Технический рисунок и начертательная геометрия. Учебное пособие
.pdf
111
A
m
N
M
D 
B
Рис. 7.2. Построение эллипса
Пусть коника задаётся осью симметрии s, вершиной А и точкой В (рис. 7.3). Для однозначного задания необходимо выбрать ещё одну точку на оси. Обозначим её С.
|
В |
|
|
M |
|
А |
С |
s |
|
O |
|
Рис. 7.3. Построение коники
Построение следующее. На точках А и В, как на противоположных вершинах, строится прямоугольник. Стороны, прилегающие к вершине В, делятся на одинаковое число равных частей. Точка М коники строится как точка пересечения соответственных лучей, исходящих из точек А и С. В зависимости от положения точки С могут получаться эллипсы, парабола и гиперболы.
111
112
7.2. Способы построения эллипса
Первый способ. Пусть будет задан центр эллипса и две его оси. Способ построения можно назвать способом двух концентрических окружностей. Окружности строятся на осях как на диаметрах (см. рис. 2.13).
Второй способ. Способ восьми точек описан во второй главе (см. рис. 2.15). Восемь точек – это тот необходимый минимум, который позволяет построить эллипс достаточно точно. Для задач построения изображений такой точности вполне достаточно. Если же требуется изобразить достаточно большой эллипс, то число точек можно увеличить до шестнадцати, тридцати двух и более.
Третий способ. Способ проективных пучков. Для его реализации должен быть задан центр эллипса и его оси (рис. 7.4). На осях строится прямоугольник. Дальнейшие построения аналогичны построению на рисунке 7.3. Проективными пучками являются пучки прямых с центрами в точках А и В. Число точек при необходимости можно увеличить.
4 |
3 |
2 |
1 |
0 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
3 |
А |
|
|
|
В |
|
|
|
|
4 |
|
Рис. 7.4. Способ проективных пучков |
|||
Четвёртый способ. Это тоже способ проективных пучков, но для его реализации должен быть задан центр эллипса и его сопряженные диаметры AB и CD (рис. 7.5).
112
113
C
А
В
D
Рис. 7.5. Способ проективных пучков (сопряженные диаметры)
Этот способ абсолютно аналогичен предыдущему, поэтому его описание не приводится.
7.3. Построение винтовых линий и спиралей
Винтовые линии и спирали широко используются в дизайне. Они могут быть декоративными оформлениями, а могут быть элементами конструкций – винтовые лестницы, колонны. Винтовая линия (гелиса) – это пространственная кривая, образованная точкой, которая совершает винтовое движение, т. е. движется поступательно вдоль некоторой оси, одновременно вращается вокруг этой оси и одновременно движется в направлении, перпендикулярном этой же оси. Винтовая поверхность (геликоид) – это поверхность, образованная ка- кой-либо линией, совершающей такое же движение. Таким образом, винтовая линия может быть построена на любой поверхности вращения.
Рассмотрим построение винтовой линии на конусе, используя комплексный чертёж (рис. 7.6).
Построение следующее. Высота конуса делится на определённое число равных частей. Для удобства лучше делить на 8, 12, 16, 24, … частей. Через точки деления проводятся параллели конуса – окружности, которые затем строятся на другой проекции. Круг основания конуса делится на такое же число одинаковых секторов лучами, исходящими из центра. Нумерация параллелей и лучей может начинаться с любого места, но обязательно должна быть последовательной. Точ-
113
114
ки пересечения параллелей и лучей с одинаковыми номерами есть точки конической винтовой линии. Одна из её проекций является за-
тухающей синусоидой, а другая – спиралью Архимеда.
Аналогично строится винтовая линия на любой поверхности вращения.
8
7
6
5
4
3
2
1
0
1
0
8
7
6
3
4
5
Рис. 7.6. Коническая винтовая линия
Рассмотрим построение винтовой линии на торе. Тор, или поверхность кругового кольца, образуется вращением окружности вокруг оси, лежащей в её плоскости и не проходящей через центр. Примерами торов являются автомобильная или велосипедная камера,
114
115
бублик, деревянная бочка и т. п. Если вращается не окружность, а другая кривая, то поверхность называется тороидом. Примерами тороидов являются мяч для регби, спасательный круг – эллиптические тороиды.
Пусть на комплексном чертеже задана четверть тора (рис. 7.7). Построим один виток винтовой линии на нём. Для этого разделим окружность основания тора на 8 (12, 16, 24, …) равных частей и на столько же равных частей разделим заданную четверть тора.
Рис. 7.7. Винтовая линия на торе |
115
116
Через точки деления окружности основания проведем параллели тора. Пронумеруем параллели тора и образующие окружности деления четверти тора последовательно (на рисунке не показано). Точки пересечения одинаково пронумерованных параллелей тора и его образующих окружностей есть точки винтовой линии.
Существует бесконечно много разнообразных видов спиралей, имеющих единый закон образования. Но существуют спирали, у которых каждый виток или часть витка могут иметь разные законы образования. Такие спирали и такие кривые линии называются составными. Простейшими из них являются те, у которых каждая часть представляет собой дугу окружности.
На рисунке 7.8 приведена спираль, у которой каждая четверть витка состоит из дуги окружности разного радиуса. Квадраты, в которые вписаны дуги окружностей, соотносятся друг с другом по закону золотого сечения. Изменение закона соотношения размеров квадратов приведёт к изменению вида спирали.
Рис. 7.8. Спираль из дуг окружностей |
Рис. 7.9. Плоская кривая |
На рисунке 7.9 показана плоская кривая, состоящая из тех же дуг окружностей, что и спираль на рисунке 7.8. Те же самые квадраты просто расположены в другом порядке. Различные комбинации расположения квадратов приводят к кривым другого вида.
Если заменить квадраты на прямоугольники, дуги окружностей – на дуги эллипсов, парабол, гипербол или других плоских кривых, то количество создаваемых кривых типа спиралей или орнаментов будет стремиться к бесконечности.
116
117
7.4. Построение поверхностей
Поверхностью канала постоянного диаметра называется поверхность, огибающая множество сфер одинакового диаметра, центры которых располагаются на заданной плоской или пространственной кривой – линии центров поверхности. Если линия центров имеет форму окружности, то поверхность будет тором или круговым кольцом. Если линия центров имеет форму винтовой линии, то поверхность будет винтовой. Поверхности винтовых торов имеют пружины или трубы-змеевики.
Построение изображения таких поверхностей заключается в следующем:
–строится изображение линии центров;
–на линии центров выбираются произвольные точки;
–выбранные точки принимаются за центры сфер заданного радиуса и строятся сферы;
–достаточное количество сфер позволяет построить их огибающую, которая и будет изображением очерка поверхности.
На рисунке 7.10 приведен пример изображения тора на комплексном чертеже и в аксонометрии.
Рис. 7.10. Изображения тора и построение его очерка
117
118
Поверхности, несущие семейство окружностей постоянного или переменного радиуса, называются циклическими поверхностями. Если плоскости окружностей перпендикулярны линии центров, то поверхность называется трубчатой. Если плоскости окружностей параллельны какой-либо плоскости, то такие поверхности называются поверхностями с плоскостью параллелизма. Примерами циклических поверхностей являются тор, цилиндр, конус, любые поверхности вращения.
Рассмотрим построение циклической поверхности с образующей окружностью постоянного радиуса, плоскостью параллелизма – горизонтальной плоскостью и линией центров – параболой. Плоскость параболы параллельна фронтальной плоскости комплексного чертежа.
Построение очерка поверхности на комплексном чертеже не вызывает никаких трудностей. Можно построить достаточное количество образующих, которые проецируются на плоскости проекций без искажения, и обвести граничные точки плавной кривой (рис. 7.11).
Рис. 7.11. Построение циклической поверхности
Построение аксонометрического изображения потребует построения такого же количества эллипсов и затем построения их огибающей линии. В данном случае задача облегчается тем, что все эллипсы конгруэнтны.
118
119
Выводы
Любая кривая второго порядка (коника) определяется пятью условиями. Комбинацией этих условий можно получить множество способов построения кривых. Приведённые способы – это только их малая часть, которая используется наиболее часто.
То же самое относится к винтовым линиям и спиралям. Винтовые линии можно строить на любой поверхности вращения. Шаг винтовой линии можно делать переменным. Огромное разнообразие винтовых линий не позволяет рассмотреть все способы их построения.
Построение циклических поверхностей основывается на пространственном движении окружности, радиус которой меняется или остаётся постоянным в процессе движения. Таким способом получаются цилиндры, конусы, поверхности вращения и другие поверхности. Построение изображений циклических поверхностей основано на методе построения изображений множества окружностей, образующих поверхность.
Контрольные вопросы
1.Какие линии называются кониками?
2.Какими элементами можно задать конику?
3.Какая кривая называется эллипсом?
4.Какая кривая называется параболой?
5.Какая кривая называется гиперболой?
6.Почему кривые второго порядка называют коническими сечениями?
7.Какие пучки прямых называются проективными?
8.Какая линия называется винтовой?
9.На каких поверхностях можно строить винтовые линии?
10.Какая поверхность называется винтовой?
11.Какая поверхность называется тором?
12.Какая поверхность называется циклической?
13.Каким способом можно построить изображение циклической поверхности?
14.Какие кривые могут служить основой для построения плоских спи-
ралей?
119
120
Задачи
7.1. Построить два витка винтовой линии на цилиндре: а) на комплексном чертеже;
б) в аксонометрии (ортогональная приведенная изометрия); в) в перспективе.
7.2. Построить два витка винтовой линии на сфере: а) на комплексном чертеже;
б) в аксонометрии (ортогональная приведенная изометрия).
7.3. Построить два витка винтовой линии на эллиптическом цилиндре: а) на комплексном чертеже; б) в аксонометрии (ортогональная приведенная изометрия).
7.4. Построить два витка винтовой линии на эллиптическом конусе: а) на комплексном чертеже; б) в аксонометрии (ортогональная приведенная изометрия).
7.5. Пользуясь рисунком 7.8, как исходным, комбинируя расположения квадратов, построить на его основе столько плоских кривых, сколько позволит фантазия.
7.6. Построить аксонометрическое изображение одного витка винтового
тора.
7.7. Построить два витка винтовой линии на поверхности кувшина (очерк поверхности кувшина задать произвольно):
а) на комплексном чертеже; б) в аксонометрии (ортогональная приведенная изометрия); в) в перспективе.
7.8. Построить два витка винтовой поверхности, выбрав в качестве образующей отрезок прямой линии. Один из концов отрезка движется по оси поверхности, а сам отрезок перпендикулярен оси. Длину отрезка выбрать произвольно. Построение выполнить:
а) на комплексном чертеже; б) в аксонометрии (ортогональная приведенная изометрия); в) в перспективе.
7.9. Построить два витка винтовой поверхности, выбрав в качестве образующей отрезок прямой линии. Один из концов отрезка движется по оси поверхности, а сам отрезок расположен под углом 450 к оси. Длину отрезка выбрать произвольно. Построение выполнить:
а) на комплексном чертеже; б) в аксонометрии (ортогональная приведенная изометрия); в) в перспективе.
7.10. Построить два витка винтовой поверхности, выбрав в качестве образующей отрезок прямой линии. Один из концов отрезка движется по винтовой линии, расположенной на цилиндре, а сам отрезок расположен под углом 900 к оси и по касательной к цилиндру. Длину отрезка выбрать произвольно. Построение выполнить:
120