Технический рисунок и начертательная геометрия. Учебное пособие

61

Для построения точек линии пересечения на фронтальной проекции конуса выбираются произвольные проекции окружностей (их радиусы отмечены фигурными скобками). Эти окружности можно рассматривать как образующие конуса, перпендикулярные его оси или как параллельные его основанию. Но можно их рассматривать и как линии пересечения конуса с горизонтальными вспомогательными плоскостями. На горизонтальной проекции эти окружности строятся без искажения. Точки пересечения фронтальных проекций окружностей с фронтальной проекцией цилиндра переносятся на соответствующие горизонтальные проекции окружностей. Достаточное количество точек пересечения позволяет построить линию пересечения конуса и цилиндра.

Аналогично решается задача построения линии пересечения конуса и сферы (рис. 3.13).

Рис. 3.13. Пересечение конуса и сферы на комплексном чертеже

61

62

Вотличие от предыдущей на каждой вспомогательной плоскости образуются две окружности – окружность на конусе и окружность на сфере. Их радиусы отмечены фигурными скобками на фронтальной проекции. На горизонтальной проекции две окружности, расположенные в одной вспомогательной плоскости пересекаются не более чем в двух точках. Эти точки принадлежат искомой линии пересечения и их необходимо вернуть на фронтальную проекцию, на ту вспомогательную плоскость, на которой лежат окружности.

Внекоторых случаях вместо вспомогательных плоскостей можно использовать вспомогательные сферы. Для таких случаев необходимо выполнение следующих условий:

1) обе данные поверхности должны быть поверхностями враще-

ния;

2) обе поверхности должны иметь общую плоскость симметрии;

3) их общая плоскость симметрии должна быть параллельна плоскости проекций (плоскости изображения).

На рисунке 3.14 показано использование вспомогательных сфер для построения линии пересечения конуса с цилиндром, а на рисунке

3.15– конуса со сферой.

Рис. 3.14. Пересечение конуса с цилиндром (фронтальная проекция)

Центр всех вспомогательных сфер единственный и всегда располагается в точке пересечения осей поверхностей. Поэтому этот метод называется методом концентрических сфер. Сфера минимально-

62

63

го радиуса – это наибольшая из двух сфер, вписанных в одну и в другую поверхность. Остальные сферы произвольного радиуса. Каждая сфера пересекает поверхности по окружностям. На проекции эти окружности выглядят отрезками прямых, перпендикулярных осям поверхностей. Точки пересечения окружностей, лежащих на одной сфере, есть точки искомой линии пересечения. Вопроса о видимости линии пересечения не возникает, так как видимая и невидимая ветви кривой пересечения совпадают в проекции.

Рис. 3.15. Пересечение конуса со сферой (фронтальная проекция)

При построении методом концентрических сфер линии пересечения поверхности вращения общего вида со сферой центр вспомогательных сфер можно выбирать в любом месте на оси поверхности вращения и даже не в одном и том же, а в разных. На рисунке 3.15 этот центр выбран в вершине конуса. Вспомогательная сфера произвольного радиуса пересекает конус по окружности, перпендикулярной оси конуса (на проекции окружность выглядит отрезком прямой). Эта же сфера пересекает заданную сферу по окружности, которая выглядит отрезком прямой, проходящей через точки пересечения проекций вспомогательной и данной сфер. Точки пересечения окружностей (отрезков), лежащих на одной и той же вспомогательной сфере, есть точки искомой линии пересечения.

63

64

Выводы

Построение точки пересечения прямой и плоскости проще всего выполняется на комплексном чертеже. Для построения используется способ вспомогательной плоскости, чаще всего частного положения. На аксонометрических и перспективных чертежах алгоритм построения остаётся таким же, но реализация немного сложнее.

Это же относится к построению точек пересечения прямой с конусом и цилиндром. Особенно просто такая задача решается для проецирующих цилиндров.

Линия пересечения многогранников строится по точкам пересечения рёбер одного многогранника с гранями другого и наоборот. Эта задача сводится к многократному повторению задачи на построение точки пересечения прямой и плоскости.

Пересечение конусов, цилиндров с сфер друг с другом предпочтительно строить на комплексном чертеже. Для этого существуют методы вспомогательных плоскостей и вспомогательных сфер. Построенную линию пересечения можно перенести на аксонометрический или перспективный чертёж по точкам.

Контрольные вопросы

1.Какие задачи относятся к позиционным?

2.В чём заключается способ построения точки пересечения прямой и плос-

кости?

3.Какие плоскости выбираются в качестве вспомогательных при построении точки пересечения?

4.Почему построение точек пересечения на комплексном чертеже проще, чем в аксонометрии?

5.Какие линии являются линиями пересечения многогранника и плоско-

сти?

6.Какие плоскости можно выбирать в качестве вспомогательных при построении линии пересечения двух конусов?

7.В чём заключается метод вспомогательных сфер?

8.Как проще построить перспективное изображение линии пересечения двух кривых поверхностей?

9.Почему метод вспомогательных сфер реализуется только на комплексном чертеже?

10.Можно ли применить метод вспомогательных плоскостей на перспективном чертеже?

64

65

Задачи

Взадачах 3.1–3.4 заданные фигуры имеют общую плоскость симметрии, параллельную фронтальной плоскости проекций. Задачи решаются на комплексном чертеже. Построить линию пересечения.

3.1. Вертикальный цилиндр диаметром 60 мм и горизонтальный цилиндр диаметром 40 мм.

3.2. Вертикально стоящий конус высотой 120 мм и диаметром основания 100 мм. Вертикально стоящий цилиндр высотой 60 мм и диаметром 50 мм. Ось цилиндра сдвинута на 25 мм вправо относительно оси конуса.

3.3. Вертикально стоящий конус высотой 120 мм и диаметром основания 100 мм. Сфера диаметром 70 мм. Центр сферы расположен выше центра основания конуса на 40 мм и правее на 30 мм.

3.4. Левая верхняя четверть тора с образующей окружностью диаметром 50

мми окружностью центров радиусом 70 мм. Вертикальный цилиндр диаметром 50 мм с осью, удаленной от центра тора на 60 мм влево.

Взадачах 3.5–3.7 фигура, состоящая из двух поверхностей, не имеет общей плоскости симметрии. Построить линию пересечения.

3.5. Вертикальный цилиндр диаметром 60 мм и такой же горизонтальный, расположенный посередине первого, но с осью, смещённой от оси первого цилиндра вперёд на 10 мм.

3.6. Вертикально стоящий конус высотой 120 мм и диаметром основания 100 мм и горизонтальный цилиндр диаметром 60 мм, ось которого смещена вперёд на 10 мм от оси конуса.

3.7. Левая верхняя четверть тора с образующей окружностью диаметром 50

мми окружностью центров радиусом 70 мм. Вертикальный цилиндр диаметром 50 мм с осью, удаленной от центра тора на 60 мм влево и на 10 мм вперёд.

3.8. Левая верхняя четверть тора с образующей окружностью диаметром 50

мми окружностью центров радиусом 70 мм. Вертикальный конус диаметром основания 50 мм с осью, удаленной от центра тора на 60 мм влево и на 10 мм вперёд.

3.9. Левая верхняя четверть тора с образующей окружностью диаметром 50

мми окружностью центров радиусом 70 мм. Сфера диаметром 50 мм с центром, удаленным от центра тора на 60 мм влево и на 10 мм вперёд.

3.10. Выполнить задачу 3.1 в изометрии.

3.11. Выполнить задачу 3.2 в изометрии.

3.12. Выполнить задачу 3.5 в изометрии.

3.13. Выполнить задачу 3.6 в изометрии.

3.14. Выполнить задачу 3.1 в перспективе.

3.15. Выполнить задачу 3.2 в перспективе.

3.16. Выполнить задачу 3.5 в перспективе.

3.17. Выполнить задачу 3.6 в перспективе.

65

66

4. МЕТРИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ

Метрические задачи – это задачи на определение метрических параметров фигуры или нескольких фигур – расстояний, углов, площадей [1, с. 45]. Решение метрических задач возможно только на позиционно и метрически определенных чертежах. Сложность графического решения метрических задач зависит от применяемого метода изображения. Проще всего метрические задачи решаются на комплексном чертеже, сложнее – в аксонометрии и достаточно сложно в перспективе.

К основным метрическим задачам можно отнести две:

– определение расстояния между двумя точками (длины отрезка прямой);

– определение угла между двумя пересекающимися прямыми.

К вспомогательным метрическим задачам относится задачи построения прямых, перпендикулярных данной прямой или данной плоскости.

4.1. Перпендикулярность прямых и плоскостей

Условие перпендикулярности прямой и плоскости следующее:

прямая перпендикулярна плоскости, если она перпендикулярна двум пересекающимся прямым этой плоскости. Вопрос заключа-

ется в том, как реализовать это условие на чертеже. Для этого используется следующая теорема: для того чтобы ортогональной проекцией на плоскость прямого угла являлся прямой угол, необходимо и достаточно, чтобы одна из его сторон была параллельна плоскости проекций, а вторая сторона – не перпендикулярна плоскости проекций. Соответствующая конструкция приведена на рисунке 4.1. На ней прямые b и c перпендикулярны прямой a. При этом прямая b пересекает прямую a, прямая c скрещивается с прямой a. То есть, чтобы две прямые были перпендикулярны, не обязательно, чтобы они пересекались.

Пусть дана плоскость общего положения и точка в ней. Требуется из данной точки восстановить перпендикуляр к данной плоскости. Воспользуемся комплексным чертежом (рис. 4.2). Плоскость задана следами h0, f0, которые называются нулевой горизонталью и нулевой фронталью. Горизонталь плоскости h(h1, h2) и фронталь плоскости f(f1, f2) проходят через данную точку A(A1, A2). При этом фронтальная проекция фронтали параллельна фронтальному следу плоскости, а го-

66

67

ризонтальная проекция горизонтали параллельна горизонтальному следу плоскости. Фронтальная проекция горизонтали и горизонтальная проекция фронтали параллельны оси проекций. Осталось восстановить перпендикуляр. Для этого проводятся его проекции: p1 перпендикулярна h1, p2 перпендикулярна f2. Заметим, что точка А не обязательно должна лежать в плоскости. Она может быть в любом месте пространства.

c

b a

a1

b1 = c1

Рис. 4.1. Проекция прямого угла

h2

A2

A1 f1

h1

p1

h0

Рис. 4.2. Перпендикуляр к плоскости, заданной следами

67

68

Рассмотрим решение этой же задачи на аксонометрическом чертеже. Воспользуемся фронтальной изометрией. Пусть плоскость общего положения задана треугольником следов ABC (рис. 4.3). Пусть требуется опустить перпендикуляр на плоскость из точки О. Перпендикуляр, как любая другая прямая, определяется двумя проекциями, которые должны быть перпендикулярны следам плоскости. Фронтальная проекция p2 перпендикуляра должна быть перпендикулярна следу AB, и её можно провести сразу через точку О, если помнить, что во фронтальной изометрии фронтальная проекция не искажается. Точку пересечения со следом обозначим E.

Для построения горизонтальной проекции перпендикуляра необходимо сначала устранить искажение горизонтальной проекции плоскости. Для этого выполним уже не раз встречавшийся поворот горизонтальной плоскости OAC вокруг оси OA до совпадения с плоскостью OAB. Для этого отложим отрезок OC от точки O на продолжении прямой OB. Получим отрезок OC/.

p2 p

B

E

A

O

D

D/

p1 C

p/

C/

Рис. 4.3. Перпендикуляр к плоскости в аксонометрии

68

69

Прямая p/ перпендикулярна прямой AC/. Точка D/ возвращается на след AC в точку D по направлению C/C. Прямая OD есть горизонтальная проекция p1 перпендикуляра. Прямые EC и DB в пересечении определяют основание перпендикуляра p. Заметим, что перпендикуляр p определяет не единственную прямую, а перпендикулярное направление. Это означает, что в любой другой точке, перпендикуляр будет направлен параллельно прямой p.

Если используется ортогональная изометрия или диметрия, в которых искажены все три проекции, то аналогичное устранение искажений нужно выполнить для двух проекций.

Рассмотрим эту же задачу на перспективном чертеже (рис. 4.4). Сразу же укажем, что дистанционную точку можно отметить не только слева от главной точки картины, но и справа от неё. Дистанционную точку можно отметить на главной вертикали вверх и вниз от главной точки P. Таким образом, получим по крайней мере четыре дистанционные точки D1, D2, D3, D4, расположенные на одинаковом расстоянии от главной точки P.

Для проведения перпендикуляра из точки О на плоскость АВС необходимо построить его проекции – перпендикуляры из точки О на следы АВ, АС и ВС плоскости. Проведение перпендикуляра p2 к следу АС в картинной плоскости осуществляется непосредственно, без всяких дополнительных построений, так как изображение на картинной плоскости не имеет искажений.

Построение перпендикуляра к следу ВС осуществляется любым из двух способов.

Способ первый. Из точки D1 точка В проецируется на основание картины k, а затем под углом 450 переносится на ось Oz. Будет получена точка B/. Отрезок B/C – это отрезок ВС, развернутый вместе с предметной плоскостью на картинную плоскость вокруг основания картины k. Теперь перпендикуляр из точки О на отрезок B/C строится непосредственно. Основание перпендикуляра переносится под углом 450 обратно на основание картины, а затем с помощью точки D1 – на след ВС.

Способ второй. След ВС продолжается до пересечения с линией горизонта h. Полученная точка соединяется с дистанционной точкой D3 и к полученному отрезку в точке D3 восстанавливается перпендикуляр, который продолжается до пересечения с линией h. Эта точка на h определяет в предметной плоскости направление, перпендикулярное следу ВС. Поэтому эту точку необходимо соединить с точкой О и отметить пересечение с ВС.

69

70