Характеристики линейных систем управления. Методические указания к лабораторным работам по дисциплине «Основы теории управления»

Лабораторная работа № 4. Характеристики качества систем управления

Цель работы и рассматриваемые вопросы

Цель работы — изучение характеристик качества систем управления.

Рассматриваемые вопросы:

1.Точность систем управления.

2.Качество переходных процессов.

3.Устойчивость.

Теоретическая информация

Основные требования к управлению, рассматриваемые в данной лабора-

торной работе:

— точность — в установившемся режиме система должна поддерживать заданное значение выхода, т.е. ошибка, разность между заданным и действи-

тельным значением, не должна превышать допустимую;

—качество переходных процессов — при смене задающего воздействия система должна переходить в нужное состояние быстро и плавно;

—устойчивость — система должна оставаться в некоторой окрестности положения равновесия.

Точность

Точность системы оценивается для одного из эталонных входных сигна-

лов: единичной ступеньки, линейного или гармонического сигнала.

Точность системы в установившемся режиме определяется ошибкой e(t)

или ее изображением E(s). Для ее определения и исследования используют пе-

21

редаточную функцию по ошибке We(s), которая связывает изображения ошибки и входного сигнала.

Рассмотрим систему управления с регулятором и объектом.

Представим передаточные функции регулятора и объекта как отношение полиномов:

Тогда передаточная функция со входа (задающего воздействия) на ошиб-

ку равна:

где Pd(s) — характеристический полином замкнутой системы.

Пусть входной сигнал — единичная ступенька:

G(s) 1s .

Тогда изображение ошибки:

E(s) We (s)G(s) Dr (s)Do (s) 1 b Er (s) , Pd (s) s s

где b — постоянная, которая называется статической ошибкой и рассчи-

тывается по формуле:

22

b Dr (0)Do (0) .

Статическая ошибка равна нулю, если Dr(0)=0, т. е. регулятор содержит интегратор или Do(0)=0, т. е. объект содержит интегратор. Постоянный сигнал можно рассматривать как предельный случай гармонического с нулевой часто-

той. Таким образом, для обеспечения нулевой установившейся ошибки цепочка

"регулятор-объект" должна иметь бесконечное усиление на нулевой частоте.

Интегрирующее звено является астатическим, поэтому система с нулевой ста-

тической ошибкой также астатическая.

Качество переходных процессов

Система управления должна плавно переходить на новый режим при из-

менении задающего воздействия. Плавность перехода определяется качеством переходных процессов, которое оценивается по переходной функции и включа-

ет два показателя: время переходного процесса и максимальное отклонение вы-

ходной величины в течение переходного процесса от нового заданного значе-

ния.

Время переходного процесса tc — это время, такое что:

где обычно выбирается таким образом:

23

т. е. выход отличается от заданного установившегося значения на 2% или

5%.

Для апериодического звена первого порядка время переходного процесса

при 0,05 : y

tc 3 ,

где — постоянная времени звена.

Максимальное отклонение выходной величины в течение переходного

процесса от нового заданного значения называется перерегулированием или недорегулированием, в зависимости от того, в какую сторону отклоняется вы-

ходная величина от заданного значения в начале переходного процесса.

Обычно перерегулирование (недорегулирование) измеряется в процентах:

При апериодическом переходном процессе перерегулирование нулевое.

Увеличение быстродействия обычно приводит к увеличению перерегулирова-

ния.

Выше было отмечено, что устойчивость линейной системы определяется полюсами ее передаточной функции W(s), однако на переходный процесс вли-

яют и нули. Отрицательные нули по аналогии с полюсами называют устойчи-

выми, а положительные — неустойчивыми.

Устойчивость

Вычислим выход по входу и передаточной функции:

24

Здесь изображение входа представлено так же, как и передаточная функ-

ция, в виде отношения полиномов.

Для простоты предположим, что полиномы P2(s) и D1(s) имеют только вещественные корни, и все они различны.

Тогда:

P2 (s) (s 1 )(s 2 ) (s n ) ,

D1 (s) (s 1 )(s 2 ) (s m ) .

И выход можно разложить на простые дроби:

где

ai W (s) X1 (s)(s i ) |s i ; bi W (s)X1 (s)(s i ) |s i .

Если постоянные a и b не равны нулю, то применяя обратное преобразо-

вание, получаем выход:

x2 (t) a1e 1t a2e 2t an e nt b1e 1t b2e 2t bme mt .

По виду полученного выражения можно сделать следующие выводы:

— выходной сигнал зависит и от передаточной функции, и от входного сигнала;

25

— чтобы переходный процесс затухал, все коэффициенты в степенях

экспонент должны быть отрицательными или иметь отрицательные веществен-

ные части;

—если один из полюсов W(s) или X1(s) равен нулю, выход может иметь постоянную составляющую;

—если хотя бы один из полюсов W(s) или X1(s) больше нуля (имеет по-

ложительную вещественную часть), выход системы неограниченно возрастает,

такой полюс называется неустойчивым, и "благодаря" ему система неустойчи-

ва;

— если имеются положительные собственные числа (или с положитель-

ной вещественной частью), выход будет неограниченно возрастать при любом входе, для которого произведение W(s)X1(s) несократимо.

Критерий Гурвица

Для полиномов высокого порядка вычисление корней — непростая зада-

ча. Поэтому для определения устойчивости используют различные критерии.

Необходимое условие устойчивости — одинаковый знак всех коэффици-

ентов полинома. Проще поставить условие положительности. Однако при n > 2

это условие не является достаточным, если полином имеет комплексно-

сопряженные корни. Существует несколько критериев, которые дают необхо-

димые и достаточные условия устойчивости. Один из них — критерий Гурвица.

Критерий Гурвица формулируется следующим образом. Все корни поли-

нома степени n:

P(s) a0 sn a1sn 1 ... an 1s an

26

имеют отрицательные вещественные части тогда и только тогда, когда положи-

тельны все n главных миноров (определителей Гурвица) матрицы размера n×n,

составленной из коэффициентов полинома (s) следующим образом:

— первая строка содержит коэффициенты с нечетными номерами,

оставшиеся элементы заполняются нулями;

— вторая строка содержит коэффициенты с четными номерами, оставши-

еся элементы также заполняются нулями;

—третья строка получается сдвигом первой строки на одну позицию

вправо;

—четвертая строка получается сдвигом второй строки на одну позицию

вправо;

—пятая строка получается сдвигом третьей строки на одну позицию вправо и т. д.

Поскольку необходимым условием устойчивости является положитель-

ность коэффициентов полинома, достаточно проверить только n−1 первых определителей Гурвица.

Например, для полинома пятой степени матрица выглядит так:

Ее определители Гурвица:

D1 a1 ,

27

D5 a5 D4 , поэтому если D4>0, то D5>0.

Рассмотрим контур управления, состоящий из регулятора с передаточной функцией Wr(s) и объекта с передаточной функцией Wo(s) (рис.7)

Рис.7. Контур управления из регулятора и объекта

Пусть:

28

Характеристический полином:

Pd (s) s( 1 s 1)( 2 s 1) k 1 2 s3 ( 1 2 )s2 s k .

Необходимое условие устойчивости — k>0, поскольку постоянные вре-

мени по смыслу положительны.

Матрица Гурвица:

Определители Гурвица:

D1 1 2 ,

Критерий Гурвица:

Таким образом, необходимое и достаточное условие устойчивости систе-

мы:

29

Критерий Найквиста

Критерий Найквиста позволяет определить устойчивость замкнутой си-

стемы (рис.8) по АФЧХ разомкнутой системы.

Рис.8. Замкнутая система

W(s) — передаточная функция разомкнутой системы, а W(iω) — ее ча-

стотная характеристика.

Будем считать, что степень числителя передаточной функции разомкну-

той системы W(s) меньше степени знаменателя (W(s) — строго правильная).

Для простоты будем также считать, что разомкнутая система устойчива и не содержит интегрирующих звеньев, т. е. W(0)=k.

Система устойчива тогда и только тогда, когда годограф W(iω) не охва-

тывает точку (−1;0).

Cистема находится на границе устойчивости, когда годограф проходит через точку (−1;0). В этом случае для некоторой частоты ω мы имеем A(ω)=1 и φ(ω)=−180°. Это говорит о том, что после прохождения системы сигнал меняет знак, сохраняя абсолютную величину, т. е. устанавливаются незатухающие ко-

лебания.

Частота ωc, для которой A(ωc)=1, называется частотой среза. Область ча-

стоты среза называется областью средних частот. Для устойчивой системы зна-

чение фазы на частоте среза должно быть больше, чем −180°, в этом случае го-

дограф не охватит точку (−1;0).

30