Характеристики линейных систем управления. Методические указания к лабораторным работам по дисциплине «Основы теории управления»

УДК 681.3.06(07)

Б791

Рецензент: канд. техн. наук, доцент Назаркин О. А.

Болдырихин, О. В.

Б791 Характеристики линейных систем управления [Текст]: методические указания к лабораторным работам по дисциплине "Основы теории управления" / О. В. Болдырихин. – Липецк : Изд-во Липецкого государственного технического университета, 2015. – 32 с.

Методические указания соответствуют первому разделу программы дисциплины "Основы теории управления", который посвящен линейным системам. Лабораторные работы направлены на анализ линейных систем управления, экспериментальное и теоретическое определение их характеристик.

Предназначены для студентов направлений "Информатика и вычислительная техника", "Программная инженерия", а также родственных направлений и специальностей.

Табл. 3. Ил. 8. Библиогр.: 3 назв.

©ФГБОУ ВПО "Липецкий государственный технический университет", 2015

2

3

Лабораторная работа № 1. Передаточная функция

Цель работы и рассматриваемые вопросы

Цель работы — рассмотрение моделей системы управления в виде диф-

ференциальных уравнений и в виде передаточной функции и их сопоставление.

Рассматриваемые вопросы:

1.Модель системы управления в виде дифференциального уравнения.

2.Модель системы управления в виде передаточной функции.

3.Переход от дифференциального уравнения к передаточной функции и

обратно.

Теоретическая информация

Представим объект управления в виде черного ящика (рис.1). На входе величина x1, на выходе — x2.

Рис.1. Представление объекта управления в терминах вход-выход

Величины x1 и x2 и их производные связаны между собой линейным со-

отношением:

где:

4

Видно, что все коэффициенты имеют размерность времени, а размер-

ность k определяется следующим образом:

[k] [x2 ] . [x1 ]

В стационарном состоянии, когда все производные входной и выходной величин равны нулю, имеет место соотношение:

x2 kx1 .

Отсюда виден физический смысл величины k — это крутизна статической характеристики. Величина k называется передаточным числом или коэффици-

ентом усиления.

Коэффициенты являются постоянными времени и имеют определенный физический смысл в конкретных динамических системах.

Линейные дифференциальные уравнения удобно исследовать с помощью преобразования Лапласа:

X (s) x(t)e st dt ,

0

где X(s) — преобразование Лапласа (изображение) непрерывной функции

x(t);

x(t) — исходная функция (оригинал).

Размерность переменной s обратна размерности времени, а размерность изображения — размерность оригинала, умноженная на размерность времени.

Преобразование Лапласа производной функции x(t):

5

Соответственно:

x( n) (t)e st dt sn X (s) .

0

Применив преобразование Лапласа к нашей динамической системе, по-

лучим:

Теперь возьмем отношение изображения выхода к изображению входа:

Эта величина называется передаточной функцией.

Передаточная функция объекта — это отношение преобразования Лапла-

са выходной величины к преобразованию Лапласа входной величины при нуле-

вых начальных условиях:

W (0) k .

Таким образом, передаточная функция от нуля определяет статическую характеристику.

В общем виде передаточную функцию можно записать как отношение полиномов переменной s:

kP (s) W (s) 1 .

P2 (s)

Полином числителя соответствует входной величине, полином знамена-

теля — выходной.

Дифференциальное уравнение и передаточная функция несут одну и ту же информацию о системе. Можно осуществить и обратный переход — от пе-

редаточной функции к дифференциальному уравнению:

6

В этом случае x2 представляет собой собственное решение системы. Вид-

но, что если полином знаменателя передаточной функции приравнять к нулю,

то получится характеристическое уравнение системы. Корни характеристиче-

ского уравнения являются собственными значениями системы и одновременно полюсами передаточной функции. Корни полинома числителя являются нулями передаточной функции.

Порядок выполнения работы

Задание 1. Исследование системы первого порядка

Создать схему системы из одного звена первого порядка (рис.2).

Рис.2. Пример схемы со звеном типа фильтра нижних частот

На вход системы подать гармонический сигнал:

x1 Asin t .

Произвести измерения значений входного и выходного сигналов. По-

скольку выходной сигнал содержит гармоническую составляющую и переход-

7

ный процесс, полный интервал измерений должен быть равен сумме времени переходного процесса (приблизительно три постоянных времени) и одного периода гармонической составляющей. Временной интервал между измерениями необходимо подобрать так, чтобы проявилась гармоническая составляющая.

По передаточной функции звена написать дифференциальное уравнение, получить его полное решение и сопоставить теоретические и экспериментальные результаты.

Результаты представить в виде таблицы (табл.1) и графиков входного и выходного сигналов.

Таблица 1

Расчетные и экспериментальные данные

Задание 2. Исследование системы второго порядка

Создать схему системы из двух звеньев первого порядка (рис.3).

Рис.3. Пример схемы с двумя звеньями типа фильтра нижних частот

8

На вход системы подать гармонический сигнал. Произвести измерения значений входного и выходного сигналов.

По передаточным функциям звеньев написать систему дифференциаль-

ных уравнений, получить ее полное решение и сопоставить теоретические и экспериментальные результаты.

Результаты представить, как и в предыдущем задании, в виде таблицы

(см. табл.1) и графиков входного и выходного сигналов.

Признаки формирования вариантов:

s1. Амплитуда и частота входного сигнала.

s2. Постоянные времени звеньев.

s3. Типы звеньев.

Содержание отчета

1.Задание 1

1.1.Схема системы.

1.2.Получение дифференциального уравнения системы по передаточной функции.

1.3.Получение полного решения дифференциального уравнения.

1.4.Таблица с теоретическими и экспериментальными результатами.

1.5.Графики теоретических и экспериментальных значений входного и вы-

ходного сигналов.

2.Задание 2

2.1.Схема системы.

2.2.Получение системы дифференциальных уравнений по передаточной функции.

2.3.Получение полного решения системы дифференциальных уравнений.

2.4.Таблица с теоретическими и экспериментальными результатами.

2.5.Графики теоретических и экспериментальных значений входного и вы-

ходного сигналов.

9

Лабораторная работа № 2. Временные характеристики систем управления

Цель работы и рассматриваемые вопросы

Цель работы — изучение временных характеристик систем управления.

Рассматриваемые вопросы:

1.Переходная функция.

2.Импульсная переходная функция.

3.Связь между передаточной, переходной и импульсной переходной функциями.

Теоретическая информация

Импульсная переходная функция — это процесс на выходе объекта при единичном импульсе на входе. Под единичным импульсом подразумевается дельта-функция Дирака (t). Другое название импульсной переходной функ-

ции — весовая функция.

По определению передаточной функции:

X 2 (s) W (s)X1 (s) .

Если x1(t)= (t), то X1(s)=1 и:

X 2 (s) W (s) .

Обратное преобразование даст:

L 1{W (s)} x2 (t) w(t) .

10