Технический рисунок и начертательная геометрия. Учебное пособие

31

z

a2

c2

b2

b1

c1

a1

y

Рис. 2.5. Прямые уровня на комплексном чертеже

На рисунке 2.6 изображены эти же прямые в перспективе.

O

Рис. 2.6. Прямые уровня в перспективе

Особенности расположения проекций следующие. Поскольку a || a1, то эти прямые сходятся в точке на линии горизонта. Точка их схода может быть любой. Если точкой схода будет дистанционная точка,

31

32

то это будет означать, что горизонтальная прямая наклонена к картинной плоскости под углом 450. Прямые c и c3 параллельны и поэтому имеют точку схода, расположенную на перпендикуляре к линии горизонта, проходящем через точку P (на рисунке их точка схода не показана).

2.2. Изображение плоскостей

Плоскость может быть параллельна каждой из координатных плоскостей. Плоскость, параллельная какой-либо координатной плоскости, называется плоскостью уровня. Плоскость, перпендикулярная какой-либо координатной плоскости, называется проецирующей плоскостью. Итого имеется шесть частных положений плоскости – три уровня и три проецирующих.

Плоскость уровня, параллельная горизонтальной плоскости, называется горизонтальной. Плоскость уровня, параллельная фронтальной плоскости, называется фронтальной. Плоскость уровня, параллельная профильной плоскости, называется профильной. Плоскости, перпендикулярные горизонтальной, фронтальной или профильной плоскости, называются, соответственно, горизонтально,

фронтально или профильно проецирующими плоскостями.

Чтобы увидеть расположение плоскостей уровня, см. рисунки 2.1, 2.3, 2.5. Плоскости, образованные параллельными прямыми a и a2, b и b3, являются горизонтальными плоскостями (рис. 2.1). При этом проекции a2 и b3 являются, соответственно, фронтальным и профильным следами этих плоскостей. Плоскости, образованные параллельными прямыми a и a1, c и c3, являются фронтальными плоскостями. При этом проекции a1 и c3 являются, соответственно, горизонтальным и профильным следами этих плоскостей. Плоскости, образованные параллельными прямыми b и b1 или c и c2, являются профильными плоскостями. При этом проекции b1 и c2 являются, соответственно, горизонтальным и фронтальным следами этих плоскостей. Горизонтальная плоскость задается только проекцией (следом) a2 (рис. 2.5). Проекцию a1 принимать во внимание не следует. Фронтальная плоскость задается только проекцией (следом) b1, проекция b2 отсутствует. Профильная плоскость задается или только проекцией (следом) c1 или только проекцией (следом) c2, но могут присутствовать обе проекции. На рисунке 2.3 горизонтальная плоскость образована прямыми a и a2, фронтальная плоскость – прямыми c и c3, профильная плоскость – прямыми b и b1.

32

33

Чтобы увидеть расположение проецирующих плоскостей, см. рисунки 2.4, 2.5, 2.6. На рисунке 2.4 горизонтально проецирующая плоскость образована параллельными прямыми a и a1, фронтально проецирующая плоскость образована параллельными прямыми b и b2, профильно проецирующая плоскость образована параллельными прямыми c и c3. На рисунке 2.5 горизонтально проецирующая плоскость задается только проекцией или следом a1, фронтально проецирующая плоскость – только проекцией или следом b2. Профильно проецирующая плоскость на этом рисунке не показана. Однако, если не обращать внимания на остальные проекции, то прямые a2 и b1 можно принять за фронтальный и горизонтальный след профильно проецирующей плоскости. На рисунке 2.6 горизонтально проецирующая плоскость образована параллельными (в перспективе) прямыми a и a1, фронтально проецирующая плоскость образована параллельными прямыми b и b2, профильно проецирующая плоскость образована параллельными (в перспективе) прямыми c и c3.

В отличие от прямой общего положения, которая может быть задана своими проекциями, плоскость общего положения своими про-

екциями не задается. Точнее, проекцией плоскости общего положе-

ния на какую-либо координатную плоскость является сама эта координатная плоскость. Поэтому плоскость общего положения лучше задавать проекциями какой-нибудь фигуры, лежащей в этой плоскости. Например, проекциями какого-либо треугольника. На рисунках 2.7, 2.8 и 2.9 показаны треугольник ABC, задающий плоскость общего положения, и его проекции на координатные плоскости. Ни на одном из рисунков, ни на одной из проекций не изображены истинные размеры треугольника. Все проекции искажены в сторону уменьшения и только проекция A2B2C2 на перспективном чертеже увеличена.

На рисунках 2.10 и 2.11 показана плоскость общего положения, заданная следами, то есть линиями пересечения с координатными плоскостями.

33

34

B2

B

C2

A2 A

B1 C

A1

C1

Рис. 2.7. Ортогональная изометрия треугольника ABC

B2

A2 C2

A1

B1

C1

Рис. 2.8. Комплексный чертеж треугольника ABC

34

35

B

B2

C2 A1

Рис. 2.9. Перспектива треугольника ABC

Рис. 2.10. Следы плоскости общего положения: а – в изометрии; б – на комплексном чертеже

35

36

z

a3

b3

a2

b1 a1

Рис. 2.11. Плоскости общего положения в перспективе, заданные следами

На рисунках 2.10 и 2.11 можно заметить, что следы плоскости всегда пересекаются на осях координат. На перспективном чертеже показаны две плоскости. Следы b1, b2, b3 плоскости b пересекаются на положительных полуосях координат. Плоскость a имеет наклон в другую сторону, поэтому следы a2 и a3 пересекаются при их продолжении на отрицательной полуоси Oz ниже основания картины (на чертеже не показаны). Кроме этого на рисунке 2.11 проведены по три горизонтали каждой плоскости, сходящиеся на линии горизонта.

2.3. Окружности в плоскостях частного положения

В общем случае проекцией окружности на плоскость является эллипс. Однако если плоскость окружности параллельна плоскости проекций, то на плоскость проекций окружность проецируется в окружность, то есть без искажения. На рисунке 2.12 приведен комплексный чертеж окружности, лежащей в горизонтальной плоскости.

Здесь можно отметить следующее обстоятельство. В том случае, когда конкретные координаты точек какой-либо фигуры не заданы, оси координат можно не проводить. На рисунке 2.12 конкретное положение окружности не имеет значения, важно только, что она лежит в горизонтальной плоскости. Поэтому оси Oy и Oz не проведены.

36

37

Аналогичная картина будет, когда окружность будет лежать во фронтальной плоскости (проекции просто поменяются местами).

Рис. 2.12. Окружность в горизонтальной плоскости

Окружности, лежащие в проецирующей плоскости, будут проецироваться на координатную плоскость в виде эллипса. Такой случай приведен на рисунке 2.13а. Окружность ABCD лежит во фронтально проецирующей плоскости.

C2 = D2 B2

A2

D1

A1 B1

C1

Рис. 2.13. Окружность на комплексном чертеже: а – во фронтально проецирующей плоскости; б – построение эллипса

37

38

Горизонтальной проекцией окружности ABCD является эллипс A1B1C1D1. Малая ось A1B1 меньше диаметра окружности, который равен отрезку A2B2. Большая ось C1D1 эллипса равна диаметру окружности. По большой и малой оси можно построить эллипс. На рисунке 2.13б показано построение эллипса по большой и малой оси. На осях эллипса строятся малая и большая окружности с общим центром. Из центра проводится произвольная прямая. Из точки пересечения этой прямой с малой окружностью проводится прямая, перпендикулярная малой оси. Из точки пересечения этой же прямой с большой окружностью проводится прямая, перпендикулярная большой оси. Точка пересечения этих прямых есть точка эллипса. Повторяя такое построение несколько раз, получим множество точек эллипса, через которые можно провести плавную кривую, соблюдая направление выпуклости от центра. Эта кривая и будет кривой эллипса.

В ортогональной приведенной изометрии окружности диаметром d, лежащие в плоскостях уровня, изображаются эллипсами, у которых длина большой оси равна 1,22d, длина малой оси равна 0,71d. Направление большой оси перпендикулярно той координатной оси, которая перпендикулярна данной плоскости уровня. Направление малой оси совпадает с направлением этой же координатной оси (рис. 2.14). То есть |AE| = 1,22d, |CG| = 0,71d, |BF| = |DH| = d.

Рис. 2.14. Окружности в плоскостях уровня

38

39

В ортогональной приведенной диметрии будут такие же закономерности, но другие коэффициенты. Длина большой оси эллипса для окружностей в горизонтальной и профильной плоскостях будет равна 1,06d, малой оси – равна 0,35d. Для окружностей во фронтальной плоскости, соответственно, 1,06d и 0,95d. В перспективе при изображении окружностей будут дополнительные искажения, связанные с проективной шкалой глубин.

Для построения окружности, лежащей в горизонтальной плоскости, можно применять способ описанного квадрата. Этот способ заключается в том, что сначала в перспективе строят квадрат, центр которого совпадает с центром окружности, а длина стороны равна диаметру окружности. Затем в него вписывают окружность и точки пересечения окружности с осями симметрии квадрата переносят на перспективное изображение. Поэтому такой способ еще называют способом восьми точек. Построение окружности в горизонтальной плоскости показано на рисунке 2.15.

D P

D

A B

C/

D/

Рис. 2.15. Способ описанного квадрата или способ восьми точек

39

40

Сначала строят квадрат A/B/C/D/ в картинной плоскости и окружность, вписанную в него. Идея способа состоит в том, что предметная плоскость поворачивается вокруг основания картины – оси Ox до совпадения с картинной плоскостью. На рисунке 2.15 поворот выполнен по часовой стрелке (вниз), но можно поворачивать и против часовой стрелки (вверх). Затем проводят четыре оси симметрии квадрата и отмечают их точки пересечения с окружностью. На предметную плоскость перенос этих линий и точек осуществляется просто. Прямая CD и ей параллельные стороны квадрата будут иметь направление в главную точку P. Прямая AB и ей параллельные стороны будут параллельны оси Ox. Диагонали квадрата, как прямые наклоненные к картинной плоскости под углом 450, будут направлены в дистанционные точки D (показана только одна из них, но и одной вполне достаточно). Таким образом, в предметной плоскости будут получены восемь точек. Соединяя их плавной кривой, получим изображение эллипса.

Совмещение квадрата с картинной плоскостью можно не делать, если воспользоваться тем, что длина отрезков, отмеченных фигурными скобками, составляет 0,15 длины стороны квадрата (диаметра окружности).

Если необходимо построить окружность, лежащую в плоскости Oyz, то все построения будут абсолютно такими же, но поворот плоскости Oyz необходимо будет выполнить вокруг оси Oz.

2.4. Изображение конусов и цилиндров

Рассмотрим построение изображений конусов и цилиндров, у которых основаниями являются окружности. Если у такого конуса вершина лежит на перпендикуляре, проходящем через центр основания, то конус будет называться конусом вращения. Если у цилиндра центры оснований лежат на одном перпендикуляре к плоскостям оснований, то такой цилиндр будет называться цилиндром вращения. Если эти условия не выполняются, то конус и цилиндр называются эл-

липтическими.

Для построения цилиндра, основания которого параллельны горизонтальной (предметной) плоскости, достаточно построить окружности оснований. Пусть цилиндр высотой b стоит на предметной плоскости. Построение его изображения приведено на рисунке 2.16.

40