Хаотическая динамика и классическая теория устойчивости движения

Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

1 ln αj (X(t)).

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

15.08.2026

Размер:

1 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 175 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 > Следующая >>>

3.1. ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИЕ ПОКАЗАТЕЛИ

Пусть X(t) = (x1(t), . . . , xn(t)) — фундаментальная матрица системы (3.1) (т. е. det X(0) = 0).

Хорошо известно [12] (это следует также из следствия 3.1), что в сделанных предположениях характеристические показатели λj решений xj (t) являются числами.

Определение 3.3. Фундаментальная матрица X(t) называет-

ся нормальной, если сумма λj характеристических показателей

j=1

вектор-функций xj (t) является наименьшей по сравнению с другими фундаментальными матрицами.

Хорошо известны важные и почти очевидные результаты [12].

Теорема 3.1 (Ляпунова о нормальной фундаментальной матрице). Для любой фундаментальной матрицы X(t) существует постоянная матрица C (det C = 0) такая, что матрица

X(t)C

(3.2)

является нормальной фундаментальной матрицей системы (3.1).

Теорема 3.2. Для всех нормальных фундаментальных матриц (x1(t), . . . , xn(t)) количество решений xj (t) с одним и тем же характеристическим показателем одно и то же.

Используя эти результаты, можно ввести следующие определе-

ния.

Определение 3.4. Множество характеристических показателей λ1, . . . , λn решений x1(t), . . . , xn(t) некоторой нормальной фундаментальной матрицы X(t) называется полным спектром линейной системы (3.1), а числа λj — характеристическими показателями системы (3.1).

Таким образом, всякая нормальная фундаментальная матрица реализует весь спектр системы (3.1).

		n

В дальнейшем через	=	λj будем обозначать сумму харак-
		j=1

теристических показателей системы (3.1).

ГЛАВА 3

Хорошо известно следующее неравенство Ляпунова [12]

		1	t

lim				(3.3)
lim		t	Tr A(τ ) dτ.	(3.3)
t +	∞	t
→	∞		0
			0

Здесь Tr — след матрицы A.

Определение 3.5. Если справедливо равенство

				1	t
=
		lim
		lim		t	TrA(τ ) dτ,
t	+		∞	t
	→		∞		0
					0

то система (3.1) называется правильной (регулярной).

Хорошо известно [12], что каждый характеристический показатель правильной системы является строгим. Признакам строгости показателей посвящены многочисленные исследования [12, 50, 79].

Определение 3.6. Число

Γ = Σ −	lim	1	t
Γ = Σ −	lim	t	Tr A(τ ) dτ
	t→+∞		0

называют коэффициентом (мерой) неправильности системы (3.1).

В дальнейшем примем, что λ1 , . . . , λn. Число λ1 будем называть старшим характеристическим показателем.

3.2. Ляпуновские экспоненты

Пусть X(t) — фундаментальная матрица системы (3.1).

Введем в рассмотрение сингулярные числа α1(X(t)) . . .αn(X(t)) 0 матрицы X(t). Напомним, что сингулярное число αj (X(t)) матрицы X(t) — это квадратный корень из собственных значений матрицы X(t) X(t). Хорошо известна следующая геометрическая интерпретация сингулярных чисел: αj (X(t)) совпадают с главными полуосями эллипсоида X(t)B, где B — шар единичного радиуса.

3.2. ЛЯПУНОВСКИЕ ЭКСПОНЕНТЫ

Определение 3.7. [115] Ляпуновской экспонентой μj называется число

Будем называть экспоненту μj строгой, если существует конечный предел

lim t ln αj (X(t)).

t→+∞

Предложение 3.1. Старший характеристический показатель λ1 и ляпуновская экспонента μ1 совпадают.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО.

Для этого напомим, что из геометрической интерпретации сингулярых чисел следует равенство |X(t)| = α1(X(t)). Здесь |X| — норма матрицы X, определяемая формулой

			max			Xx ,	x		Rn.
	\|X\| = x				=1	\| \|
			\| \|
Отсюда и из соотношения
					t	\|	\|		1
	t +				t	\|	\|		1
		lim			1 ln X(t) = λ
	→ ∞
получим равенство λ1 = μ1.
Покажем, что существуют системы, для которых λ2 = μ2.
Рассмотрим систему (3.1) с матрицей
	0					sin(ln t) + cos(ln t)
A(t) =									, t > 1
	sin(ln t) + cos(ln t)							0
и фундаментальной нормальной матрицей
				eγ(t)			e−γ(t)
	X(t) =								,
					eγ(t) −e−γ(t)

44 ГЛАВА 3

где γ(t) = t sin(ln t). Очевидно, что λ1 = λ2 = 1 и

√

α1(X(t)) = 2 max(eγ(t) , e−γ(t) )

√

α2(X(t)) = 2 min(eγ(t) , e−γ(t) ).

Отсюда следуют равенства μ1 = 1, μ2 = 0. Таким образом, λ2 = μ2. Ляпуновские экспоненты оказались удобным инструментом для формулировки понятия ляпуновской размерности и оценки хаусдор-

фовой и фрактальной размерности аттракторов [25,26,115]. Об этом будет подробно сказано в главе 9.

3.3. Оценки нормы матрицы Коши

Рассмотрим нормальную фундаментальную матрицу X(t) системы (3.1) и введем обозначения

Λ = max λj ,	λ = min λj .
j	j

Здесь λj — полный спектр системы (3.1).

Матрицу X(t)X(τ )−1 будем называть матрицей Коши системы (3.1).

Хорошо известен и часто используется следующий результат.

Теорема 3.3. Для любого числа ε > 0 существует число C > 0

такое, что выполнены неравенства
\|X(t)X(τ )−1 \| C exp[(Λ+ε)(t−τ )+(Γ+ε)τ ], t τ 0			(3.4)
\|X(t)X(τ )−1 \| C exp[λ(t−τ )+(Γ+ε)τ ], τ t 0.			(3.5)
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО.
Введем обозначения
X(t) = (x1(t), . . . , xn(t)),		xj (t) = xj (t) exp[(−λj − ε)t]
u1(t)
.	,	uj (t) = uj (t) exp[(λj + ε)t].
X(t)−1 = ..	,	uj (t) = uj (t) exp[(λj + ε)t].

un(t)

Здесь звездочка означает транспонирование.

3.3. ОЦЕНКИ НОРМЫ МАТРИЦЫ КОШИ

Из определения λj и из правила обращения матриц следует, что

для некоторого числа L > 0 выполнено неравенство

(t), . . . , x

(t))−1 det(x

(t), . . . , x

(t))

(3.6)

Из соотношения (3.6) сразу следует оценка

(t), . . . , x

(t))−1

L exp

(Σ + nε)t

Tr A(τ ) dτ

| 1

−

t 0. (3.7)

L1 exp[(2nε + Γ)t],

Здесь L1 — некоторое достаточно большое число.

Запишем следующие очевидные соотношения

|X(t)X(τ )−1 | = | xj (t)uj (τ ) | =

(t) exp[(λ

+ ε)t

−

(λ

+ ε)τ ]u

(τ ) .

Учитывая ограниченность при t 0 вектор–функций xj (t), получим оценку

X(t)X(τ )−1	\|	L	2	exp[(λ	j	+ ε)(t	−	τ )] u	(τ )	\|	(3.8)
\|	\|		2	j	j		−	\| j		\|
				j
для некоторого достаточно большого числа L2. Поскольку
u1(t)
.		= (x1(t), . . . , xn(t))−1 ,
..		= (x1(t), . . . , xn(t))−1 ,

un(t)

из соотношений (3.7) и (3.8) сразу следуют оценки (3.4) и (3.5). Докажем теперь неравенство Важевского [12] в нужной нам фор-

ме.

46 ГЛАВА 3

Теорема 3.4. Для решений x(t) системы (3.1) справедливы неравенства

t		t
	α(s) ds \|x(t)\| \|x(τ )\| exp		t τ,
\|x(τ )\| exp	α(s) ds \|x(t)\| \|x(τ )\| exp	β(s) ds,	t τ,
τ		τ
t		t
	β(s) ds \|x(t)\| \|x(τ )\| exp		t τ,
\|x(τ )\| exp	β(s) ds \|x(t)\| \|x(τ )\| exp	α(s) ds,	t τ,
τ		τ

где α(t) и β(t) наименьшее и наибольшее собственное значение матрицы

12 [A(t) + A(t) ].

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО.

Поскольку выполнены неравенства
α(t)\|x\|		2 x [A(t) + A(t) ]x β(t)\|x\| , x R		n
2		1	2	n
и соотношение
	d	( x(t) 2 ) = x(t) [A(t) + A(t) ]x(t),
	dt	( x(t) 2 ) = x(t) [A(t) + A(t) ]x(t),
	dt	\|	\|

имеем оценку

2α(t) (|x(t)|2 )• 2β(t).

|x(t)|2

Интегрируя эти неравенства в пределах от τ до t, получим при t τ первую оценку в формулировке теоремы и при t τ — вторую оценку.

Следствие 3.1. Если |A(t)| ограничена на R1, то существует число ν, для которого при любых t и τ выполнена оценка

|X(t)X(τ )−1 | exp[ν|t − τ |].

(3.9)

3.4. КОНТРПРИМЕР НЕМЫЦКОГО – ВИНОГРАДА [9]

Оценка (3.9) вытекает из теоремы 3.4 и очевидного соотношения

		X(t)X(τ )−1 x(τ ) = x(t).
В самом деле,
X(t)X(τ )−1	\|	= max	\|X(t)X(τ )−1 y\|
X(t)X(τ )−1		= max
\|		y=0	\| \|
\|		y=0	y
		t		t

max(exp			β(s) ds, exp	α(s) ds) exp[ν\|t − τ \|].
		τ		τ

3.4. Контрпример Немыцкого – Винограда [9]

Рассмотрим систему (3.1) со следующей матрицей A(t):

A(t) = 1 − 4(cos 2t)2,	2 + 2 sin 4t	.
−2 + 2 sin 4t,	1 − 4(sin 2t)2

Очевидно, что вектор-функция

et sin 2t

x(t) = (3.10) et cos 2t

является решением системы (3.1). Ясно также, что

det(A(t) − pI) = p2 + 2p + 1.

Следовательно, собственные значения ν1(t) и ν2(t) матрицы A(t) равны −1:

ν1(t) = ν2(t) = −1.

С другой стороны, характеристический показатель λj решения (3.10) равен 1.

ГЛАВА 3

Этот контрпример показывает, что периодическая матрица A(t) может иметь все собственные значения с отрицательными вещественными частями, а соответствующая ей система (3.1) иметь положительные характеристические показатели.

Таким образом, в отличие от частного случая, когда A(t) — постоянная матрица, расположение на комплексной плоскости собственных значений матрицы A(t) не определяет знака характеристических показателей системы (3.1).

Этот контрпример показывает также, что формулы

				1	t

λj =		lim
λj =		lim		t	Re νj (τ ) dτ,
t	+		∞	t
	→		∞		0
					0

полученные в книге [2] (стр.14), неверны.

ГЛАВА 4

Эффекты Перрона

В 1930 году О. Перрон [108] показал, что отрицательность старшего характеристического показателя системы первого приближения не всегда влечет за собой устойчивость нулевого решения исходной системы. Более того, в сколь угодно малой окрестности нуля могут существовать решения исходной системы с положительным характеристическим показателем. Эти результаты О. Перрона произвели большое впечатление на специалистов по теории устойчивости движения.

Эффект смены знака характеристического показателя решений системы первого приближения и исходной системы при одних и тех же начальных условиях будем называть эффектом Перрона.

Приведем теперь знаменитый результат Перрона. Рассмотрим систему

dx1 = −ax1 dt

dx2 2 dt = [sin(ln(t + 1)) + cos(ln(t + 1)) − 2a]x2 + x1,

где a — число, удовлетворяющее неравенствам

1 < 2a < 1 + 12 exp(−π).

Решение уравнения первого приближения имеет вид:

x1(t) = exp[−at]x1(0)

x2(t) = exp[(t + 1) sin(ln(t + 1)) − 2at]x2(0).

(4.1)

(4.2)

ГЛАВА 4

Ясно, что при условии (4.2) для системы первого приближе-

ния λ1 < 0.

Запишем теперь решение системы (4.1)

x1(t) = exp[−at]x1(0),

x2(t) = exp[(t + 1) sin(ln(t + 1)) − 2at](x2(0)+

	t	(4.3)
+ x1(0)2		exp[−(τ + 1) sin(ln(τ + 1))]dτ ).
	0

Полагая t = exp[(2k + 12 )π] − 1, где k — целое число, получим соотношения

exp[(t+1) sin(ln(t+1))−2at] = e(exp[(1−2a)t]),						(1+t)e−π −1 > 0,
t

exp[−(τ + 1) sin(ln(τ + 1))]dτ >
0
	g(k)
		exp[−(τ + 1) sin(ln(τ + 1))] dτ >
	>	exp[−(τ + 1) sin(ln(τ + 1))] dτ >
	f (k)
g(k)		g(k)
	1		1
>	exp[ 2 (τ + 1)] dτ > exp[ 2 (τ + 1) exp(−π)] dτ =
f (k)		f (k)
	1					2π
	= exp[ 2	(t + 1) exp(−π)](t + 1)(exp(−					) − exp[−π]),
	= exp[ 2	(t + 1) exp(−π)](t + 1)(exp(−				3	) − exp[−π]),
где	f (k) = (1 + t) exp[−π] − 1,
	f (k) = (1 + t) exp[−π] − 1,
				2π
	g(k) = (1 + t) exp		−		− 1.
	g(k) = (1 + t) exp		−	3	− 1.

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 175 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]