распределения ресурсов, достижения максимальной прибыли при минимальных издержках и др. Математический анализ находит применение всюду, где речь идёт о моделировании динамических процессов: течение химических реакций, процесс размножения вирусов и бактерий, оценка уровня дозирования медицинских препаратов и т.д.

Математический анализ ведёт свою историю с XVII века. Как самостоятельная теория он возник в работах Ньютона и Лейбница, был развит в работах И. Бернулли, Л. Эйлера, Ж. Лагранжа, О. Коши, К. Вейерштрасса и многих других математиков XVIII и XIX веков. В настоящее время активно развиваются такие ветви математического анализа, как теория функций действительного переменного, теория аналитических функций, функциональный анализ, гармонический анализ и др.

Материал пособия включает в себя:

−понятие предела функции в точке и на бесконечности (тенденции процесса) и методы вычисления пределов;

−понятие производной (скорость протекания процесса) и её геометрический смысл;

−применение производной к исследованию функций и построению графиков (визуализация процессов);

−понятие неопределённого интеграла и методы интегрирования (восстановление процесса по известной скорости его протекания);

−понятие определённого интеграла и его геометрический и физический смысл;

−основы дифференциально-интегрального исчисления функций нескольких переменных (характеристики скалярных и векторных полей);

−элементы теории числовых и функциональных рядов (средства приближённого решения задач).

Предложены также подборки задач для самостоятельного решения.

1.ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

1.1.Предел функции одной переменной

1.1.1.Понятие предела – одно из основных в математическом анализе. Не приводя строгих определений, объясним смысл указанного понятия.

Пусть дана функция y = f (x) и значения аргумента х неограниченно при-

ближаются к значению x0 , но не совпадают с x0 (что будем записывать в виде x → x0 ) . Если при этом оказывается, что значения y = f (x) становятся сколь угодно близкими к некоторому числу А, то говорят, что А есть предел

5

В случае когда значения аргумента х неограниченно растут по модулю, оставаясь при этом положительными (отрицательными), мы записываем х→ +∞ ( х→ −∞ ). Если не принципиально, какого знака значения аргумента

f (x) называется бесконечно малой. Возможен также случай, когда значения функции f (x) неограниченно растут (к +∞ или –∞) при стремлении аргумента х к некоторому x0 или к бесконечности. В этих случаях записывают соответственно

а функцию f (x) называют бесконечно большой (при x → x0 и х→∞ соответственно). Следует заметить, что если функция f (x) – бесконечно боль-

шая (бесконечно малая), то функция g(x)= f 1(x) – бесконечно малая (беско-

нечно большая).

Если рассмотреть, в частности, функцию натурального аргумента (последовательность) уп = f (n) , то к ней применимо определение предела на

бесконечности; используют запись lim f (x)= A .

n→∞

1.1.2. Всякая элементарная функция f = f (x) непрерывна на своей области определения D( f ) . Это означает возможность перехода к пределу под знаком функции f (x) во всякой точке x0 D( f ) :

lim f (x)= f (x0 ).

x→x0

Этим свойством пользуются при вычислении пределов. Кроме того, при выполнении арифметических операций над функциями соответствующие операции выполняются и над их пределами.

1.1.3. Неопределённостями (при x → x0 или х → ∞) называются такие выражения (под знаком предела), которые при формальной подстановке вме-

1.1.4. Приёмы вычисления пределов. Вычисление пределов рациональных или иррациональных дробей на бесконечности может быть произведено путём одновременного деления числителя и знаменателя на старшую сте-

6

пень аргумента, чем достигается переход от бесконечно больших к бесконечно малым. Продемонстрируем приём на следующем примере.

Решение. Имеем бесконечно большие в числителе и знаменателе дроби, следовательно, выполняем одновременное деление на старшую степень

аргумента, т.е. на х4:

Теперь имеем бесконечно малую в знаменателе дробь и функцию, стремящуюся к −1 в числителе, т.е. дробь оказывается бесконечно большой. Ответ записываем в виде

числитель и знаменатель на выражение, сопряжённое числителю, т.е. на

х+1 +1, и сократим числитель и знаменатель на общий множитель х (который при х→0 не равен нулю). В результате имеем

7

вующий предел существует и равен некоторому иррациональному числу

е = 2,7…:

1

lim(1+t)t = e .

t→0

Рассмотренные пределы называются, соответственно, первым и вторым замечательными пределами. Второй замечательный предел может быть также записан в равносильной форме

8

б) Имеем «комбинированную» неопределённость вида ∞∞ ∞ . Если вы-

делить в скобках в качестве слагаемого число 1, то станет возможным использование второго замечательного предела:

Далее, пользуясь свойством непрерывности показательно-степенной функции, перейдём по отдельности к пределу в основании и показателе степени:

(второй замечательный предел при t = x−+23 ),

в) Непосредственная подстановка значения x = 2 приводит к неопреде-

лённому выражению вида 1∞ . Снова используем приём выделения слагаемого, равного 1:

ность типа 1∞ . Приём выделения единицы может быть применён, если вос-

9

замечательногопределапоказательстепенитогдаследуетпреобразоватьквиду

10