Характеристики линейных систем управления. Методические указания к лабораторным работам по дисциплине «Основы теории управления»

Это и есть импульсная переходная функция.

Итак, импульсная переходная и передаточная функции связаны между собой соотношениями:

w(t) L 1{W (s)}.

W (s) L{w(t)}.

Рассчитаем импульсную переходную функцию фильтра нижних частот:

Переходная функция — это реакция объекта на единичное ступенчатое воздействие 1(t) (рис.4).

Рис.4. Единичное ступенчатое воздействие

Если на входе единичное ступенчатое воздействие, то

X1 (s) L{1(t)} 1s ,

11

X 2 (s) X1 (s)W (s) 1s W (s) ,

и выход представляет собой переходную функцию:

x2 (t) h(t) L 1{1s W (s)}.

Изображение переходной функции — передаточная функция, деленная

на s:

L{h(t)} 1s W (s) .

Так как

(t) d1(t) , dt

то

w(t) dh(t) . dt

Преобразование Лапласа обладает свойством:

lim x(t) lim sX (s) .

t s 0

Отсюда имеем:

т. е. установившееся значение выхода при единичном ступенчатом воз-

действии — это значение передаточной функции при s=0.

12

Рассчитаем переходную и весовую функции дифференцирующего звена:

Порядок выполнения работы

Задание 1. Переходная функция

Создать схему системы второго порядка (см. рис.3).

На вход системы подать единичное ступенчатое воздействие 1(t). Произвести измерения выходного сигнала.

По передаточной функции получить переходную функцию, сопоставить теоретические и экспериментальные результаты.

Результаты представить в виде таблицы (табл.2) и графиков теоретических и экспериментальных значений выходного сигнала.

Таблица 2

Расчетные и экспериментальные данные

13

Задание 2. Импульсная переходная функция

Создать схему системы второго порядка (см. рис.3).

На вход системы подать сигнал, приближенный к единичному импульсу

(t). Произвести измерения выходного сигнала.

По передаточной функции получить импульсную переходную функцию,

сопоставить теоретические и экспериментальные результаты.

Результаты представить в виде таблицы (см. табл.2) и графиков теорети-

ческих и экспериментальных значений выходного сигнала.

Признаки формирования вариантов: s1. Постоянные времени звеньев. s2. Типы звеньев.

Содержание отчета

1. Задание 1

1.1.Схема системы.

1.2.Получение переходной функции системы по передаточной функции.

1.3.Таблица с теоретическими и экспериментальными результатами.

1.4.Графики теоретических и экспериментальных значений выходного сиг-

нала.

2. Задание 2

2.1.Схема системы.

2.2.Получение импульсной переходной функции системы по передаточной функции.

2.3.Таблица с теоретическими и экспериментальными результатами.

2.4.Графики теоретических и экспериментальных значений выходного сиг-

нала.

14

Лабораторная работа № 3. Частотные характеристики систем управления

Цель работы и рассматриваемые вопросы

Цель работы — изучение частотных характеристик систем управления.

Рассматриваемые вопросы:

1.Частотная передаточная функция.

2.Амплитудная частотная характеристика.

3.Фазовая частотная характеристика.

4.Логарифмические частотные характеристики.

Теоретическая информация

Частотные характеристики (ЧХ) — функции, показывающие реакцию звена на гармоническое входное воздействие в установившемся режиме.

Пусть входной сигнал: x1 sin t .

Тогда в установившемся режиме (по окончании переходных процессов)

выходной сигнал:

x2 (t) t Asin( t ) ,

где A — усиление амплитуды;

—сдвиг фазы.

В комплексном виде:

x1 ei t cos t isin t ,

x2 (t) t Aei ( t ) Acos( t ) iAsin( t ) .

15

В установившемся режиме в отношении выходного сигнала к входному зависимость от времени пропадает:

x2 (t) t Aei . x1 (t)

Подставим x1 и x2 в уравнение системы:

Получим:

Эта величина называется амплитудно-фазовой частотной характеристи-

кой (АФЧХ) или частотной передаточной функцией. Ее аргументом является частота входного сигнала.

Тот же результат получится, если применить к уравнению системы пре-

образование Фурье.

Преобразованием Фурье АФЧХ связана с импульсной переходной функ-

цией:

W (i ) w(t)e i t dt .

0

16

Модуль АФЧХ называется амплитудной частотной характеристикой

(АЧХ):

A( ) | W (i ) | .

Аргумент АФЧХ называется фазовой частотной характеристикой (ФЧХ):

( ) argW (i ) .

АФЧХ включает действительную и мнимую части:

W (i ) U ( ) iV ( ) .

Действительная часть АФЧХ называется вещественной частотной харак-

теристикой (ВЧХ), мнимая — мнимой частотной характеристикой (МЧХ).

Годограф АФЧХ на комплексной плоскости при [0,∞] (рис.5) называ-

ется амплитудно-фазовой характеристикой (АФХ) или кривой Найквиста.

Рис.5. Годограф АФЧХ

АЧХ, ФЧХ, ВЧХ и МЧХ связаны между собой соотношениями:

A U 2 V 2 .

tg UV .

cos UA . sin VA .

17

АЧХ удобно представлять в логарифмическом масштабе:

Lm( ) 20lg A( ) 20lg | W (i ) |.

Эта величина называется логарифмической амплитудной частотной ха-

рактеристикой (ЛЧХ). На графике ЛЧХ ось абсцисс является равномерной не по частоте, а по ее десятичному логарифму. Единицей отсчета на логарифмиче-

ской оси частот является декада — интервал, на котором частота увеличивается в 10 раз, а ее логарифм, соответственно, на единицу.

Величина Lm(ω) отсчитывается в децибелах (дБ). По определению,

Бел — единица, в которой именуется значение десятичного логарифма отноше-

ния мощностей сигналов:

Эта величина безразмерная. То есть, Бел — не единица измерения, а еди-

ница счета, логарифм "разов". Если отношение мощностей в "разах" равно де-

сяти, то в Белах — одному, а в децибелах, соответственно, десяти. Также нужно учесть, что АЧХ — это отношение амплитуд, а не мощностей. Мощность сиг-

нала пропорциональна квадрату амплитуды силы тока или напряжения сигнала,

поэтому коэффициент при логарифме равен не десяти, а двадцати.

ЛЧХ и ФЧХ обычно изображаются вместе. Ось абсцисс, конечно, для обеих характеристик одна — логарифм частоты, но значение ФЧХ не преобра-

зуется, оно остается в градусах или радианах.

ЛЧХ обладает двумя важными свойствами:

—значение ЛЧХ для произведения передаточных функций звеньев, что соответствует их последовательному соединению (см. далее), равно сумме ЛЧХ отдельных звеньев;

—в области низких и высоких частот ЛЧХ асимптотически приближа-

ется к прямым, наклон которых составляет 0 дБ/дек, ±20 дБ/дек, ±40 дБ/дек и т.д., так что можно проводить расчеты на основе асимптотических ЛЧХ, ко-

торые представляют собой ломаные линии и легко строятся вручную.

18

На вход системы подавать гармонические сигналы единичной амплитуды и разной частоты. Производить измерения амплитуды и сдвига фазы выходного сигнала по окончании переходного процесса.

По передаточной функции получить частотные характеристики, сопоста-

вить теоретические и экспериментальные результаты.

Результаты представить в виде таблицы (см. табл.3) и графиков расчет-

ных и экспериментальных характеристик: АФЧХ, АЧХ, ФЧХ, ЛЧХ.

Признаки формирования вариантов: s1. Постоянные времени звеньев. s2. Типы звеньев.

Содержание отчета

1. Задание 1

1.1.Схема системы.

1.2.Получение частотных характеристик системы по передаточной функции.

1.3.Таблица с теоретическими и экспериментальными результатами.

1.4.Графики теоретических и экспериментальных частотных характеристик. 2. Задание 2

2.1.Схема системы.

2.2.Получение частотных характеристик системы по передаточной функции.

2.3.Таблица с теоретическими и экспериментальными результатами.

2.4.Графики теоретических и экспериментальных частотных характеристик.

20