Хаотическая динамика и классическая теория устойчивости движения

Будем предполагать, что выполнены неравенства det(A + ϕ bc ) = 0,

σ = σj ,

Здесь μ1 < 0, μ2 > 0 — некоторые числа.

Введем передаточную функцию системы (10.13), (10.19)

W (p) = c (A − pI)−1b, p C1 .

Теорема 10.1. [39, 97] Пусть пара (A, b) полностью управляема

идля числа λ > 2 выполнены следующие условия:

1)матрица λ−1(A + μ1bc ) имеет одно собственное значение, расположенное вне круга единичного радиуса с центром в нулевой точке и n − 1 собственных значений внутри этого круга;

2)для всех значений p C1 таких, что |p| = 1, выполнено неравенство

Тогда любое решение системы (10.13), (10.19) слабо экспоненциально неустойчиво.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТЕОРЕМЫ 10.1.

По лемме Калмана – Сеге из условия 2) теоремы следует существование симметричной вещественной матрицы H, для которой выполнено неравенство

12 [Az + bξ] H[Az + bξ] − z Hz − (ξ − μ2c z)(μ1c z − ξ) < 0,

λ

z Rn, ξ R1, z = 0. (10.23)

Всамом деле, здесь P = λ−1A, q = λ−1b x = z,

F (z, ξ) = 12 [(μ2c z − ξ) (μ1c z − ξ)+

+(μ2c z − ξ)(μ1c z − ξ) ] + ε|z|2 , z Cn, ξ C1,

где ε — достаточно малое число.

Из условия 2) теоремы 10.1 следует, что при достаточно малом ε > 0 выполнено условие (10.11) леммы 10.3. Поэтому существует вещественная матрица H = H , для которой выполнено (10.23).

Полагая в (10.23) ξ = μ1c z, получим неравенство

z Rn, z = 0.

Отсюда и из условия 1) теоремы по лемме 10.4 следует, что матрица H имеет одно отрицательное и n −1 положительных собственных значений.

В дальнейшем, не умаляя общности, будем считать, что вектор z и матрица H имеют вид:

где I — единичная (n − 1) × (n − 1)-матрица, z1 R1, z2 Rn−1.

В этом случае квадратичная форма V (z) = z Hz примет вид V (z) = = z Hz = |z2|2 − z12.

Из невырожденности матрицы A + ϕ bc в полосах {σj σ < σj+1} следует, что прообразом любой точки отображения Ax + bϕ(c x), расположенной в любой ε-окрестности любой точки Rn, может быть множество, состоящее либо из одной, либо из двух точек. Отсюда сразу следует оценка числа m в определении длины образов отрезка, расположенных в таких ε-окрестностях, после t итераций: m 2t.

Зафиксируем теперь вектор x0 и выберем по нему y0 так, что-

бы z1(0) = δ, z2(0) = 0, где z(0) = x0 − y0, z1(0) — первая компонента вектора z(0), z2(0) — (n − 1)-вектор остальных компо-

нент вектора z(0). Здесь δ — некоторое фиксированное число такое, что δ < ε. Таким образом,

Докажем оценку (10.18), предполагая, что для t [0, N], t Z, выполнено неравенство (10.16). Для этого рассмотрим функцию ψt(s) = c x(t, Γ(s, x0, y0)) − σi(t). Здесь σi(t) — разрыв производной функции ϕ(σ) такой, что для некоторых s [0, 1] выполнено неравенство ψt(s) 0, а для некоторых других значений s выполнено неравенство противоположного знака. В силу неравенств (10.20) и (10.24) число σi(t) , для которого ψt(s) меняет знак, либо единственно, либо не существует. В дальнейшем будем предполагать существование такого σi(t) . В том случае, когда σi(t) не существует, рассмотрение существенно упрощается: разбиений отрезков в этом случае проводить не нужно.

Рассмотрим следующее разбиение отрезка Q = [0, 1] на непересекающиеся интервалы вида (α0j , β0j ). Здесь α0j — точка, для которой ψ0(α0j ) = 0 и ψ0(s) > 0 (либо ψ0(s) < 0) в некоторой достаточно малой правой окрестности α0j (т. е. s > α0j ). Для точки β0j

выполнены соотношения ψ0(β0j ) = 0 и ψ0(s) < 0 (либо ψ0(s) > 0) в некоторой достаточно малой правой окрестности β0j (т. е. s > β0j ).

Другими словами, α0j и β0j — точки выхода графика ψ0(s) в верхнюю и нижнюю полуплоскости при возрастании s. Кроме того, если это необходимо, добавим интервалы (0, β0j ) и (α0j , 1).

Легко видеть, что построенная система интервалов M0j = = (α0j , β0j ) обладает следующими свойствами:

5

M0i ∩ M0j = , M 0j = Q.

j

В свою очередь, каждое множество M0j можно разбить аналогичным образом для ψ1(s) на интервалы M0j,1j = (α0j,1j , β0j,1j ).

Продолжая этот процесс далее при k = 2, . . . , N и перенумеровы-

вая M0j,1j,..., получим в результате разбиение отрезка Q = [0, 1] на интервалы Mj = (αj , βj ):

5

Mj ∩ Mi = , M j = Q.

j

Для нас важно, что на любом M j существует производная ϕ (σ), где σ = c x(t, Γ(s, x0, y0)), s M j , t = 0, . . . , N.

Ясно, что в этих условиях выполнено и неравенство (10.21). Поэтому отсюда и из неравенства (10.23) следует, что для разно-

сти x(t, Γ(βj , x0, y0)) − x(t, Γ(αj , x0, y0)), t = 0, . . . , N − 1, может быть записана оценка

Vx(t + 1, Γ(βj , x0, y0)) − x(t + 1, Γ(αj , x0, y0))

λ2V x(t, Γ(βj , x0, y0)) − x(t, Γ(αj , x0, y0)) . (10.25)

Всамом деле, для двух решений x1(t) и x2(t) системы (10.13), (10.19) из соотношения (10.23) имеем

12 [A(x1(t) − x2(t)) + b(ϕ(c x1(t)) − ϕ(c x2(t))] H×

λ

×[A(x1 (t) − x2(t)) + b(ϕ(c x1(t)) − ϕ(c x2(t))]−

−(x1(t) − x2(t))H(x1 (t) − x2(t))−

−[(ϕ(c x1(t)) − ϕ(c x2(t)) − μ2(c x1(t)) − c x2(t))]×

×[μ1(c x1(t)) − c x2(t)) − (ϕ(c x1(t)) − ϕ(c x2(t))] 0. (10.26)

Из неравенства (10.21) вытекает соотношение

либо [σm, +∞)). Напомним, что σj — точки разрыва производной

функции ϕ(σ). Поэтому, если c x1(t) и c x2(t) из таких же промежутков, то

[(ϕ(c x1(t)) − ϕ(c x2(t)) − μ2(c x1(t)) − c x2(t))]×

j, t = 0, . . . , N.

Всамом деле, из (10.25) следует,что

(x(t, Γ(βj , x0, y0)) − x(t, Γ(αj , x0, y0))) H(x(t, Γ(βj , x0, y0))−

−x(t, Γ(αj , x0, y0))) λ2t(Γ(βj , x0, y0)−

−Γ(αj , x0, y0)) H(Γ(βj , x0, y0) − Γ(αj , x0, y0)).

Поскольку V (z) = |z2|2 − z12 и z2(0) = 0, отсюда имеем (10.27). Суммируя по j левую и правую части этого неравенства и заме-

Поскольку λ > 2 оценка (10.18) доказана.

Неравенство (10.15) доказывается аналогичным образом, учитывая специальный вид матрицы H. Все рассматриваемые кривые γt(s) = x(t, Γ(s, x0, y0)) здесь можно спроектировать на прямую {z2 = 0}. Поскольку для длины проекции выполняется оценка, аналогичная (10.28), можно сделать вывод о том, что при некотором t

где P — постоянная (n − 1) × (n − 1)-матрица, r и q — постоянные n-векторы, ϕ(σ) — непрерывная функция. Ясно, что в этом случае передаточная функция W (p) для системы (10.9) может быть записана в следующем виде:

Хорошо известно, что если W (p) невырождена (т. е. ее знаменатель — полином степени n, и он не имеет общих нулей с числителем этой дробно-рациональной функции) [11, 27], то обе рассматриваемые выше системы эквивалентны, если det A = 0.

Хорошо известен и просто доказывается следующий результат.

Лемма 10.5. Если все собственные значения матрицы P расположены внутри единичного круга и ϕ(σ) — 2π-периодическая функция, то система (10.29) диссипативна по Левинсону в цилиндрическом фазовом пространстве {z Rn, σ mod 2π}.

Напомним, что диссипативность по Левинсону здесь означает, что существует некоторое число R такое, что для любого решения z(t, z0 , σ0), σ(t, z0 , σ0) системы (10.29) справедливо неравенство

Ясно, что в области диссипативности (10.30) существует некоторый глобальный аттрактор (т. е. компактное инвариантное глобально притягивающее множество). В случае поточечного притягивания это, например, совокупность всех ω-предельных точек системы (10.29).

Определение 10.4. Будем называть глобальный аттрактор K странным, если для любого x0 K решение x(t, x0) является слабо экспоненциально неустойчивым.

Из теоремы и леммы вытекает

Следствие. Пусть выполнены все условия теоремы и леммы. Тогда существует странный аттрактор системы (10.13).

148 ГЛАВА 10

Таким образом, если μ > 3, то существует такое λ > 2, для которого выполнены все условия теоремы.

Итак, если μ > 3, то в фазовом пространстве, которое здесь является окружностью, имеется странный аттрактор.

В качестве функции ϕ(σ), для которой выполнены все условия этого примера, можно взять функцию, график которой изображен на рисунке 10.1.

ПРИМЕР 10.2. Рассмотрим систему (10.13), (10.19) с n = 1, A = 0, b = c = 1, где ϕ(σ) — непрерывная кусочно-дифференцируемая функция, удовлетворяющая условиям (10.21) с μ2 = −μ1 = μ, для которой ϕ(σ) [α, β], σ [α, β].

Здесь можно рассмотреть компактное фазовое пространство [α, β] и применить теорему. Легко видеть, что условие 1) теоремы выполнено, если μ > λ > 2. Для выполнения условия 2) теоремы также достаточно выполнения этого неравенства.

Таким образом, для любой функции, удовлетворяющий условию (10.21) с μ2 = −μ1 = μ > 2, и которая отображает отрезок [α, β] в себя, выполнены все условия теоремы и, следовательно, имеет место слабая экспоненциальная неустойчивость.

Заметим, что глобальная устойчивость неподвижной точки для рассматриваемой системы имеет место при μ < 1. Подчеркнем, что некоторое ослабление условий доказанной выше теоремы может быть достигнуто за счет более детальной информации о множествах Lj (см. определение 10.2). Для рассматриваемого случая это означает, что если известно некоторое количество итераций t + 1, . . . , t + N, t Z, для которых все образы достаточно малых окрестностей точек разрыва производной σi не пересекаются с объединением этих окрестностей, то за счет этой информации может быть улучшена оценка μ > 2. Ясно, что в этом случае правая

(p − 1)(p − α)

где α и β — некоторые числа, α = 0, |α| < 1, β > 0, ϕ(σ) — 2π- периодическая, непрерывная, кусочно-дифференцируемая функция, удовлетворяющая условию (10.21) с −μ1 = μ2 = μ.

Системы такого типа описывают некоторые классы ротаторов, возбуждаемых периодическими толчками [112], и фазовые системы управления автогенераторами [41,98].

Ясно, что здесь выполнены все условия леммы 10.5. Посмотрим теперь, когда выполняются условия теоремы.

Заметим, что здесь собственными значениями матрицы λ−1(A + μ1bc ) являются нули полинома

(λp − 1)(λp − α) − μβλp.

Легко видеть, что условие 1) теоремы примет вид

*

μβ + α + 1 + (μβ + α + 1)2 − 4α > 2λ,

а условие 2) будет выполнено, если

(1 + λ)(α + λ)

μβ > .

λ

Таким образом, рассматриваемая система имеет странный аттрактор в цилиндрическом фазовом пространстве, если выполнены неравенства

*

(μβ + α + 1) + (μβ + α + 1)2 − 4α > 4, μβ > 32 (α + 2).

Заметим, что сформулированный здесь частотный критерий может быть естественным образом распространен на дискретные системы со многими нелинейностями.

ГЛАВА 11

Частотные оценки периода колебаний нелинейных дискретных систем

За последние пятьдесят лет сформировалось еще одно интересное направление в теории устойчивости — метод априорных интегральных оценок [1, 27, 41, 56, 99], в основе которого содержится применение преобразований Фурье как унитарных операторов в некоторых функциональных пространствах. Здесь будет показано, что этот метод может дать содеражательные оценки периодов колебаний дискретных динамических систем. Применение этого критерия к различным одномерным отображениям дает оценки отсутствия колебаний с периодом 3. Широко известен тезис о том, что для одномерных дискретных динамических систем «период три влечет хаос» [68, 70, 100]. Поэтому нетривиальные оценки периодов колебательных движений позволяют сделать количественные суждения о сценариях перехода к хаотической динамике.

Здесь сформулирован критерий отсутствия колебания заданного периода для дискретных динамических систем вида

Здесь A — постоянная n × n-матрица, b и c — постоянные n-мерные векторы, ϕ(t, σ) — скалярная функция, удовлетворяющая на некотором множестве Ω R1 следующему условию

Здесь k — некоторое положительное число.