Хаотическая динамика и классическая теория устойчивости движения

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО.

Из формулы Остроградского – Лиувилля [12] и неравенства (7.9) имеем соотношения

Отсюда следует, что для линейного подпространства L(t), натянутого на вектора z1(t), . . . , zm (t) (m < n), найдется число ε (0, 1), такое, что выполнена оценка

для всех e(t) L(t), удовлетворяющих равенству |e(t)| = 1. Соотношения (7.5) можно переписать следующим образом

Предположим, что утверждение леммы не имеет места. В этом случае существует последовательность tk → +∞, для которой

vj (tk )

lim = 0.

k→+∞ |zj (tk )|

Но тогда из равенства (7.12) получим, что существует число l < j, для которого

Поскольку vl(t) L(t) соотношения (7.11) и (7.13) противоречат друг

вие (7.9) является необходимым и достаточным условием существования числа r > 0, для которого выполнена оценка (7.10).

Заметим, что условие (7.9) является необходимым и достаточным условием невырожденности при t → +∞ нормированной фундаментальной матрицы системы первого приближения (7.4):

Перейдем теперь к описанию процедуры триангуляции Перрона – Винограда.

Введем в рассмотрение унитарную матрицу

U (t) = v1(t) , · · · , vn(t)

|v1(t)| |vn(t)|

и сделаем следующую замену в системе (7.4): z = U (t)w.

Из унитарности матрицы U (t) следует, что для столбцов w(t) матрицы W (t) = (w1(t), . . . , wn(t)) = U (t) Z(t) выполнены соотношения |wj (t)| = |zj (t)|.

Из соотношений (7.5)– (7.7) вытекает, что матрица W (t) имеет следующий треугольный вид:

Матрица W (t) является фундаментальной матрицей для системы

74 ГЛАВА 7

Из того факта, что W (t) — верхняя треугольная матрица, сле-

−1 ˙

дует, что и W (t) , W (t) — верхние треугольные матрицы. Поэтому матрица

матрицы U (t) имеет место всегда и очевидна. Поэтому ограничена также матрица U (t)−1A(t) U (t) = U (t) A(t)U (t).

Из унитарности U (t) следует тождество

Отсюда, из соотношений (7.16) и (7.17) следует, что модуль

−1 ˙

элемента матрицы U (t) U (t) совпадает с модулем некоторого эле-

−1 −1 ˙

мента матрицы U (t) A(t)U (t). Таким образом, матрица U (t) U (t) ограничена при t 0. Отсюда и из равенства (7.16) следует огра-

Теорема 7.1 (Перрона о триангуляции линейной системы).

[12]. Систему (7.4) с помощью унитарного преобразования z = = U (t)w можно привести к системе (7.15) с матрицей B(t) вида (7.17).

Если матрица A(t) ограничена при t 0, то и матрицы B(t),

˙

U (t), U (t) также ограничены при t 0.

Докажем теперь еще одну полезную оценку для вектор-функ- ции vn(t).

Из формулы Остроградского–Лиувилля, (7.15), (7.16) и (7.18) имеем равенства

7.2. Теоремы о неустойчивости

то решение x(t) ≡ 0 системы (7.1) неустойчиво по Красовскому.

76 ГЛАВА 7

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО.

Не умаляя общности, можно считать, что в (7.20) супремум по k достигается при k = n.

где B(t) определяется по формуле (7.16) и

g(t, y) = U (t)−1f (t, U (t)y).

Таким образом, последнее уравнение системы (7.21) примет вид

Здесь yn и gn — n-е компоненты векторов y и g.

Предположим теперь, что решение x(t) ≡ 0 устойчиво по Красовскому. Это означает существование для некоторой окрестно-

Из условия (7.20) по лемме 7.3 получим существование такого числа μ > 0, что при достаточно больших значениях t выполнена оценка

Заметим, что решение yn(t) уравнения (7.22) можно представить в форме

0

Из оценки (7.25) следует существование числа ρ > 0 такого, что выполнено неравенство

δ> ρκRν δν .

Вэтом случае из соотношений (7.24)–(7.27) получим при достаточно больших t 0 оценку

yn(t) exp(μt)(δ − ρκRν δν ).

Отсюда сразу следует соотношение

lim yn(t) = +∞.

t→+∞

Последнее противоречит предположению об устойчивости по Красовскому тривиального решения системы (7.1). Теорема доказана.

Замечание относительно метода доказательства теоремы 7.2.

Если бы мы предположили наличие устойчивости по Ляпунову и попытались вывести к этому противоречие, так же, как это было сделано в доказательстве по отношению к устойчивости по Красовскому, то в этом случае необходимо было бы доказать неравенство

0

Для правильных систем, когда Γ = 0, теорема 7.3 полностью решает задачу об устойчивости по Красовскому в некритическом случае (Λ = 0).

Заметим, что для системы (4.6) имеет место равенство Γ = = Λ + 2a + 1. Поэтому условие (7.29) для системы (4.6) не выполняется.

Теорема 7.4. [23]. Будем предполагать, что для некоторых чисел C > 0, β > 0, αj < β (j = 1, . . . , n − 1) выполнены следующие условия:

1) при n > 2

Тогда нулевое решение системы (7.1) неустойчиво по Ляпунову.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО.

Напомним, что фундаментальная матрица W (t) системы (7.15) имеет вид (7.14). Вектор–столбцы этой матрицы wj (t) имеют вид: