Хаотическая динамика и классическая теория устойчивости движения

Рис. 8.1

Будем в дальнейшем предполагать, что вектор-функция f (x) дважды непрерывно дифференцируема и исследуемая на устойчивость (или неустойчивость) по Жуковскому траектория x(t, x0) целиком расположена при t 0 в некоторой ограниченной области Ω Rn.

Предположим также, что f (x) = 0, x Ω. Здесь Ω — замыкание области Ω.

В этих предположениях существуют положительные числа δ и ε, для которых выполнено соотношение

Здесь

S(x, ε) = {y| (y − x) f (x) = 0, |x − y| < ε}.

Определение 8.1. Множество S(x(t, x0), ε) будем называть подвижным сечением Пуанкаре.

Заметим, что для малых ε весьма естественно вместо произвольных поверхностей ограничиться семейством кусков гиперповерхностей S(x(t, x0), ε). Более общее расcмотрение с этой точки зрения здесь не дает новых результатов. Возможно рассмотрение подвижных сечений Пуанкаре с более общих позиций, если ввести множества

S(x, q(x), ε) = {y| (y − x) q(x) = 0, |x − y| < ε},

где вектор-функция q(x) удовлетворяет условию q(x) f (x) = 0. Такое более общее рассмотрение проведено в [61, 62]. Здесь

мы ограничимся наиболее интересным и наглядным случаем, когда q(x) ≡ f (x).

Классическое сечение Пуанкаре позволяет сделать выводы о поведении траекторий, получая информацию в дискретные моменты времени их пересечения с сечением Пуанкаре. Перепараметризация траекторий позволяет организовать движение траекторий так, что все они в момент времени t находятся на одном и том же подвижном сечении Пуанкаре S(x(t, x0), ε):

Здесь ϕ(t) — перепараметризация траектории x(t, y0), y0 S(x0, ε). Разумеется, такое рассмотрение носит локальный характер и воз-

можно для тех значений t, пока

Сформулируем более точно описанные выше факты.

Лемма 8.1 (O параметризации). Для любого y0 S(x0, ε) существует дифференцируемая функция ϕ(t) = ϕ(t, y0) такая, что либо выполнены соотношения (8.2), (8.3) для всех t 0, либо существует такое значение T > 0, для которого соотношения (8.2) и (8.3) выполнены при t [0, T ) и

Здесь через

∂f

∂x (x(t, x0 ))

обозначена матрица Якоби вектор-функции f в точке x(t, x0).

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ЛЕММЫ 8.1.

Рассмотрим функцию двух переменных

F (t, τ ) = (x(τ, y0) − x(t, x0)) f (x(t, x0)),

для которой выполнено равенство F (t, τ ) = 0. Отсюда и из вклю-

чения y0 S(t0, ε) следует, что либо x(τ, y0) S(x(t, x0), ε) для всех t 0, τ 0, либо для некоторых T > 0 и τ0 > 0 справедливы соотношения

x(τ, y0) S(x(t, x0 ), ε), τ [0, τ0), t [0, T ), |x(τ0, y0) − x(T, x0)| = ε.

Поскольку в этих случаях

∂F∂τ = f (x(τ, y0)) f (x(t, y0)) δ

по теореме о неявной функции получим существование ϕ(t), для которой выполнены соотношения (8.2) на [0, T ). При этом T может быть конечным числом (если выполнено (8.4)) или T = +∞ (если имеет место (8.3) для всех t 0). По теореме о неявной функции

Лемма 8.2. Если траектория x(t, x0) устойчива по Жуковскому, то существует число δ > 0 такое, что для любого y0 S(x0, δ) существует дифференцируемая функция ϕ(t) = ϕ(t, y0), для которой при всех t 0 выполнены соотношения (8.2) и (8.5).

Запишем теперь уравнения для разности z(t) = x(ϕ(t), y0) − − x(t, x0), используя соотношения (8.1), (8.2) и (8.5).

Здесь использована формула (8.5).

В самом деле, из тождества

f (x(t, x0)) z(t) ≡ 0

получим соотношение

z˙(t) f (x(t, x0)) + z(t) ∂f∂x (x(t, x0 ))f (x(t, x0)) ≡ 0.

Поэтому

f (x(t, x0)) (z˙ − A(x(t, x0))z) = 0.

Последнее равенство эквивалентно соотношению (8.9).

Оценка (8.10) сразу следует из (8.7) и определения матрицы A(x).

Таким образом, для системы (8.8) естественным образом возникает система первого приближения

Она отличается от обычной системы первого приближения

тем, что здесь введен проектор

f (x(t, x0)f (x(t, x0))

v = I − w. (8.13)

|f (x(t, x0)|2

Легко видеть, что вектор-функция

y(t) =

f (x(t, x0))

|f (x(t, x0))|2

является решением системы

y˙ = A(x(t, x0))y.

Поэтому можно рассмотреть фундаментальную матрицу этой системы

где решения yj (t) удовлетворяют условию

f (x(t, x0)) yj (t) ≡ 0, t 0, j = 2, . . . , n.

Применим к системе решений, образующих матрицу Y (t), процедуру ортогонализации (7.5). Далее, как и в 7.1, образуем из полученных здесь ортогональных вектор-функций vj (t) (j = 1, . . . , n) унитарную матрицу

Ясно, что в рассматриваемом случае

Кроме того, как было показано в 7.1, матрица U (t) обладает всеми свойствами, сформулированными в теореме 7.1. При этом ясно, что здесь имеет место тождество

Здесь z(t) — решение системы (8.8) и u1(t) — первая компонента вектор-функции u(t) — решения системы (8.16).

Таким образом, систему (8.8) можно привести к системе (8.16) порядка n − 1, где выполнено соотношение (8.17). Последнее позволяет применить развитую в главах 3–7 теорию первого приближения к исследованию устойчивости по Жуковскому. Приведем для этого ряд простых предложений.

Предложение 8.1. Если нулевое решение системы (8.8) устойчиво по Ляпунову, то траектория x(t, x0) устойчива по Жуковскому. Если нулевое решение системы (8.8) асимптотически устойчиво по Ляпунову, то траектория x(t, x0) асимптотически устойчива по Жуковскому.

Это утверждение сразу следует из леммы 8.1 и преобразований (8.6)–(8.8). Здесь в качестве τ (t) (см. определение 2.6) выбрана

тойчиво по Ляпунову, то траектория x(t, x0) неустойчива по Жуковскому.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО.

Если траектория x(t, x0) устойчива по Жуковскому, то по лемме 8.2 существует специальная перепараметризация ϕ(t), для которой справедливы соотношения (8.8) и из условия |z(0)| δ следует неравенство |z(t)| ε, t 0. Это означает, что нулевое решение системы (8.8) устойчиво по Ляпунову. Последнее противоречит условию Предложения 8.2. Полученное противоречие доказывает Предложение 8.2.

Предложение 8.3. Устойчивость по Ляпунову, асимптотическая устойчивость по Ляпунову и неустойчивость по Ляпунову для нулевых решений систем (8.8) и (8.16)–(8.17) эквивалентны.

Это предложение следует из унитарности преобразования U (t), приводящего систему (8.8) к системе (8.16)–(8.17).

Из предложений 8.1, 8.3 и теорем 3.3, 6.3 вытекает следующее утверждение.

Предложение 8.4. Если для системы (8.11) выполнено неравенство

Λ + Γ < 0,

то траектория x(t, x0) асимптотически устойчива по Жуковскому.

Здесь Λ — старший характеристический показатель системы (8.11), Γ — коэффициент неправильности.

Из предложений 8.1, 8.3 и теоремы 6.4 вытекает следующий результат.

Предложение 8.5. Пусть для ограниченных областей Φ Ω

Пусть старший характеристический показатель системы (8.11) Λ(x0)

отрицателен для всех x0 ¯

Φ.

Тогда для любого x0 Φ траектория x(t, x0) асимптотически устойчива по Жуковскому.

Из соотношения (8.13) следует, что характеристические показатели системы (8.11) не более соответствующих характеристических показателей системы (8.12). Отсюда и из (8.21) следует неравенство

то траектория x(t, x0) асимптотически устойчива по Жуковскому.

Этот результат является обобщением широко известной теоремы Андронова – Витта.

Теорема 8.2 (Андронов, Витт [12]). Если траектория x(t, x0)

периодична, отлична от состояния равновесия и для системы (8.12) выполнено неравенство

λ2 < 0,

то траектория x(t, x0) асимптотически орбитально устойчива (асимптотически устойчива по Пуанкаре).

Теорема 8.2 является следствием теоремы 8.1, поскольку система (8.12) с периодической матрицей

∂f

∂x (x(t, x0 ))

является правильной [12].

Напомним, что для периодических траекторий асимптотическая устойчивость по Жуковскому и по Пуанкаре эквивалентны.

Из теоремы 8.1 в качестве следствия вытекает также теорема Демидовича.

Теорема 8.3 (Демидович [13]). Если система (8.12) правильна (т. е. γ = 0) и выполнено неравенство λ2 < 0, то траектория x(t, x0) асимптотически орбитально устойчива.

Из предложения 8.5 и неравенства (8.21) вытекает следующий результат.

Покажем теперь, как с помощью первого приближения (8.11) и очень простого аппарата ляпуновских функций можно получить обобщение широко известных результатов Пуанкаре [12, 92] и Борга [54, 77, 86].

Введем в рассмотрение симметричную дифференцируемую матрицу H(x(t, x0)) и непрерывную функцию λ(x(t, x0 )), для которых

Здесь V (t) = z(t) H(x(t, x0))z(t), z(t) — решение системы (8.8). Будем предполагать также, что для некоторой последовательно-

сти tj → +∞ и числа κ > 0 выполнено соотношение tj+1 − tj κ.

Лемма 8.3. Если для некоторых положительных чисел ρ и δ справедливы неравенства

tj+1