Хаотическая динамика и классическая теория устойчивости движения

Если выполнены условия (8.29), то из (8.32), то существуют числа ε > 0 и β > 0 такие, что

t

λ(x(τ, x0 ))dτ 2εt − β, t 0.

0

Следовательно, неравенства (8.30), (8.33) и равномерная ограни-

ченность H(x, (t, x0)) влекут за собой оценку (8.31). Лемма доказана.

Ясно, что соотношение (8.28) соответствует асимптотической устойчивости по Жуковскому и (8.31) — неустойчивости по Жуковскому.

Заметим, что если (8.25) выполнено на решениях системы (8.8) лишь в некоторой окрестности Ω(0) точки z = 0, то утверждение леммы 8.3 о выполнении оценки (8.28) будет справедливым также для z(0) из некотрой достаточно малой окрестности Φ(0) Ω(0). Здесь, как и обычно это делают в прямом методе Ляпунова, предполагая, что z(0) дoстаточно мало, получим выполнение оценки (8.25) на достаточно большом промежутке времени [0, T ] (это следует, например, из того факта, что скорость изменения решения z˙(t) в окрестности Ω(0) мала). Тогда получим, что при t = T будет выполнена оценка (8.28). Из нее следует, что для больших T выполнено неравенство |z(T )| |z(0)|. Следовательно, при малых z(0) решение z(t) не может покинуть при некотoром t > 0 окрестность Ω(0). Следовательно, для этого z(t) оценка (8.25) выполнена при всех t 0. Но тогда и оценка (8.28) выполнена также при всех t 0.

Рассмотрим теперь симметричную матрицу M и ее собственные значения λ1 . . . λn.

Лемма 8.4. [86]. Для всех z Rn и y Rn имеют место неравенства

Поскольку приведенные выше неравенства очевидны, это доказывает лемму 8.4.

Возьмем теперь в качестве функции V (t) функцию

V (t) = |f (x(t, x0))|2|z(t)|2 .

Из соотношений (8.8)–(8.10) следует, что для любого числа ν > 0 существует некоторая окрестность Ω(0) точки z = 0, в которой

Поскольку для некоторого γ > 0 выполнена оценка |f (x(t, x0))| γ,t 0 и ν выбрано сколь угодно малым, то для выполнения условий леммы 8.3 достаточно, чтобы имела место оценка

tj+1

то она асимптотически орбитально устойчива. Если

T

∂f

Tr ∂x (x(t, x0 )) dt > 0,

0

то она орбитально неустойчива.

Рассмотрим теперь функцию

V (t) = |z(t)|2 .

Из соотношений (8.8)–(8.10) следует, что для любого числа ν > 0 существует некоторая окрестность Ω(0) точки z = 0, в которой

Таким образом, здесь будут выполнены все условия леммы 8.3 с δ = 1, κ = 1 и с малым положительным ρ, если имеет место неравенство

с некоторым положительным α. В самом деле, здесь достаточно положить λ(x(t, x0)) = α − ν, ρ = α − ν.

Таким образом, здесь получен следующий широко известный результат Г. Борга.

Теорема 8.5 (Борг [54, 77, 86]). Если выполнено условие (8.39), то траектория x(t, x0) асимптотически орбитально устойчива.

Дальнейшее развитие теории первого приближения для устойчивости и неустойчивости по Жуковскому имеется в [28, 91–93].

Очевидно, что μH (E, d, ε) не убывает при уменьшении ε. Поэтому существует предел (возможно бесконечный)

μH (E, d) = lim μH (E, d, ε).

ε→0

Определение 9.1. Функция μH (·, d) называется d-мерой Хаусдорфа.

При фиксированном d функция μH (E, d) обладает всеми свойствами внешней меры на X.

При фиксированном множестве E функция μH (E, ·) обладает следующим свойством. Существует такое dkp [0, ∞], что

μH (E, d) = ∞, d < dkp, μH (E, d) = 0, d > dkp.

Если X Rn, то dkp n. Здесь Rn — евклидово n-мерное пространство.

Положим

Определение 9.2. Величина dimH E называется размерностью Хаусдорфа множества E.

ПРИМЕР 9.1. Рассмотрим канторово множество из примера 1.3:

∞

+

E = Ej ,

j=0

где E0 = [0, 1] и Ej состоит из 2j отрезков длины 3−j , получаемых из отрезков, входящих в Ej−1, удалением из них середин открытых интервалов длины 3−j (рис. 1.6).

В классической теории топологической размерности хорошо известно, что dimT E = 0.

Непосредственно из определения хаусдорфовой размерности легко получить, что μH (E, d) = 1 при d = log 2/ log 3 = 0,6309 . . . и, следовательно,

Топологическая размерность является инвариантом по отношению к гомеоморфизмам. Хаусдорфова размерность является инвариантом по отношению к диффеоморфизмам и нецелая хаусдорфова размерность не является инвариантом по отношению к гомеоморфизмам [88].

При исследовании аттракторов динамических систем в фазовом пространстве часто используются гладкие замены координат. Поэтому в таких рассмотрениях достаточно инвариантности по отношению к диффеоморфизмам.

Хорошо известно, что dimT E dimH E. Канторовское множество E дает пример, когда это неравенство является строгим.

Приведем теперь два эквивалентных определения фрактальной размерности.

Обозначим через (E) минимальное число шаров радиуса ε, необходимое для покрытия множества E X.

Введем в рассмотрение числа d 0, ε > 0 и положим

μF (E, d, ε) = N(E)εd ,

μF (E, d) = lim μF (E, d, ε).

ε→0

Определение 9.3. Фрактальной размерностью множества E называется величина

dimF E = inf{d| μF (E, d) = 0}.

Заметим, что это определение проведено по схеме, аналогичной определению хаусдорфовой размерности. Здесь только покрытие проводится шарами одного и того же радиуса ε.

Обобщения схем введения хаусдорфовой и фрактальной меры и размерности и определения различных метрических размерностных характеристик даны в [53]. Оказалось [19, 76, 81, 87, 92, 94], что верхней оценкой хаусдорфовой и фрактальной размерности инвариантных множеств является ляпуновская размерность. Дадим здесь определение ляпуновской размерности.

Рассмотрим непрерывно дифференцируемое отображение F открытого множества U Rn в Rn. Обозначим через TxF матрицу Якоби отображения F в точке x. Из непрерывной дифференцируемости F следует соотношение

F (x + h) − F (x) = (TxF )h + o(h).

В дальнейшем будем предполагать, что множество K U инвариантно относительно преобразования F : F (K) = K.

Введем в рассмотрение сингулярные числа n × n-матрицы A

α1(A) . . . αn(A).

Напомним, что сингулярным числом матрицы A называется квадратный корень из собственного значения матрицы A A. Здесь через обозначена операция транспонирования (в вещественном случае) или эрмитова сопряжения.