Технический рисунок и начертательная геометрия. Учебное пособие

51

Рис. 3.4. Пересечение прямой с проецирующим цилиндром

Алгоритм решения задачи в общем случае следующий:

1)заданную прямую заключают в специально выбранную плос-

кость;

2)строят линию пересечения заданной поверхности и плоскости;

3)отмечают точки пересечения заданной прямой с построенной линией.

Рассмотрим применение этого метода для случая пересечения прямой с конусом. Специально выбранная плоскость должна быть плоскостью, пересекающей конус по графически простым линиям – прямым или окружностям. Если плоскость проходит через вершину конуса, то она пересечет конус по двум прямым – образующим. Следовательно, вспомогательную плоскость нужно провести через заданную прямую и вершину конуса. На рисунке 3.5 показано это решение.

На заданной прямой выбираются две произвольные точки A, B. Прямые SA и SB задают вспомогательную плоскость SAB. Её горизонтальный след CD построен при помощи точек пересечения прямых SA, S1A1 и SB, S1B1. Прямая CD пересекает основание конуса в точках E, F (точек пересечения может быть больше). Если прямая CD не пересекает основания, значит, прямая не пересекает конус. Пересечения прямых SE и SF с заданной прямой есть точки пересечения прямой и конуса – точки M, N.

51

52

S

F

D B1

Рис. 3.5. Пересечение прямой и эллиптического конуса

Если вместо конуса будет задан эллиптический цилиндр или цилиндр общего вида, то решение будет аналогичным. Отличие будет в том, что точки S на чертеже не будет. Тогда прямые SA, SB, SE, SF пройдут через точки A, B, E, F параллельно оси цилиндра. И в том и в другом случае построение заключается в проведении только прямых линий. Поэтому реализация этого построения возможна и удобна на аксонометрических чертежах.

Предположим, что задан конус вращения с осью, перпендикулярной горизонтальной плоскости. Тогда можно воспользоваться вспомогательными плоскостями, которые параллельны горизонтальной плоскости и пересекают конус по окружностям. Построение многочисленных окружностей означает, что пользоваться аксонометрическими, а тем более перспективными изображениями нецелесообразно. Лучше использовать комплексный чертеж. После того как задача будет решена, точки пересечения можно переносить на аксонометрические или перспективные изображения по их координатам.

Решение такой задачи приведено на рисунке 3.6. Через заданную прямую проведена фронтально проецирующая плоскость. Произвольно выбранная горизонтальная вспомогательная плоскость пересекает конус по окружности, величина радиуса которой обозначена фигур-

52

53

ной скобкой. Эта же вспомогательная плоскость пересекает фронтально проецирующую плоскость по прямой, перпендикулярной оси проекций. Пересечение окружности и прямой происходит в двух точках, которые видны на горизонтальной проекции. Выбирая достаточное количество вспомогательных плоскостей, на горизонтальной проекции будем получать множество точек, которое описывает линию пересечения фронтально проецирующей плоскости и конуса. Этой линией является эллипс. Точки пересечения эллипса с заданной прямой есть искомые точки пересечения прямой и конуса.

Рис. 3.6. Пересечение прямой общего положения и конуса вращения

Если вместо конуса будет задана сфера, эллипсоид, параболоид, гиперболоид, тор или поверхность вращения общего вида, то задача будет решаться совершенно аналогично. В задаче с тором число точек пересечения может быть равно четырем.

53

54

3.3. Пересечение многогранников

Многогранником называется тело, ограниченное плоскостями. Поверхность многогранника называется гранной поверхностью. Грани поверхности пересекаются по прямым, называемым ребрами. Точки пересечения ребер называются вершинами. Наиболее распространенными многогранниками являются призмы, пирамиды и приз-

матоиды.

Теперь мы можем перейти ко второй позиционной задаче – пересечению поверхностей. Начнем с самых простых задач и рассмотрим пересечение прямой призмы плоскостью общего положения. Задача линейная и заданные фигуры тоже линейные. То есть решение будет состоять из проведения прямых линий. Поэтому можно воспользоваться аксонометрическими или перспективными изображениями. Решим задачу в перспективе.

Пусть прямая призма высотой d стоит на картинной плоскости (рис. 3.7). Плоскость (abc) общего положения задана следами: горизонтальным a, профильным b и картинным c. Воспользуемся доступной точкой схода горизонтального следа a, которая позволяет провести сколько угодно горизонтальных прямых, параллельных a. Прове-

54

55

дем вертикальные плоскости, параллельные следу a, через каждое вертикальное ребро призмы. Каждую такую вертикальную плоскость зададим её горизонтальным следом и горизонталью, пересекающей след b. Точки пересечения таких горизонталей с вертикальными ребрами призмы определяют сечение призмы, заданной плоскостью (abc)

– треугольник LMN.

Рассмотрим построение сечения пирамиды плоскостью в аксонометрии (рис. 3.8).

S

E

A

D

B

C

m

Рис. 3.8. Сечение пирамиды плоскостью

Пусть задана пирамида SABCDE и секущая плоскость, заданная горизонтальным следом m и точкой M на ребре SA. Алгоритм построения сечения следующий. Сторону АВ основания пирамиды продолжают до пересечения с прямой m и соединяют полученную точку с точкой М. Эта прямая лежит в плоскости грани SAB и, следовательно, пересекает ребро SB. Точка пересечения принадлежит искомому сечению. Затем эти же действия выполняют со стороной BC и со стороной CD. Сторона AE основания параллельна прямой m и поэтому для построения точки сечения на ребре SE нужно из точки М прове-

55

56

сти прямую, параллельную m. Затем находят точку сечения на ребре

SD.

Задачу построения линии пересечения двух треугольных пирамид решим в аксонометрии. Пусть заданы пирамиды SABC и TDEF (рис. 3.9).

T2

S2

T

S

F2 A N L F

C

E

B D

Рис. 3.9. Пересечение пирамид в аксонометрии

Линия пересечения двухгранных поверхностей определяется на основе алгоритма пересечения прямой и плоскости. Для построения линии пересечения необходимо найти все точки пересечения ребер

56

57

первой гранной поверхности с гранями второй и все точки пересечения ребер второй поверхности с гранями первой.

Кроме проекций пирамид должны быть заданы еще одни проекции. Пусть это будут фронтальные проекции S2A2B2C2 и T2D2E2F2. Способом вспомогательных фронтально проецирующих плоскостей найдены точки M, N, L, P. Точка L есть точка пересечения ребра SC с гранью TDF, точка M есть точка пересечения ребра SC с гранью TDE, точка N есть точка пересечения ребра TE с гранью SAB, точка P есть точка пересечения ребра TE с гранью SAC.

3.4. Пересечение конусов, цилиндров и сфер

Задача построения линии пересечения конусов и цилиндров может быть решена проведением на чертеже только прямых линий. Поэтому такую задачу можно решать на аксонометрическом или перспективном чертеже, не прибегая к комплексному чертежу.

Во всех случаях построения пересечения возможно использование вспомогательных плоскостей, а именно:

–в случае пересечения двух конусов вспомогательные плоскости должны проходить через вершины конусов;

–в случае пересечения двух цилиндров вспомогательные плоскости должны быть параллельны осям цилиндров;

–в случае пересечения цилиндра и конуса вспомогательные плоскости должны проходить через вершину конуса параллельно оси цилиндра.

В каждом конкретном случае необходимо использовать наиболее рациональные приемы.

Рассмотрим задачу построения линии пересечения конуса и цилиндра на аксонометрическом чертеже (рис. 3.10). Через ось конуса проведены вертикальные плоскости a, b, c, которые пересекают конус по образующим, проходящим через вершину. Эти же плоскости пересекают цилиндр по вертикальным прямым – образующим цилиндра. Пересечение образующей конуса и образующих цилиндра, лежащих в одной вспомогательной плоскости, есть точки линии пересечения конуса и цилиндра. На чертеже они выделены жирными кружками.

57

58

c

b

a

Рис. 3.10. Пересечение конуса и цилиндра

Рассмотрим построение линии пересечения двух конусов, используя для этого аксонометрический чертеж (рис. 3.11). Пусть основание одного конуса расположено в горизонтальной плоскости, а второго – в вертикальной. Через вершины A, B конусов проведена прямая и найдены её следы на плоскостях оснований конусов. Следы

должны быть на плоскостях оснований, а не на плоскостях про-

екций. Это обязательно. В данной задаче плоскости оснований совпадают с плоскостями проекций.

Поэтому след C есть точка пересечения с горизонтальной плоскостью, а след D – с фронтальной плоскостью. Прямая AB = CD есть ось множества плоскостей (пучка плоскостей), каждая плоскость которого, поворачиваясь вокруг этой оси, пересекает оба конуса по прямолинейным образующим. Задать одну из таких плоскостей можно точкой на прямой пересечения плоскостей оснований конусов.

В данном случае прямая пересечения плоскостей оснований совпадает с прямой пересечения плоскостей проекций. Поэтому на этой прямой можно выбрать произвольную точку E, которая определит горизонтальный EC и фронтальный ED следы вспомогательной плоско-

сти CDE.

58

59

D

K

A

H

E

B

F

G

С

Рис. 3.11. Пересечение двух конусов

При выборе положения точки E необходимо следить за тем, чтобы следы вспомогательной плоскости пересекали основания обоих конусов. Точки F, G есть точки пересечения следа EC с основанием вертикального конуса, а точки H, K есть точки пересечения следа ED с основанием горизонтального конуса. Прямолинейные образующие

59

60

FA и GA вертикального конуса пересекаются с прямолинейными образующими HB и KB горизонтального конуса в точках искомой линии пересечения заданных конусов. На чертеже эти точки выделены жирными кружками.

Выбор новой точки E определит новую вспомогательную плоскость и процесс повторится. Когда точек линии пересечения будет достаточно, их можно будет обвести плавной кривой с учетом взаимной видимости конусов.

Некоторые задачи, особенно те, в которых конусы и цилиндры имеют частные положения относительно координатных плоскостей, лучше решать на комплексном чертеже. Рассмотрим построение проекций линии пересечения вертикального конуса и фронтально проецирующего цилиндра (рис. 3.12).

Рис. 3.12. Пересечение конуса и цилиндра на комплексном чертеже

60