Хаотическая динамика и классическая теория устойчивости движения

В дальнейшем часто будет использовано следующее обозначе-

ние

ωd(A) = α1(A) . . . αj (A)αj+1(A)s ,

где d = j + s, s [0, 1], j — целое число из промежутка [1, n].

Определение 9.5. Локальной ляпуновской размерностью отображения F в точке x K назовем число

dimL(F, x) = j + s,

где j — наибольшее целое число из отрезка [1, n], для которого

α1(TxF ) . . . αj (TxF ) 1,

и число s [0, 1], для которого

α1(TxF ) . . . αj (TxF )αj+1(TxF )s = 1.

В случае α1(TxF ) < 1 по определению имеем dimL(F, x) = 0 и в случае

α1(TxF ) . . . αn(TxF ) 1

по определению dimL(F, x) = n.

Определение 9.6. Ляпуновской размерностью отображения F множества K назовем число

dimL(F, K) = sup dimL(F, x).

K

Определение 9.7. Локальной ляпуновской размерностью последовательности отображений F i в точке x K назовем число

dimL x = lim dimL(F i, x).

i→+∞

Определение 9.8. Ляпуновской размерностью последовательности отображений F i множества K назовем число

dimL K = sup dimL x.

K

Для отображений Ft, зависящих от параметра t R1, можно ввести следующие аналоги определений 9.7 и 9.8.

Определение 9.9. Локальной ляпуновской размерностью отображения Ft в точке x K назовем число

dimL x = lim dimL(Ft, x).

t→+∞

Определение 9.10. Ляпуновской размерностью отображения Ft множества K назовем число

dimL K = sup dimL x.

K

Еще раз отметим, что важным свойством ляпуновской размерности является неравенство [19, 76, 87] dimF K dimL K. В [19, 87] содержится доказательство этого неравенства.

Таким образом,

dimT K dimH K dimF K dimL K.

Отметим также, что ляпуновская размерность может служить характеристикой внутренней неустойчивости динамической системы, определенной на инвариантном множестве K и порожденной семейством отображений F i или Ft .

Ляпуновская размерность не является размерностной характеристикой в классическом смысле, однако позволяет, во-первых, эффективно оценивать сверху топологическую, хаусдорфову и фрактальную размерности, во-вторых, является характеристикой неустойчивости динамических систем и, в-третьих, хорошо «приспособлена» для исследований методами классической теории устойчивости движения.

Продемонстрируем это, введя в оценки ляпуновской размерности функции Ляпунова. Впервые идея введения функций Ляпунова в оценки размерностных характеристик была высказана в работе [32] и в дальнейшем развивалась в [8, 29, 33–38, 92–97]. Здесь мы в основном следуем этим идеям.

Введем в рассмотрение n×n-матрицы Q(x), зависящие от x Rn. Будем предполагать, что

det Q(x) = 0, x U,

и существуют числа c1 и c2, для которых

sup ωd(Q(x)) c1,

K

sup ωd(Q−1(x)) c2.

K

Теорема 9.1. Пусть F (K) = K и для некоторой матрицы Q(x)

Тогда для достаточно больших натуральных i справедлива оценка

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО.

Для матрицы TxF i имеем соотношение

TxF i = (TF i−1(x)F )(TF i−2(x)F ) . . . (TxF ).

Это соотношение можно записать также следующим образом:

TxF i = Q(F i(x))−1 Q(F i(x))TF i−1(x)F Q(F i−1(x))−1)×

× (Q(F i−1(x))TF i−2 (x)F Q(F i−2(x))−1 ) × . . .

. . . × (Q(F (x))Tx F Q(x)−1)Q(x).

Отсюда и из хорошо известного свойства [92, 94]

ωd(AB) ωd(A)ωd(B)

114 ГЛАВА 9

для всех x K. Из этой оценки, условия (9.1) теоремы и определения ляпуновской размерности получим оценку (9.2).

Легко видеть, что условие (9.1) инвариантно относительно линейной неособой замены y = Sx, где S — постоянная n × n-матрица. Ясно, что в новом базисе условие (9.1) будет также выполнено с новой матрицей Q1(y):

Q1(y) = Q(F (S−1y))S.

В дальнейшем будем рассматривать важный частный случай

Q(x) = p(x)S,

где S — постоянная невырожденная n ×n-матрица, p(x) — непрерывная функция: Rn → R1, для которой

p1 p(x) p2, x K.

Здесь p1 и p2 — положительные числа. В этом случае неравен-

Как будет показано в дальнейшем, множители вида p(F (x))/p(x) в условии (9.3) играют роль функций ляпуновского типа. Особенно наглядно это проявляется при переходе к динамическим системам, порождаемым дифференциальными уравнениями.

Рассмотрим систему

где f (t, x) — непрерывно дифференцируемая T -периодическая век- тор-функция: R1 × Rn → Rn, f (t + T, x) = f (t, x).

Будем предполагать, что решения x(t, x0) системы (9.4) с начальными данными x(0, x0) = x0 определены на промежутке [0, T ], и обозначим через GT оператор сдвига по решениям системы (9.4):

GT q = x(T, q).

Предположим, что ограниченное множество K Rn инвариантно относительно оператора GT :

GT K = K.

Обозначим через J (t, x) матрицу Якоби вектор-функции f (t, x):

∂f (t, x)

J (t, x) =

∂x

и рассмотрим невырожденную n × n-матрицу S.

Обозначим через λ1(t, x, S) . . . λn(t, x, S) собственные значения матрицы

12 ,SJ (t, x)S−1 + (SJ (t, x)S−1) -.

Здесь означает операцию транспонирования.

Теорема 9.2. Предположим, что для целого числа j [1, n] и числа s [0, 1] существуют непрерывно дифференцируемая на Rn функция v(x) и невырожденная n × n-матрица S такие, что выполнено неравенство

T

sup [λ1(t, x(t, q), S) + . . . + λj (t, x(t, q), S)+

K

0

+ sλj+1(t, x(t, q), S) + v˙ (x(t, q))] dt < 0. (9.5)

p(x(t, q)) SH(t, q)S−1. p(q)

Из оценки (9.8) и условия (9.5) теоремы 9.2 следует существование положительного числа ε такого, что выполнено неравенство

α1(T, q) . . . αj (T, q)αj+1(T, q)s exp(−ε)

для всех q K.

Таким образом, здесь выполнено условие (9.3) с F = GT ,

Tq F = Tq GT = H(T, q),

и, следовательно, выполнена оценка (9.6). Теорема 9.2 доказана. В дальнейшем будут полезны следующие простые утверждения.

Лемма 9.1. Предположим, что вещественная матрица A может быть приведена к диагональному виду:

где S — вещественная неособая матрица.

Тогда существуют положительные числа c1 и c2 такие, что

c1|λ1 . . . λj λsj+1|i ωd(Ai) c2|λ1 . . . λj λsj+1|i.

Для доказательства леммы 9.1 достаточно заметить,что сингулярными значениями матрицы

0λn

являются числа |λj | и для сингулярных чисел α1 . . . αn справедливы неравенства

Тогда локальная ляпуновская размерность последовательности отображений F i в точке x равна j + s, где числа j и s определяются

из равенства

|λ1 . . . λj λsj+1| = 1.

Лемма 9.2 является непосредственным следствием леммы 9.1. Аналогичный результат имеет место и для отображения Ft.

Лемма 9.3. Пусть TxFt = eAt и матрица A удовлетворяет условию леммы 9.2.

Тогда локальная ляпуновская размерность отображения Ft в точке x равна j + s, где числа j и s определяются из равенства

λ1 + . . . + λj + sλj+1 = 0.

Лемма 9.3 также является следствием леммы 9.1.

Применим теперь теоремы 9.1 и 9.2 к системам Хенона и Лоренца, конструируя функции Ляпунова p(x) (для системы Хенона) и v(x) (для системы Лоренца).

Рассмотрим отображение Хенона F : R2 → R2

x → a + by − x2,

(9.9)

y → x,

где a > 0, b (0, 1) — параметры отображения.

Будем здесь рассматривать ограниченное инвариантное множество K отображения (9.9): F K = K, содержащее стационарные точки этого отображения:

Такое множество K изображено на рисунке 2.5.

где

*

α1(x−) = x−2 + b − x−.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО.

Введем обозначение ξ = xy . Матрица Якоби Tξ F отображе-

Покажем, что сингулярными значениями матрицы (9.10) являются величины

*

α1(x) = x2 + b + |x|,

(9.11)

Очевидно, что

√

α1(x)2 = 2x2 + b + 2|x| x2 + b ,

√

α2(x)2 = 2x2 + b − 2|x| x2 + b .