Технический рисунок и начертательная геометрия. Учебное пособие

81

4.10.Построить горизонтальный отрезок заданной длины, концы которого лежат на двух данных прямых.

4.11.Построить сферу, проходящую через три данные точки и касающуюся данной прямой.

4.12.Через две точки, заданные внутри сферы, провести плоскость, пересекающую сферу по окружности максимального радиуса.

4.13.Через две точки, заданные внутри сферы, провести плоскость, пересекающую сферу по окружности минимального радиуса.

4.14.Найти максимальное и минимальное расстояние между точками двух данных сфер.

4.15.Построить плоскость, касательную к трём данным сферам.

4.16.Дана прямая, точка на ней и точка вне её. Через точку на прямой провести прямую, составляющую с данной прямой данный угол и отстоящую от данной точки на данное расстояние.

4.17.Решить задачу 4.8 на перспективном чертеже, считая заданную плоскость предметной плоскостью.

4.18.Решить задачу 4.8 на перспективном чертеже, считая заданную плоскость картинной плоскостью.

4.19.Решить задачу 4.10 на перспективном чертеже.

4.20.Решить задачу 4.8 на изометрическом чертеже, считая заданную плоскость горизонтальной плоскостью.

4.21.Решить задачу 4.8 на изометрическом чертеже, считая заданную плоскость фронтальной плоскостью.

4.22.Решить задачу 4.10 на изометрическом чертеже.

4.23.Сделать рисунок (аксонометрия, выполненная от руки) к задаче 4.11.

4.24.Сделать рисунок (аксонометрия, выполненная от руки) к задаче 4.12.

4.25.Сделать рисунок (аксонометрия, выполненная от руки) к задаче 4.13.

4.26.Сделать рисунок (аксонометрия, выполненная от руки) к задаче 4.15.

81

82

5.СПОСОБЫ ПОСТРОЕНИЯ ПЕРСПЕКТИВЫ

ИАКСОНОМЕТРИИ

Перспектива может быть построена с помощью различных элементов перспективного чертежа. Могут использоваться точки схода, точки измерения, дистанционные точки, координаты и др. Различные комбинации этих элементов определяют тот или иной способ [3, с. 64].

5.1. Способ архитекторов

Способ архитекторов – это способ построения перспективного изображения по горизонтальной и фронтальной проекции комплексного чертежа объекта (по плану и фасаду). Способ удобен тем, что позволяет заранее выбрать положение точки зрения и положение картины, чтобы обеспечить желаемую степень наглядности.

Способ может быть использован в двух вариантах:

1)с двумя точками схода;

2)с одной точкой схода.

Рассмотрим способ архитекторов с двумя точками схода. На горизонтальной проекции задается проекция S1 точки зрения S и проекция k1 картины k (рис. 5.1). Они определяют положения точек схода FL и FR. На фронтальной проекции задается проекция S2 точки зрения, которая определяет положение линии горизонта h2.

На перспективном чертеже имеются все элементы, необходимые для построения изображения: основание картины k, линия горизонта h, точки схода FL и FR. Можно использовать масштаб увеличения. Но на рисунке 5.2 все элементы перспективного чертежа изображены в масштабе 1:1 по сравнению с ортогональными проекциями. Поэтому все отрезки, определенные точками FR, FL, 10, 20, 30, 60, 70 на линии k1 переносятся на перспективное изображение на линию k без изменения их длин.

При построении перспективного изображения необходимо иметь

ввиду следующие правила:

1)все прямые, которые на ортогональном чертеже параллельны прямой S1FL, на перспективном чертеже сходятся в точке FL, а все прямые, которые на ортогональном чертеже параллельны прямой S1FR, на перспективном чертеже сходятся в точке FR;

82

83

Рис. 5.2. Перспектива, построенная способом архитекторов

2) длины любых вертикальных отрезков, измеренных на ортогональном чертеже, можно откладывать только в картинной плоскости перспективного чертежа. Поэтому вертикальное ребро, выходящее из точки 1 объекта, измерено на ортогональном чертеже и отложено без искажения от точки 10 основания картины перспективного чертежа (показано фигурной скобкой). Вертикальное ребро, проходящее через точку 3 объекта, измерено на ортогональном чертеже и отложено без искажения от точки 10 основания картины перспективного чертежа (показано большой фигурной скобкой).

Однако само это ребро построено на вертикали, проходящей через точку 30 основания картины. Аналогично вертикальное ребро, проходящее через точку 6 объекта, имеет такую же длину, как и ребро 1, но строится на вертикали, проходящей через точку 60. Верхние точки 4 и 5 объекта на перспективном изображении строятся как точки пересечения прямых, сходящихся в точках FL и FR.

Построение перспективы с одной точкой схода используется, если вторая недоступна. Принципиально оно не отличается от описанного построения. Все прямые объекта, параллельные прямой S1FL или прямой S1FR, продолжаются до пересечения с картинной плоскостью (на рисунке 5.1 продолжены прямые, параллельные прямой S1FL, и отмечены точки 2/0 и 3/0, которые перенесены на основание картины

84

85

перспективного чертежа). Если проводятся прямые, параллельные прямой S1FL, то используется точка FL и наоборот. Дальнейшие построения выполняются аналогично.

5.2. Способ совмещения

Способ совмещения – это способ построения перспективного изображения путем поворота предметной плоскости вокруг основания картины до совпадения с картинной плоскостью. Способ совмещения удобно применять для построения перспективы интерьера, когда задана высота предметов обстановки.

На рисунке 5.3 построено перспективное изображение угла комнаты с окном и двумя предметами на полу.

Для построения перспективы задаются положением линии h горизонта, главной точкой P картины и дистанционными точками D1, D2, D3. Ортогональная проекция угла BAKC комнаты с предметами (вид сверху) совмещена с картинной плоскостью. Для определения на линии горизонта положений точек схода FL и FR из точки D3 проводят прямую D3FL параллельно прямой AKC и прямую D3FR параллельно прямой AKB. Поскольку выбор положения главной точки произволен, то точки FL и FR могут совпадать с точками D1 и D2. В пересечении прямых CFL и BFR находят точку А – угол комнаты.

Построение предметов интерьера можно выполнить разными способами. Точку M – левую верхнюю вершину первого предмета строят, используя точки P и D2. Из точки MK опускают перпендикуляр на основание картины и из полученной точки M/ проводят линию в точку P. Затем этот перпендикуляр поворачивают вокруг его основания до совпадения с основанием картины и конец M// полученного отрезка соединяют с точкой D2. Точка пересечения прямых M/P и M//D2 есть проекция точки M на предметную плоскость. Для построения точки M в точке M/ восстанавливают перпендикуляр, длина которого равна высоте первого предмета, и его конец соединяют с точкой P. Проекцию точки M на предметную плоскость поднимают на проведенную прямую и получают точку M. Все остальные вершины первого предмета можно построить таким же способом, а также можно использовать точку схода длинных ребер предмета. Точка схода коротких ребер предмета уходит за пределы чертежа.

85

AK

Рис. 5.3. Построение перспективы интерьера методом совмещения

86

87

Точку N – правую верхнюю вершину второго предмета можно построить с использованием точки P и точки FL. Точка N/ строится точно так же, как точка M/. Для построения точки N// из точки NK проводится прямая, параллельная прямой AKC. Точка N// соединяется с точкой FL. Точка пересечения прямых N/P и N//FL есть проекция точки N на предметную плоскость. Для построения самой точки N в точке N/ восстановлен перпендикуляр, длина которого равна высоте второго предмета интерьера. Остальное аналогично.

Построение перспективы окна выполняется так же.

5.3. Способ перспективной сетки

Способ перспективной сетки используется для построения перспективного изображения плоских рисунков, например орнаментов. Простейшие сетки состоят из квадратов или прямоугольников, одни стороны которых параллельны предметной или картинной плоскости, а другие – перпендикулярны им. Способ сетки обычно сочетается со способом совмещения.

На рисунке 5.4 приведен пример построения перспективы несложного орнамента, выполненного в вертикальной плоскости, расположенной под углом к картинной плоскости.

Рис. 5.4. Перспектива орнамента, построенная методом сетки

87

88

Орнамент без искажений выполняется в картинной плоскости, слева или справа от картины. Затем он заключается в прямоугольную сетку, равномерную или неравномерную. Линии сетки обычно проводятся через характерные точки орнамента. Требуется перенести орнамент на вертикальную плоскость, изображенную на картине. Перенос вертикальных линий сетки на картину выполняется при помощи масштабной точки, а перенос горизонтальных линий – при помощи точки схода горизонталей заданной плоскости. На полученной перспективной сетке отмечают характерные точки орнамента и соединяют их плавными линиями, соответствующими заданному рисунку.

Предположим, что требуется построить перспективу помещения (комнаты), на левой боковой стене которого висит картина, наклоненная вперед на заданный угол. На картине имеется рисунок, перенести который на перспективу можно при помощи сетки. Сначала в картинной плоскости строится изображение прямоугольной картины в натуральную величину или в выбранном масштабе (рис. 5.5).

Рис. 5.5. Построение рисунка на наклонной плоскости

Затем на изображение наносится сетка, которая может быть неравномерной. Изображение прямоугольника картины под заданным углом к вертикальной стенке строят в перспективе. Так как прямо-

88

89

угольник картины перпендикулярен картинной плоскости, то угол откладывают натуральный, без искажений. С помощью дистанционной точки строят вертикальные линии сетки, а с помощью главной точки строят горизонтальные линии сетки. Характерные точки рисунка переносят на перспективное изображение и соединяют соответствующими линиями.

5.4. Построение аксонометрии по ортогональным проекциям

При построении прямоугольных аксонометрических проекций можно применять очень наглядный способ, позволяющий строить аксонометрическое изображение предмета непосредственно по его ортогональным проекциям. Рассмотрим построение прямоугольной аксонометрической проекции точки по её ортогональным проекциям.

Пусть будут заданы ортогональные проекции (комплексный чертёж) точки А (рис. 5.6а) и оси Ox, Oy, Oz аксонометрического изображения (рис. 5.6б). Совмещаем плоскость Oxy с картинной плоскостью. Для этого в любом месте аксонометрического чертежа проводим отрезок PQ перпендикулярно оси Oz. На отрезке PQ как на диаметре строим полуокружность, которая пересечёт ось Oz в точке O/. Оси O/x/ = O/Q и O/y/ = O/R есть оси горизонтальной плоскости проекций, совмещённой с картинной плоскостью.

Из точки Q проводим отрезок QR перпендикулярно оси Oy и выполняем такие же построения. Оси O//x// и O//z// есть оси фронтальной плоскости проекций, совмещённой с картинной плоскостью.

После этого располагаем горизонтальную проекцию A1 точки A вместе с осями координат в любом месте картинной плоскости, но так, чтобы начало координат лежало на оси Oz, а оси координат Ox, Oy были бы параллельны построенным осям O/x/, O/y/. Фронтальную проекцию A2 точки A вместе с осями координат располагаем в любом месте картинной плоскости, но так, чтобы начало координат лежало

на оси Oy, а оси координат Ox, Oz были бы параллельны построен-

ным осям O//x//, O//z//.

Аксонометрическая проекция точки А есть точка пересечения прямой, проведенной из точки А1 параллельно оси Oz, и прямой, проведенной из точки А2 параллельно оси Oy.

89

На рисунке 5.7 приведен пример такого построения аксонометрического изображения прямоугольной фигуры. Никакие линии построения не показаны, так как изображение строится по точкам вершин данной фигуры.

Если исходная фигура, заданная на комплексном чертеже (рис. 5.7а), криволинейная или если заданы две пересекающиеся поверхности и их линия пересечения представляет собой пространственную кривую линию, то все построения аксонометрического изображения остаются в силе (рис. 5.7б). Единственное отличие будет в том, что придётся строить достаточно много точек кривой линии, чтобы изображение было как можно точнее.

90