Хаотическая динамика и классическая теория устойчивости движения

Поскольку при n = 2 имеем v1(t) = z1(t), из неравенства (7.35) получим оценку

в силу соотношений (7.34) имеем оценку

|y(t)| C exp[(α − d)(t − τ )]|y(τ )|, t τ.

Поэтому по теореме 5.1 существует непрерывно дифференцируемая, ограниченная на [0, +∞) матрица H(t) и положительные числа ρ1 и ρ2, для которых

82 ГЛАВА 7

Для скалярного уравнения

y˙n = [ln |vn(t)|)• − d]yn, yn R1

при n = 2 из соотношения (7.36) имеем оценку

|yn(t)| (Cr)1−n exp[(β − d)(t − τ )]|yn(τ )|, t τ 0.

При n = 2 аналогичная оценка имеет вид

|y2(t)| C−1 exp[(β − d)(t − τ )]|y2(τ )|, t τ 0.

Поэтому в силу следствия 5.1 существует непрерывно дифференцируемая, ограниченная на [0, +∞) функция h(t) и положительные числа ρ3 и ρ4, для которых

˙ | | • − − h(t) + 2h(t) [(ln vn(t) ) d)] ρ3

(7.43)

h(t) −ρ4, t 0.

Покажем теперь, что функция

при достаточно большом ω будет функцией Ляпунова, удовлетворяющей для системы (7.38) всем условиям классической теоремы Ляпунова о неустойчивости.

В самом деле, систему (7.38) можно записать в виде

где q(t) — некоторая ограниченная на [0, +∞) вектор–функция, g и gn таковы, что

g(t, y) g(t, y) = .

gn(t, y)

Из этих неравенств и ограниченности при t 0 матрицы-функ- ции H(t), вектор-функции q(t) и функции h(t) следует, что при достаточно большом ω и достаточно малом ρ найдется положительное число θ, для которого

Из ограниченности H(t), h(t) следует существование числа a, для которого

Возьмем теперь начальные условия y(0) так, чтобы V (0, y(0)) < 0. Тогда из (7.45) следует, что

V (t, y(t)) < 0, t 0,

и в силу неравенства (7.46) имеем оценку

−V (t, y(t)) eaθt (−V (0, y(0))).

Отсюда и из неравенств (7.42) и (7.43) вытекает оценка

−ωh(t)yn(t)2 eaθt(−V (0, y(0))), t 0.

Тогда любое решение x(t, t0, x0) с начальными данными x0 Ω неустойчиво по Ляпунову.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО.

Зафиксировав некоторую пару x0 Ω и t t0, выберем в любой δ-окрестности точки x0 вектор y0 так, чтобы

Будем рассматривать число δ настолько малым, что шар радиуса δ с центром в x0 целиком расположен в Ω.

Хорошо известно [18], что для любых фиксированных чисел t, j и векторов x0, y0 существует вектор wj Rn, для которого

Из этой оценки и условия (7.51) следует, что для любых положительных чисел ε и δ существует число t t0 и вектор y0, при которых

|x0 − y0| = δ, |x(t, t0, x0) − x(t, t0, y0| > ε.

Обсудим теперь условия теоремы 7.5.

Условия теоремы 7.5 — это, по существу, требование положительности хотя бы одной из ляпуновских экспонент линеаризаций потока решений с начальными данными из Ω с небольшим добавлением: «неустойчивые направления ξ(t)» (или — неустойчивые многообразия) этих решений непрерывно зависят от начальных данных x0. В самом деле, если это свойство имеет место, то рассматривая, если это необходимо, область Ω как объединение областей Ωi сколь угодно малого диаметра, на которых выполнены условия (7.50) и (7.51), получим неустойчивость по Ляпунову всего потока решений с начальными данными из Ω.

Применим теорему 7.5 к системе (4.5).

Для решений x(t, t0, x0) системы (4.5) с начальными данны-

ми t0 = 0

x1(0, x10 , x20, x30) = x10, x2(0, x10 , x20, x30) = x20,

x3(0, x10 , x20, x30) = x30

имеем соотношения

Здесь

r(t) = sin(ln(t + 1)) + cos(ln(t + 1)) − 2a.

Решениями системы (7.49) будут функции

z1(t) = exp[−at]z1(0),

z2(t) = exp[−2at]z2(0), (7.54) z3(t) = p(t)(z3(0) + (z2(0) − 2x10z1(0))q(t)),

где

p(t) = exp[(t + 1) sin(ln(t + 1)) − 2at],

t

q(t) = exp[−(τ + 1) sin(ln(τ + 1))] dτ.

0

Если положить

0

ξ(t) = 1 , 0

то для Ω = Rn и

*

α(t) = exp[−4at] + (p(t)q(t))2

будут выполнены соотношения (7.50) и (7.51) (см. оценку (4.4)). Таким образом, по теореме 7.5 любое решение системы (4.5)

неустойчиво по Ляпунову.

Сузим теперь наше рассмотрение на многообразие

M = {x3 R1, x2 = x21}.

В этом случае начальные данные невозмущенного решения x0 и возмущенного решения y0 принадлежат многообразию M :

Из анализа доказательства теоремы 7.5 (см. равенство (7.52)) можно сделать вывод о том, что здесь имеется следующее дополнительное требование на вектор-функцию ξ(t).

Если выполнены (7.52) и (7.55), то из неравенства ξ2(t) = 0 следует соотношение ξ1(t) = 0.

88 ГЛАВА 7

В этом случае условия (7.50) и (7.51) не выполнены, так как при 2x10ξ1(t) = ξ2(t) = 0 или ξ2(t) = 0 величина

|X(t, 0, x0 )ξ(t)|

ограничена на [0, +∞).

Таким образом, эффекты Перрона для системы (4.5) на многообразии M возможны из-за нарушения равномерности по x0 в условиях (7.50) и (7.51) при некоторых дополнительных требованиях на век- тор-функцию ξ(t).

7.3. Заключительные выводы

Подведем теперь итог исследований устойчивости по первому приближению, изложенных в главах 4–7.

Теоремы 6.4 и 7.5 дают полное решение задачи об устойчивости по первому приближению для потоков решений в типичном, некритическом случае, когда при малых вариациях начальных условий исходной системы система первого приближения сохраняет свою устойчивость (или неустойчивость по некоторому «направлению» ξ(t)).

Тем самым здесь полностью решена классическая проблема об устойчивости по первому приближению неустановившихся движений в общем случае ([44], стр.370).

Эффекты Перрона, описанные в главе 4, возможны только на границах устойчивых или неустойчивых по первому приближению потоков. С этой точки зрения здесь имеется нетипичный, критический случай.

Прогресс в изучении общего, некритического случая стал возможным потому, что теорема о конечных приращениях позволяет сводить оценку разности возмущенного и невозмущенного решений к анализу системы первого приближения, линеаризованной вдоль некоторого «третьего» решения исходной системы. Такой подход позволил сделать доказательства теорем «почти очевидными».

Таким образом, трудности исследования индивидуальных решений связаны с тем, что они могут располагаться на границах устойчивых (или неустойчивых) по первому приближению потоков. В этом

случае такая нетипичность (наличие критических случаев) приводит к тому, что здесь приходится разрабатывать более тонкие (и, конечно, часто громоздкие) инструменты исследования. Такие методы исследования индивидуальных решений изложены в главах 5 – 7.

ГЛАВА 8

Устойчивость по Жуковскому

Устойчивость по Жуковскому есть не что иное, как устойчивость по Ляпунову перепараметризованных траекторий. Поэтому для исследования устойчивости по Жуковскому есть возможность применить весь богатый арсенал методов и приемов, разработанный для изучения ляпуновской устойчивости.

Перепараметризация траекторий дает возможность ввести еще один интересный и важный инструмент исследования — подвижное сечение Пуанкаре.

Классическое сечение Пуанкаре [3, 75, 82, 106] — это бесконтактная (трансверсальная) (n − 1)-мерная поверхность S в фазовом пространстве Rn, которая обладает свойством возвращаемости. Последнее означает, что для траектории динамической системы x(t, x0) с начальными данными x0 S существует момент времени t = T > 0, для которого x(T, x0) S.

Свойство бесконтактности (трансверсальности) означает, что

Здесь n(x) — нормальный вектор поверхности S в точке x, f (x) — правая часть дифференциального уравнения

порождающего динамическую систему.

«Заставим» теперь сечение Пуанкаре двигаться вдоль рассматриваемой траектории x(t, x0) (рис. 8.1).