Хаотическая динамика и классическая теория устойчивости движения

Введем передаточную функцию системы (11.1)

W (p) = c (A − pI)−1b,

где p — комплекная переменная.

Теорема 11.1. Пусть для натурального числа N выполнено неравенство

при всех j = 0, . . . , N −1. Тогда не существует N-периодической последовательности x(t), удовлетворяющей уравнению (11.1) и включению

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТЕОРЕМЫ.

Рассмотрим последовательность u(t) t = 0, . . . , N − 1 и ее дискретное преобразование Фурье

В этом случае

1

W (p) = p − 1 + ε .

Хорошо известно [40], что при α < α1, где α1 — корень уравнения

*α2 − 1 = π + arccos α1 ,

отрезок [−π, π] отображается в себя: если θ(t) [−π, π], то θ(t + 1)[−π, π]. Кроме того, в этом случае для θ(0) (−π, π) имеют место соотношения

при α 2 и

lim |θ(t)| = 0

t→+∞

при α < 2.

В дальнейшем будем рассматривать случай α > 2. Определим множество Ω следующим образом:

5

Ω = [−θ0, 0) (0, θ0].

Из оценки (11.10) следует, что для ненулевого N-периодического решения уравнения (11.9) с начальными данными θ0 (−π, π) справедливо включение θ(t) Ω, t Z, t 0.

При k = α − ε справедливы неравенства (11.2), если

при ω = 0, ω = 2π/3, ω = 4π/3.

Последнее неравенство можно переписать следующим образом:

При некотором ε условия (11.11) и (11.13) выполнены, если имеет место неравенство

Неравенство (11.14) выполнено при α (2, 3.7).

Таким образом, при α (2, 3.7) уравнение (11.9) не может иметь цикла периода 3. Заметим, что на этом интервале для уравнения (11.9) наблюдается переход к хаосу через бифуркации удвоения

где μ — положительный параметр.

Будем рассматривать здесь случай μ (1, 4). (При μ < 1 все траектории уравнения (11.15) θ(t) стремятся при t → +∞ к устойчивому состоянию равновесия θ(t) ≡ 0). В этом случае уравнение (11.15) имеет два состояния равновесия θ(t) ≡ 0, θ(t) ≡ θ0 = 1 − μ−1.

Очевидно, что при θ(0) (0, 1) выполнено включение

θ(1) (0, μ/4].

Поскольку для такой последовательности выполнено неравенство θ(t) μ/4, получим оценку

156 ГЛАВА 11

Применяя теорему с A = −a1, b = −1, c = 1, σ = θ − θ0, ϕ(t, σ) = = −(μθ(1 − θ) − θ0) + a1(θ − θ0) и

1

W (p) = p + a1 ,

получим, что для любого нетривиального N — периодического решения выполнено условие (11.2) с k = a2 − a1. Условие (11.3) примет вид

Таким образом, для N = 3 получим следующее условие отсутствия циклов периода 3:

Последнее неравенство можно записать следующим образом:

Таким образом, если выполнено условие (11.20), то уравнение (11.15) не имеет циклов периода 3.

Хорошо известно [70,112], что при бифуркационном параметре μ = 3 состояние равновесия θ(t) ≡ θ0 теряет устойчивость и рождается цикл периода 2. При μ = 3,44948 . . . цикл периода 2 теряет устойчивость и рождается цикл периода 4. Далее на интервале (3,52, 3,57) происходят аналогичные бифуркации удвоения пери-

Литература

1. Айзерман М. А., Гантмахер Ф. Р. Абсолютная устойчивость регулируемых систем. — М.: Изд-во АН СССР, 1963. — 140 c.

2. Анищенко В. С., Астахов В. В., Вадивасова Т. Е., Нейман А. Б., Стрелкова Г. И., Шиманский-Гайер Л. Нелинейные эффекты в хаотических и стохастических системах. Институт компьютерных исследований. Серия «Компьютинг в математике, физике, биологии». — МоскваИжевск, 2003. — 529 с.

3. Анищенко В. С. Сложные колебания в простых системах. — М.: Наука, 1990. — 311 c.

4. Бабин Ф. В., Вишик М. И. Аттракторы эволюционных уравнений с частными производными и оценка их размерности // Успехи математических наук. — 1983. — т. 38, вып. 4. — с. 133–187.

5. Бабин А. В., Вишик М. И. Аттракторы эволюционных уравнений. — М.: Наука, 1989. — 293 c.

6. Барабанов Н. Е, Гелиг А. Х., Леонов Г. А., Лихтарников А. Л., Матвеев А. С., Смирнова В. Б., Фрадков А. Л. Частотная теорема (лемма Якубовича – Калмана) в теории управления // Автоматика и телемеханика. — 1996. — № 10. — c. 3–40.

7. Барбашин Е. А., Табуева В. А. Динамические системы с цилиндрическим фазовым пространством. — М.: Наука, 1969. — 299 с.

8. Бойченко В. А., Леонов Г. А. Об оценках размерности аттракторов отображения Хенона // Вестник Санкт-Петербургского университета. — 2000. — сер. 1, вып. 3. — с. 8–13.

9. Былов Б. Ф., Виноград Р. Э., Гробман Д. М., Немыцкий В. В. Теория показателей Ляпунова и ее приложение к вопросам устойчивости. — М.: Наука, 1966. — 576 с.

10. Вышнеградский И. А. О регуляторах прямого действия // Изв. СанктПетербургского технологического института. — 1877. — c. 21–62.

11. Гелиг А. Х., Леонов Г. А., Якубович В. А. Устойчивость нелинейных систем с неединственным состоянием равновесия. — M.: Наука, 1978. — 400 c.

12. Демидович Б. П. Лекции по математической теории устойчивости. — М.: Наука, 1967. — 472 с.

13. Демидович Б. П. Орбитальная устойчивость решений автономных систем. I, II // Дифференциальные уравнения. — 1968, № 4. — с. 575–588, № 8. — с. 1359–1373.

14. Дмитриев А. С., Кислов В. Я. Стохастические колебания в радиофизике и электронике. — М.: Наука, 1989. — 277 с.

15. Жуковский Н. Е. О прочности движения. Собрание сочинений. Т. 1. — М.: Гостехиздат, 1948. — c. 67–160.

16. Жуковский Н. Е. О прочности движения // Ученые Записки Московского Университета. — 1882. — № 4.

17. Заславский Г. М. Стохастичность динамических систем. — М.: Мир, 1984. — 271 c.

18. Зорич В. А. Математический анализ. Ч. I, II. — М.: Наука, 1981. — 543.; 1984. — 640 с.

19. Ильяшенко Ю. С., Вейгу Ли. Нелокальные бифуркации. — М.: МЦНМО-Ро, 1999. — 415 c.

20. Кузнецов С. П. Динамический хаос. — М.: Физматлит, 2001. — 296 с.

21. Ладыженская О. А. О нахождении минимальных глобальных аттракторов для уравнений Навье – Стокса и других уравнений с частными производными // Успехи математических наук. — 1987. — т. 42, вып. 6. — с. 25–60.

22. Леонов Г. А. Об одной модификации контрпримера Перрона // Дифференциальные уравнения. — 2003. — т. 39, № 11. — с. 1566–1567.

23. Леонов Г. А. Критерии неустойчивости по первому приближению для нестационарных линеаризаций // Прикладная математика и механика. — 2004. — № 6.

24. Леонов Г. А. Проблема обоснования первого приближения в теории устойчивости движения // Успехи механики. — 2003. — № 3.

25. Леонов Г. А. Формулы ляпуновской размерности аттракторов Хенона и Лоренца // Алгебра и анализ. — 2001. — т. 13, вып. 3. — с. 155–170.

29. Леонов Г. А., Полтинникова М. С. О ляпуновской размерности аттрактора диссипативного отображения Чирикова // Труды Санкт-Петер- бургского математического общества. — 2002. — т. 10. — с. 186–198.

30. Леонов Г. А. Об устойчивости по первому приближению // Прикладная математика и механика. — 1998. — т. 69, вып. 4. — с. 548–555.

34. Леонов Г. А. Построение специальной внешней меры Каратеодори для оценки хаусдорфовой размерности аттракторов // Вестник Санкт-Пе-

39. Леонов Г. А. Частотный критерий существования странных аттракторов дискретных систем // Автоматика и телемеханика. — 1999. — № 5. — c. 113–122.

40. Леонов Г. А., Селеджи С. М. Системы фазовой синхронизации в аналоговой и цифровой схемотехнике. — СПб.: Невский диалект, 2002. — 110 c.

41. Леонов Г. А., Смирнова В. Б. Математические проблемы теории фазовой синхронизации. — СПб.: Наука, 2000. — 399 с.

42. Ляпунов А. М. Общая задача об устойчивости движения.. — Харьков, 1892. — 250 c.

43. Максвелл Д. К., Вышнеградский И. А. и Стодола A. Теория автоматического регулирования. Линеаризованные задачи. — М.: Изд-во АН

СССР, 1949. — 431 с.

44. Малкин И. Г. Теория устойчивости движения. — М.: Наука, 1966. — 525 с.

45. Массера Х. Л. К теории устойчивости. Сб. переводов “Математика”. — ИЛ, 1957. — т. 1, № 4, c. 81–101.

46. Монин А. С. О природе турбулентности. // Успехи физических наук, 1978. — т. 125, вып. 1, с. 97–122.

47. Натансон И. П. Теория функций вещественной переменной. — М.: Наука, 1974. — 480 с.

48. Неймарк Ю. И., Ланда П. С. Стохастические и хаотические колебания. — М.: Наука, 1987. — 423 с.

49. Немыцкий В. В., Степанов В. В. Качественная теория дифференциальных уравнений. — М.-Л.: ГИТТЛ, 1947. — 448 c.

50. Оселедец В. И. Мультипликативная эргодическая теорема. Характеристические показатели Ляпунова динамических систем // Труды Московского математического общества. — 1968. — т. 19. — с. 179–210.

51. Первозванский А. А. Курс теории автоматического управления. — М.: Наука, 1986. — 625 с.

52. Персидский К. П. О характеристических числах дифференциальных уравнений // Изв. АН Казахской ССР. Сер. матем. и мех. — 1947. — вып. 1.

53. Песин Я. Б. Характеристики размерностного типа для инвариантных множеств динамических сисем // Успехи математических наук. — 1988. — т. 43, вып. 4. — с. 95–128.