Хаотическая динамика и классическая теория устойчивости движения

Из неравенств γ > 0, b − 1 < 0 следует оценка

ϕ(−|x|) ϕ(|x|).

Поэтому достаточно рассмотреть экстремальные точки функции ϕ(x) при x (−∞, 0]. Ясно, что на этом множестве

*

(b − 1 − 2x−) x−2 + b

получим, что ϕ (x−) = 0 и, следовательно, при таком выборе γ выполнено неравенство

Таким образом, неравенство (9.12) выполнено для всех s, удовлетворяющих условию

Следовательно, выполнена оценка

dimL K 1 + s

для всех s, удовлетворяющих неравенству (9.13). Переходя к пределу, получим неравенство

Заметим, что точка x = x−, y = x− является неподвижной для отображения F . При этом

Легко видеть, что величины α1(x−) и α2(x−) являются собственными значениями матрицы Якоби Tξ F отображения F в неподвиж-

Отсюда и из равенства (9.15) по лемме 9.2 следует, что локальная ляпуновская размерность последовательности отображений F i в этой стационарной точке равна

1 − ln b/ ln α1(x−)

Отсюда и из неравенства (9.14) следует утверждение теоремы 9.3.

Заметим, что при a = 1, 4, b = 0, 3 из теоремы 9.3 имеем равен-

ство

Рассмотрим оператор сдвига по траектория системы (9.17) GT , где T — произвольное положительное число. Пусть K — инвариантное множество относительно этого оператора GT . Будем предполагать, что множество K содержит стационарную точку x = y = z = 0. Такое множество изображено на рисунках 2.3 и 2.4.

Заметим, что параметры γ1, γ2 и γ3 выбраны так, чтобы выполнялось соотношение

Легко доказать, что из условия (9.19) при определенных выше параметрах γ1, γ2, γ3 имеем неравенство

Таким образом, при всех x, y, z

ϕ(x, y, z) *4rσ + (σ − 1)2 .

существует число ε > 0 такое, что при всех x, y, z выполнена оценка

λ1(x, y, z) + λ2(x, y, z) + sλ3(x, y, z) + v˙ (x, y, z) < −ε.

Устремив s к s0 справа и используя теорему 9.2, получим оценку

Используя лемму 9.3, легко видеть, что локальная ляпуновская размерность стационарной точки x = y = z = 0 системы (9.17) равна

Использование аналогичного подхода с построением функций Ляпунова позволили получить формулы ляпуновской размерности для аттракторов диссипативного отображения Чирикова [29].

ГЛАВА 10

Частотный критерий cлабой экспоненциальной неустойчивости на аттракторах дискретных систем

В настоящей главе предлагается подход, связанный с нижними частотными оценками ляпуновских экспонент [36–39, 97]. Этот подход развивается в духе классической теории устойчивости и современной нелинейной теории управления: основные результаты формулируются в терминах передаточных функций и частотных характеристик линейных частей рассматриваемых систем. На характеристики нелинейных блоков ϕ(σ) накладываются условия, близкие к традиционным «неравенствам секторного типа» [1, 6, 11, 27, 51, 92, 94], характерным для теории абсолютной устойчивости нелинейных систем управления. Однако для неустойчивости на аттракторах оказалось необходимым «вывернуть наизнанку» такие секторные условия. Вместо привычных и традиционных условий ϕ(σ)/σ [k1, k2] или ϕ [k1, k2] для всех σ R1 здесь для почти всех σ требуется выполнение условий ϕ [k1, k2]. При этом на некоторых множествах ненулевой меры выполнены как неравенство ϕ < k1, так и неравенство ϕ > k2. Для непрерывных систем такие условия и соответствующие им частотные неравенства для передаточных функций линейной части выделяют в пространстве параметров пустые множества. Однако для дискретных систем такое рассмотрение позволяет получить частотные критерии неустойчивости на аттракторах. Здесь приведены примеры конкретных дискретных динамических систем первого и второго порядка, для которых по-

лученный частотный критерий дает условия неустойчивости на аттракторах.

Для дискретных систем обычно нет той наглядности представлений в фазовом пространстве, которая характерна для непрерывных систем с гладкими траекториями, заполняющими это пространство. Однако этот недостаток может быть частично ликвидирован, если вместо наблюдения за изменением в дискретном времени расстояния между двумя решениями рассматривать в начальный момент времени отрезок прямой, связывающий начальные данные, и дальнейшие его итерации — последовательность непрерывных кривых. Уменьшение или увеличение длин этих кривых дает информацию об устойчивости или неустойчивости и о других свойствах решений дискретных систем. Рассмотрение длин таких непрерывных кривых может быть положено и в основу определений устойчивости и неустойчивости, что особенно важно для неинъективных отображений, определяющих соответствующие дискретные системы (а именно они являются

внастоящее время широко известными генераторами хаоса). Дело

втом, что в некоторых случаях две траектории могут «слипнуться» за конечное число итераций. Однако итерируемый отрезок, связывающий начальные данные, может иметь все большую длину даже с учетом такого слипания.

Оказалось, что механизм растягивания в ряде случаев является достаточно сильным и его можно обнаружить и оценить, применяя весь богатый арсенал прямого метода Ляпунова, который можно соединить с эффективным алгебраическим аппаратом: лем-

мой Калмана – Сеге и леммой Шепелявого. Последние дают оценки растяжения длин итерируемых кривых в терминах частотных неравенств, оперирующих с передаточными функциями линейных блоков.

Эффект «слипания», который является менее сильным, чем «растягивание» в малых окрестностях рассматриваемых траекторий, усиливается по мере увеличения размеров окрестности (а это, как правило, неизбежно при превалировании эффекта растягивания). В какой-то момент окрестность становится такой большой, что «сли-