Хаотическая динамика и классическая теория устойчивости движения

пание» становится настолько сильным, что полностью компенсирует растяжение.

Такая ситуация определяет возможность сосуществования локальной экспоненциальной неустойчивости на аттракторе и притягивающих свойств (или по крайней мере компактности) самого аттрактора. Этим же определяется возможность применения к анализу странных аттракторов дискретных систем всего богатого арсенала методов, приемов и результатов нелинейного анализа дискретных систем управления.

10.1. Леммы Якубовича – Калмана и Калмана – Сеге

Продолжая параллельное рассмотрение непрерывных и дискретных динамических систем, сформулируем леммы Якубовича – Калмана [6, 11, 92, 94] и Калмана – Сеге [6, 40, 41, 56] и выясним связь между этими двумя утверждениями.

Пусть P и q — матрицы размерностей n × n и n × m соответ-

ственно, F (x, ξ) — эрмитова форма векторных переменных x Cn,

ξ Cm.

Здесь Cn — n-мерное комплекснозначное линейное векторное пространство с евклидовой нормой

*

|x| = |x1|2 + . . . + |xn|2,

где xj — компоненты вектора x.

Напомним, что любую эрмитову форму F (x, ξ) можно представить в следующем виде:

где является операцией эрмитова сопряжения (т. е. транспонирова-

ния и комплексного сопряжения) и M — самосопряженная (эрмитова) (n + m) × (n + m) — матрица (т. е. M = M ).

132 ГЛАВА 10

Из соотношения (10.1) следует, что эрмитова форма принимает только вещественные значения при любых x Cn и ξ Cm. При вещественнозначной M (т. е. если все компоненты M — вещественные числа) и при x Rn, ξ Rm форма F (x, ξ) превращается в квадратичную форму. Как будет показано ниже, в конкретных исследованиях часто оказывается очень полезным при исследовании квадратичных форм вида (10.1) «выйти» в комплекснозначное пространство Cn+m (x Cn, ξ Cm) с сохранением эрмитовости формы, т. е. оставляя матрицу M симметричной и вещественнозначной.

Для дальнейших формулировок нам потребуется следующее определение [11, 27, 56, 92, 94].

Определение 10.1. Пара (P, q) называется полностью управляемой, если ранг матрицы

(q, P q, . . . , P n−1q)

равен n.

Заметим, что в наиболее интересном для нас случае, когда q — вектор, условие полной управляемости можно записать следующим образом:

det(q, P q, . . . , P n−1q) = 0.

Лемма 10.1 (Якубовича – Калмана). Пусть пара (P, q) полностью управляема. Для существования эрмитовой матрицы H = H , такой, что для любых x Cn и ξ Cm выполнялось неравенство

необходимо и достаточно, чтобы для любых вещественных ω R1 и любых ξ Cm было выполнено неравенство

Лемма 10.3 (Калмана – Сеге). Пусть пара (P, q) полностью уп-

равляема. Для существования эрмитовой матрицы H = H такой, что для любых x Cn и ξ Cm

Заметим, что если P, q и коэффициенты формы F вещественны и для эрмитовой матрицы H = H1 + iH2 (H1 и H2 — вещественные) выполнено неравенство (10.10), то для матрицы H = H1 также выполнено (10.10) при всех x Rn и ξ Rm. Поэтому если выполнено условие (10.11) для вещественных P, q и F , то существует вещественная, симметричная матрица H = H1 такая, что выполнено неравенство (10.10) для всех x Rn, ξ Rm.

Часто полезен следующий результат.

ных значений вне единичного круга и n − m собственных значений внутри единичного круга.

Тогда матрица H имеет m отрицательных и n − m положительных собственных значений.

Для доказательства этого факта достаточно воспользоваться лем-

где

P0 = (P + ρI)−1(P − ρI).

Легко видеть, что собственные значения λj матрицы P и собственные значения νj матрицы P0 связаны соотношениями

λj − ρ νj = λj + ρ .

Отсюда следует,что в условиях леммы m собственных значений матрицы P0 имеет положительные вещественные части и n − m — отрицательные вещественные части.

Хорошо известно [11, 27], что при выполнении (10.12) и при таких условиях на спектр матрицы P0 выполнено утверждение леммы.

10.2.Определение длины кривой и слабой экспоненциальной неустойчивости

где f (x, t) — вектор-функция: Rn × Z → Rn, Rn — евклидово пространство размерности n, Z — множество целых чисел. Будем обозначать через x(t, x0) решение системы (10.13) с начальными данными x(0, x0 ) = x0. Обозначим через S(r, x0 ) сферу радиуса r с цен-

тром в точке x0 Rn.

В дальнейшем нам потребуется понятие длины l(γ) кривой γ(s), s [0, 1], где γ(s) — непрерывная вектор-функция: [0, 1] → Rn.

Для дискретных систем (10.13) на кривой γ с параметризацией γ(s) в дальнейшем будут проводиться итерации

γt(s) = f (. . . (f (γ(s), 0) . . . t).

Даже в одномерном случае полной информации о γt(s) у нас, как правило, нет. В интересующих нас случаях отображения f (·) неинъективны и поэтому происходит «слипание» некоторых точек γ при отображении f :

γt(s1) = γt(s2),

f (γt(s1), t) = f (γt(s2), t).

Определение длины пути γt(s) без учета «слипания» [18, 64] не даст нам интересующей нас информации о разбегании траекторий друг от друга. Поэтому здесь необходимо определить длину γ с учетом слипшихся точек.

Рассмотрим сначала случай, когда γ(s) — инъективное отображение отрезка [0, 1] в Rn. Другими словами, здесь γ(s1) = γ(s2), если s1 = s2. В этом случае длину l(γ) кривой γ определим следующим образом. Рассмотрим всевозможные конечные или счетные разбиения отрезка Q = [0, 1] на множества вида Qj = (αj , βj ], где

Здесь — пустое множество. В этом случае длиной l(γ) кривой γ(s) назовем следующее число (или +∞):

j

где супремум берется по всевозможным разбиениям {Qj } отрезка [0, 1]. Если γ — инъективно и l(γ) < ∞, то это стандартное определение длины кривой γ [47, 55, 59, 63].

В стандартных определениях длины обычно ограничиваются конечными разбиениями. Однако легко видеть, что добавление к этим разбиениям счетных разбиений даст ту же самую величину l(γ).

Предположим теперь, что отрезок Q = [0, 1] можно разбить на конечное или счетное число множеств Lj (j = 1, . . . , m) вида (αj , βj ), где

Li ∩ Lj = , i = j,

5

Q = Lj , Lj = [αj , βj ]

j

и отображение γ(·) инъективно на каждом множестве Lj .

Здесь обозначение l(γ(Lj )) означает суммирование по

{Lj }k

всем Lj , которые принадлежат подмножеству {Lj }k .

Ясно, что для случая, когда γ(·) — диффеоморфизм, данная в определении 10.2 длина совпадает с обычной длиной кривой. Сомножители k−1 позволяют учесть случаи, когда некоторая часть кривой «проходится при увеличении s» два, три и более раз. Необходимость исключить из рассмотрения «случай кратности» типична при изучении хаоса.

Заметим, что имеет место следующая простая оценка:

которая лежит в основе доказательства сформулированного здесь критерия неустойчивости. Здесь 0(γ) — длина пути γ(s) [18, 64]. Величину l0(γ) можно интерпретировать так же, как длину кривой «с учетом кратности слипания», так как l0(γ) можно определить по формуле (10.14) для любой непрерывной кривой γ(s). В том случае, когда затруднительно или невозможно ввести в рассмотрение величину l(γ) для неинъективных γ(s), можно ввести величину lm(γ) = = l0(γ)/m, где m — некоторая верхняя оценка максимального числа прообразов точек кривой γ. Будем называть lm(γ) m-оценкой длины кривой γ.

Введем теперь следующее обозначение отрезка прямой в Rn:

Определение 10.3. Будем называть решение x(t, x0) слабо экспоненциально неустойчивым, если существуют положительные числа C, ρ > 1, ε, такие, что для любого δ (0, ε) найдется точка y0 S(δ, x0 ), удовлетворяющая следующим условиям:

1) существуют положительные числа t Z и s [0, 1], для которых

140 ГЛАВА 10

2) если при всех t [0, N], t Z, и s [0, 1] выполнено неравен-

Заметим, что определение 10.3 является для неинъективных отображений f (x, t) некоторым ослаблением обычного определения экспоненциальной неустойчивости с ляпуновским показателем ln ρ, которое широко применяется для диффеоморфизмов, непрерывных динамических систем и дифференциальных уравнений. Заметим, что здесь из неравенств (10.17), (10.18) не обязательно следует свойство 1). В случае негладких неинъективных отображений, вообще говоря, возможен случай, когда δ ε, при любом t > 0 кривые x(t, Γ(s, x0 , y0)) остаются в ε-окрестности решения x(t, x0), и в то же время в этой окрестности происходит экспоненциальное растягивание по негладко зависящим от t направлениям.

10.3. Частотный критерий неустойчивости

Рассмотрим систему (10.13) с

где A — постоянная n × n-матрица, b и c — постоянные n-век- торы, ϕ(σ) — непрерывная кусочно-дифференцируемая функция, имеющая разрывы производной первого рода в точках σ = σj (j = = 1, . . . , m. Здесь m — некоторое число, либо ∞). Будем предполагать, что все эти точки изолированы и σj+1 > σj . Другими словами, можно указать такое число t > 0, что