Технический рисунок и начертательная геометрия. Учебное пособие

41

D P

b D

A B

C

Рис. 2.16. Цилиндр, стоящий на предметной плоскости

Нижнее основание цилиндра – окружность ABCD, построенная по методу восьми точек. Точно так же может быть построено и верхнее основание. Но проще каждую точку нижнего основания поднять на высоту b, которую можно отложить только в картинной плоскости. Отрезок b показан фигурной скобкой. По мере удаления от картинной плоскости отрезок b искажается. Эти искажения линейные. Построение осуществляется при помощи линейки. После этого строится окружность верхнего основания. Боковые очерковые образующие цилиндра не показаны. Реалистичность изображения достигается выбором дистанционной точки D на линии горизонта.

Если цилиндр был бы эллиптическим, то верхнее основание было бы смещено в сторону относительно нижнего. Если было бы нужно изобразить конус, то вместо верхнего основания была бы точка – вершина конуса. На рисунке 2.17а приведено изображение такого же цилиндра в изометрии, а на рисунке 2.1б – на комплексном чертеже.

В качестве примера рассмотрим построение перспективного изображения арочной конструкции в виде цилиндров, расположенных перпендикулярно картинной плоскости (рис. 2.18). Окружности оснований цилиндров не искажены и отличаются только величиной радиусов. Высота линии горизонта h примерно соответствует росту человека.

41

42

Рис. 2.17. Изображение вертикального цилиндра: а – в изометрии; б – на комплексном чертеже

42

43

Это самое простое перспективное изображение. Простота построения достигается простотой взаимосвязи элементов перспективы

– точки зрения, картинной плоскости, линии горизонта. Дистанционная точка не показана, но если её положение на линии горизонта окажется неудачным, то изображение арки получится сжатым или слишком вытянутым в глубину.

2.5. Окружности в проецирующих плоскостях

Рассмотрим построение ортогональной приведенной изометрии окружности, лежащей в проецирующей плоскости. Предположим, что плоскость горизонтально проецирующая (рис. 2.19).

z

S

O

B

C A D

x A1 y

B1

O1 S4

Рис. 2.19. Построение окружности в проецирующей плоскости

В произвольном месте горизонтальной плоскости Oxy проведем прямую CD перпендикулярно оси Oz. Прямую CD можно считать ос-

43

44

нованием картинной плоскости, а плоскость Oxy можно считать предметной плоскостью. Выполним поворот горизонтальной плоскости Oxy вокруг прямой CD до совпадения с картинной плоскостью. Поворот аналогичен тому, какой показан на рисунке 2.15. Начало координат О перейдет в точку О1, расположенную на продолжении оси Oz, и при этом прямая O1C будет перпендикулярна прямой O1D. Горизонтальный след АВ проецирующей плоскости повернется в прямую A1B1, а сама проецирующая плоскость окажется перпендикулярной картине, и её проекция будет совпадать с прямой A1B1.

Выполним еще один поворот проецирующей плоскости вокруг следа A1B1 до совмещения её с картинной плоскостью. Для этого из точек A1, B1 и других восстанавливаем перпендикуляры к следу A1B1. В проецирующей плоскости, совмещенной с картинной плоскостью, строим окружность с центром S4 и заданного диаметра. После этого центр окружности и точки окружности обратным построением по линиям связи переносим на проецирующую плоскость в первоначальную изометрическую проекцию. При этом расстояния от центра S4 и от точек окружности до следа A1B1 должны быть равны расстояниям от следа АВ до центра S и до точек эллипса, изображающего искомую окружность. На рисунке показано построение двух точек (выделены толстыми линиями) и точек пересечения окружности с её осями.

Необходимо иметь в виду, что это не единственное построение окружности, лежащей в проецирующей плоскости. Существуют и другие способы.

Рассмотрим эту же задачу в перспективе (рис. 2.20). Применим тот же способ поворота предметной плоскости вокруг основания картины, что и на рисунке 2.15. Ось Oy перейдет в ось Oy1 и предметная плоскость совпадет с картинной плоскостью. Горизонтальный след АВ проецирующей плоскости перейдет в след А1В1. Построение выполнено при помощи переноса точки В на основание картины из дистанционной точки, а затем переноса её по дуге окружности на ось Oy1. Точка А остаётся на своем месте и совпадает с точкой А1. Теперь данная проецирующая плоскость перпендикулярна картине и определяется своим следом А1В1.

Повернем её вокруг следа А1В1 до совмещения с картинной плоскостью. Это означает, что все вертикали плоскости будут перпендикулярны её следу А1В1. Проведем из заданного центра окружность заданного радиуса. Теперь необходимо обратными построениями по линиям связи вернуть окружность в первоначально заданную проецирующую плоскость. Показано построение двух произвольных точек

44

Кроме этих двух точек показано построение точек пересечения окружности с её осями, но эти точки не обозначены.

45

46

Изображением окружности в перспективе будет эллипс, центр которого не совпадает с перспективной проекцией центра заданной окружности. Если заданная плоскость будет профильно проецирующей, то все построения выполняются аналогично, но с той разницей, что поворот нужно будет выполнять вокруг оси Oz.

И снова надо иметь в виду, что это не единственный способ построения эллипса, изображающего окружность в перспективе.

Выводы

Прямые, плоскости и другие простейшие фигуры во всех описанных методах изображаются с одинаковым уровнем сложности. Аксонометрические и перспективные изображения обладают большей наглядностью по сравнению с комплексным.

Окружности общего положения изображаются эллипсами, построение которых в перспективе гораздо сложнее, чем в аксонометрии. Однако построение окружностей имеет большое значение, так как они являются основаниями конусов и цилиндров вращения. Существует множество способов построения изображения окружности. Наиболее простой способ – способ построения эллипса как ортогональной проекции окружности. Этот способ чаще реализуется на комплексном чертеже.

Контрольные вопросы

1.Какими условиями задаётся прямая?

2.Какие прямые называются прямыми уровня?

3.Какие прямые называются проецирующими?

4.Какие прямые называются прямыми общего положения?

5.Какие фигуры называются фигурами частного положения?

6.Что называется следами прямых, плоскостей?

7.Какие плоскости называются плоскостями уровня?

8.Какие плоскости называются проецирующими?

9.Какие плоскости называются плоскостями общего положения?

10.В чём заключается способ описанного квадрата?

11.Для какой цели применяется способ восьми точек?

12.Какой конус (цилиндр) называется конусом (цилиндром) вращения?

13.Какой конус (цилиндр) называется эллиптическим?

14.Что является ортогональной проекцией окружности общего положения на плоскости?

15.В чём заключается способ построения эллипса по большой и малой оси?

46

47

Задачи

2.1.Построить изображения вертикального цилиндра диаметром 60 мм, высотой 120 мм

а) во фронтальной изометрии; б) в ортогональной приведенной диметрии; в) в горизонтальной изометрии.

2.2.Построить изображения вертикального конуса с диаметром основания 60 мм, высотой 120 мм

а) во фронтальной изометрии; б) в ортогональной приведенной диметрии; в) в горизонтальной изометрии.

2.3.Построить изображения сферы диаметром 60 мм

а) во фронтальной изометрии; б) в ортогональной приведенной диметрии; в) в горизонтальной изометрии.

2.4.Построить ортогональную приведенную изометрию цилиндра враще-

ния диаметром 60 мм, высотой 120 мм, лежащего на горизонтальной плоскости под углом 300 к фронтальной плоскости.

2.5.Построить ортогональную приведенную изометрию конуса вращения с диаметром основания 60 мм, высотой 120 мм, лежащего на боку на горизонтальной плоскости. Ось конуса параллельна фронтальной плоскости.

2.6.Построить ортогональную приведенную изометрию конуса с диаметром основания 60 мм, высотой 120 мм, лежащего на боку на горизонтальной плоскости и своей боковой образующей касающегося фронтальной плоскости.

2.7.Построить перспективное изображение окружности диаметром 80 мм с центром в точке (50, 50, 0), если она лежит:

а) в горизонтальной (предметной) плоскости;

б) в профильной плоскости; в) в вертикальной плоскости, наклоненной под углом 450 к картинной плос-

кости;

г) в профильно проецирующей плоскости, наклоненной к картинной под углом 450;

д) во фронтально проецирующей плоскости, наклоненной к предметной плоскости под углом 450.

2.8.Построить перспективное изображение цилиндра вращения диаметром 80 мм, лежащего на предметной плоскости под углом 300 к картинной плоскости

икасающегося основанием картинной и профильной плоскостей.

2.9.Построить перспективное изображение цилиндра вращения диаметром 80 мм, касающегося своей боковой образующей профильной плоскости, своим

основанием касающегося предметной и картинной плоскостей и наклоненного к предметной плоскости на 300.

47

48

3. ПОЗИЦИОННЫЕ ЗАДАЧИ

Позиционные задачи – это задачи на построение точек и линий пересечения геометрических фигур [1, с. 35]. Основной позиционной задачей является задача на построение точки пересечения прямой и плоскости (поверхности). Вторая позиционная задача – это построение линии пересечения двух поверхностей. Решение позиционных задач возможно только на позиционно определенных чертежах, то есть на чертежах, на которых имеются две какие-либо проекции одной и той же фигуры. Рассмотрим решение этих задач в порядке возрастания сложности.

3.1. Пересечение прямой и плоскости

На рисунке 3.1 показано решение задачи на построение точки пересечения горизонтально проецирующей плоскости с прямой общего положения. Использована фронтальная изометрия и комплексный чертеж. Плоскость задана треугольником и одновременно следами. Построения как такового нет, так как точка пересечения уже имеется на вырожденной проекции плоскости. Осталось только перенести её по линии связи на вторую проекцию и указать видимость прямой относительно плоскости.

б

а

Рис. 3.1. Пересечение горизонтально проецирующей плоскости с прямой

48

49

На рисунке 3.2 показано построение точки пересечения плоскости CDE общего положения и прямой общего положения. Рассуждаем следующим образом. Представим, что в плоскости лежит прямая MN, горизонтальная проекция M1N1 которой совпадает с горизонтальной проекцией прямой. Точка M1 лежит на прямой C1E1, поэтому точку M находим на прямой CE (рис. 3.2а) (M2 на C2E2 (рис. 3.2б)) при помощи линии связи, параллельной оси Oz. Точка N1 лежит на прямой D1E1, поэтому точку N находим на прямой DE (N2 на C2E2) при помощи их линии связи, параллельной оси Oz. Точки M и N (M2 и N2) определяют прямую MN (M2N2), лежащую в плоскости CDE. Пересечение прямой MN с заданной прямой (M2N2 с фронтальной проекцией заданной прямой) и есть искомая точка.

Рис. 3.2. Пересечение прямой и плоскости общего положения

На рисунке 3.3 приведено решение этой же задачи в перспективе. Плоскость общего положения задана следами. Задача решена двумя способами. В первом способе в заданной плоскости выбрана прямая, перспективная проекция которой совпадает с заданной прямой. Во втором – через горизонтальную проекцию прямой проведена вертикальная плоскость.

49

Оба способа приводят к одному и тому же результату. Однако способ с вертикальной плоскостью представляется более простым.

3.2. Пересечение прямой с цилиндром и конусом

Предположим, что цилиндр является проецирующим, то есть все его образующие перпендикулярны координатной плоскости или плоскости проекций. Если образующие цилиндра перпендикулярны какой-либо плоскости, то его проекция на эту плоскость является вырожденной и представляет собой линию (в частности – окружность).

На рисунке 3.4 показан горизонтально проецирующий цилиндр и найдены точки пересечения с прямой общего положения. Построение заключается в том, что точки пересечения переносятся с вырожденной проекции на невырожденную. Ни конус, ни сфера проецирующими быть не могут. Поэтому для построения точек пересечения прямой с такими поверхностями, как и с любыми сложными поверхностями, применяются специальные методы, к которым можно отнести метод вспомогательных плоскостей.

50