Технический рисунок и начертательная геометрия. Учебное пособие

11

чае, когда плоскость треугольника ABC параллельна плоскости проекций. Вторая особенность – при предварительно заданном образе – треугольнике A/B/C/ – определить оригинал, т. е. треугольник ABC, в пространстве невозможно. То есть любой треугольник, вершины которого расположены на проецирующих лучах, будет давать одну и ту же проекцию. Или, другими словами, операция проецирования не является обратимой. И третья особенность – если оригиналом являются две параллельные прямые, то их образом при центральном проецировании являются две пересекающиеся прямые, а при параллельном проецировании – две параллельные прямые. Это означает, что параллельность есть инвариант параллельного проецирования.

1.2. Аксонометрические изображения

Аксонометрический метод изображения рассмотрим на примере изображения куба. Куб можно изобразить так, чтобы на проекции были видны одна (проекцией будет квадрат), две (проекцией будет прямоугольник) или три грани (проекцией будет неправильный шестиугольник). Соответственно, будут видны четыре, семь или девять ребер. Очевидно, что последний вариант изображения будет наиболее наглядным.

Если аксонометрия строится на основе ортогонального проецирования, то она называется прямоугольной. Если на основе параллельного проецирования, то она называется косоугольной.

Предположим, что для изображения используется ортогональное проецирование. Тогда в первом варианте изображения куба его грань будет параллельна плоскости проекций и все четыре видимых ребра куба будут изображаться без искажения. Во втором варианте изображения три ребра куба, параллельные плоскости проекций, будут изображаться без искажений, а остальные четыре будут искажаться в сторону уменьшения. Наконец, в третьем варианте все девять ребер будут искажаться в сторону уменьшения.

Искажения длин ребер можно учесть при помощи коэффициентов искажения, обозначаемых u, v, w. Это числа, показывающие, в каком отношении изменяются длины отрезков, параллельных трем перпендикулярным ребрам куба. В прямоугольной аксонометрии 0 u 1, 0 v 1, 0 w 1. В первом варианте изображения можно счи-

тать u = 0, v = w = 1. Во втором 0 < u < 1, 0 < v < 1, w = 1. В косо-

угольной аксонометрии значения коэффициентов искажения могут

11

12

быть больше единицы, т. е. образ будет искажаться в сторону увеличения длины.

Втеории построения аксонометрических проекций существует теорема Польке, которую, применительно к кубу, можно сформулировать следующим образом. В косоугольной аксонометрии три отрезка произвольной длины, выходящие из одной точки под произвольными углами друг к другу, можно принять за аксонометрические проекции трех смежных ребер куба.

Из этой теоремы следует, что существует бесконечно много аксонометрических изображений. Все они отличаются значениями коэффициентов искажения.

Взависимости от соотношения коэффициентов искажения аксонометрические проекции подразделяются:

1) на триметрические (триметрии), когда все три коэффициента искажения различны;

2) диметрические (диметрии), когда какие-либо два коэффициента искажения равны между собой, а третий отличается от них;

3) изометрические (изометрии), когда все три коэффициента искажения равны.

Впрямоугольной аксонометрии коэффициенты искажения связаны зависимостью u2 + v2 + w2 = 2. Из этого уравнения можно определить значения коэффициентов искажения для прямоугольной изо-

метрии: 3u2 = 2, откуда u 0,82. Тогда v = w 0,82. Для прямоугольной диметрии в результате расчета получим: u = w 0,94, v 0,47.

С целью уменьшения вычислительной работы и упрощения построений рекомендуется пользоваться приведенными коэффициентами искажения: U = V = W = 1 для изометрии и U = W = 1, V = 0,5 для диметрии. В этом случае изометрическое изображение объекта по сравнению с оригиналом будет увеличено в 1,22 раза, а диметрическое изображение будет увеличено примерно в 1,06 раза.

Существует множество стандартных аксонометрических проекций, обладающих различной степенью наглядности и различной сложностью построений. Некоторые из них приведены в таблице 1.1.

При выборе того или иного аксонометрического изображения нужно учитывать простоту построения и наглядность. Однако простоту и наглядность не всегда удаётся совместить на одном изображении. Например, в прямоугольных изометриях наглядность изображения четырёхугольных предметов уменьшается. Поэтому в таких случаях лучше пользоваться косоугольными проекциями.

12

13

Таблица 1.1

Некоторые стандартные аксонометрии

C

Фронтальные диметрии и изометрии рекомендуется применять в тех случаях, когда имеется необходимость сохранить неискажёнными фигуры, расположенные в плоскостях, параллельных фронтальной плоскости проекций. Во всех случаях рекомендуется выполнить несколько изображений и из них выбрать наилучшее.

13

14

1.3. Перспективное изображение

Изображение предмета на плоскости или поверхности, выполненное на основе центрального проецирования, называется перспек-

тивой или перспективным изображением. Перспектива, выпол-

ненная на плоскости, называется линейной. Основные элементы и конструкцию проецирующего аппарата линейной перспективы рассмотрим, используя метод аксонометрии (рис. 1.4).

D

P

S0

П

Рис. 1.4. Аппарат линейной перспективы

На рисунке изображены следующие элементы. П – предметная плоскость. Она располагается горизонтально и подразумевается безграничной. На ней располагается картинная плоскость и зритель. К – картинная плоскость или картина. Она перпендикулярна предметной плоскости. На ней строится изображение, то есть центральная проекция фигуры. S – точка зрения. Можно считать, что в этой точке располагается глаз зрителя. Какой именно глаз – значения не имеет, так как считается, что зритель обладает только одним глазом. Такое зрение называется циклопическим или монокулярным. h – линия горизонта. Эта линия определяет высоту точки зрения. SP – главный луч зрения. Он перпендикулярен картине. P – главная точка картины. Это

14

15

точка пересечения главного луча зрения SP с картиной. D – дистанционная точка или точка отдаления. Она располагается на линии горизонта вправо или влево от главной точки и определяет расстояние от точки зрения до картины. То есть |SP| = |DP|. Пространство, расположенное за картинной плоскостью, называется предметным пространством. Пространство между картиной и точкой зрения называется промежуточным.

Для построения перспективных изображений задают основные элементы: размеры картины, линию горизонта, главную точку и дистанционную точку. От их выбора зависит степень соответствия изображения зрительному восприятию изображаемых предметов.

Рассмотрим перспективу куба с разными точками зрения при условии, что куб стоит на предметной плоскости и его передняя грань располагается в картинной плоскости (рис. 1.5а, б, в).

На рисунке 1.5а линия горизонта располагается выше куба, а главная точка – левее. Зритель смотрит на куб сверху и слева и видит переднюю, верхнюю и правую боковую грани. Верхняя и боковая грани искажены, так как по мере удаления от картинной плоскости размеры предметов уменьшаются. Но ребра куба, перпендикулярные картине, параллельны друг другу. При удалении в бесконечность они сходятся в одной точке – главной точке картины. Поэтому главную точку картины называют еще точкой схода.

Построение изображения куба начинают с построения передней грани, которая не искажена и изображается квадратом, длина стороны которого равна натуральной длине ребра куба.

Чтобы построить изображения искаженных граней, необходимо помнить основное правило: натуральные (истинные) размеры

изображаемой фигуры можно строить только в картинной плос-

кости. Поэтому, чтобы построить удаленную правую нижнюю вершину куба, на основании картины вправо от ближней вершины отложен отрезок, длина которого равна длине ребра куба. На рисунке это построение показано фигурными скобками. Полученная точка соединяется с дистанционной точкой прямой линией, которая в пересечении с прямой, идущей из ближней вершины в точку схода, дает удаленную правую нижнюю вершину куба. Все ребра задней грани куба параллельны ребрам передней грани.

На рисунке 1.5б линия горизонта пересекает изображение куба. Поэтому видны только передняя и правая боковая грани. Все построения выполняются аналогично.

15

16

На рисунке 1.5в линия горизонта проходит ниже изображения куба. Поэтому видны передняя, правая боковая и нижняя грани. Все построения снова выполняются аналогично.

k

а

k

б

k

в

Рис. 1.5. Перспективные изображения куба

16

17

Из этих изображений можно сделать следующие предварительные выводы:

1)прямые, параллельные картинной и предметной плоскостям, изображаются прямыми, параллельными основанию картины (заднее нижнее и заднее верхнее ребра куба);

2)прямые, параллельные картинной плоскости и перпендикулярные предметной плоскости, изображаются прямыми, перпендикулярными основанию картины (заднее правое и заднее левое ребра куба);

3)прямые, перпендикулярные картинной плоскости, изображаются прямыми, сходящимися в главной точке (все боковые ребра куба);

4)прямые, которые параллельны предметной плоскости и расположены под углом 450 к картинной плоскости, изображаются прямыми, сходящимися в дистанционной точке (диагонали верхней и нижней грани куба).

1.4. Комплексный чертёж

Построение комплексного чертежа, его основные элементы и конструкцию рассмотрим на примере куба, изображенного во фронтальной изометрии (рис. 1.6).

F

C2 C3 = E3

C E

Рис. 1.6. Образование комплексного чертежа

Воспользуемся тремя ортогональными проецированиями, обозначенными стрелками с надписями «Вид слева», «Вид сверху» и «Вид спереди». Проецирование слева отобразит грань ACD на грань

17

18

FEB и при этом вершина A отобразится в вершину F, вершина C – в вершину E, вершина D – в вершину B. После этого грань FEB повернем против часовой стрелки на 900. Проецирование сверху отобразит верхнюю грань куба на нижнюю грань и при этом вершина A отобразится в вершину C, вершина F – в вершину E. После этого нижнюю грань повернем по часовой стрелке на 900. Проецирование спереди отобразит переднюю грань куба на заднюю грань и при этом вершина A отобразится в вершину D, вершина F – в вершину B. Таким образом, все шесть граней куба окажутся совмещенными в одной плоскости – плоскости задней грани.

Если внутри куба будет расположен какой-либо объект, например, точка, то его проекции на грани будут получены аналогичным способом.

Теперь можно отказаться от аксонометрического изображения куба и оставить только его проекции, развернутые в одну плоскость

(рис. 1.7).

Рис. 1.7. Комплексный чертеж куба

Сразу можно заметить, что на чертеже отсутствуют точки A, C, E, F. Остались только их проекции. Проекции с индексом 1 (A1, B1, …) называются горизонтальными проекциями, проекции с индексом 2 (A2, B2, …) называются фронтальными проекциями, проекции с индексом 3 (A3, B3, …) называются профильными. Такая нумерация проекций есть просто результат договоренности или традиции, никакого другого смысла она не имеет. В некоторых учебниках проекции обозначаются штрихами. Точки D и B присутствуют на чертеже и

18

19

совпадают со своими фронтальными проекциями, так как они располагаются в плоскости фронтальных проекций. Точка M располагалась внутри куба, поэтому на чертеже остались только её проекции.

Линии M1M2, M2M3 называются линиями проекционной связи. Для построения комплексного чертежа были использованы толь-

ко три проекции. Существуют еще три проекции «Вид справа», «Вид снизу» и «Вид сзади», которые тоже можно применить при необходимости. Но следует знать, что для построения позиционно и метрически определенного комплексного чертежа достаточно любых двух проекций. Чаще всего, опять же по традиции, используются только горизонтальная и фронтальная проекции.

1.5. Метод координат

Основным объектом пространства будем считать точку. Это вполне естественно, поскольку любая фигура может определяться как некоторое множество (геометрическое место) точек, удовлетворяющих какому-либо условию. Например, сфера есть множество точек пространства, отстоящих от данной точки на данное расстояние. Шар есть множество точек пространства, расстояния которых от данной точки не больше данного расстояния и тому подобное. Поэтому, зная как построить изображение точки, можно построить изображение любой фигуры.

Положение точки в пространстве должно определяться относительно какой-либо заранее заданной фигуры, которая называется системой отнесения. В качестве системы отнесения могут быть выбраны различные фигуры, но наиболее простой и естественной для многих приложений системой отнесения является пространственная фигура, образованная тремя взаимно перпендикулярными прямыми, проходящими через одну точку. Если на каждой прямой указать положительное направление и масштабный единичный отрезок, то будет получена декартова система координат. Координатные прямые называются осями координат. Общая точка называется началом координат и обозначается буквой О. В аналитической геометрии оси имеют названия оси абсцисс, оси ординат, оси аппликат и обозначаются Ox, Oy, Oz. Кроме этого имеются три взаимно перпендикулярные координатные плоскости, натянутые на каждую пару координатных осей, –

плоскости Oxy, Oxz, Oyz.

Выбор системы координат в пространстве в общем случае произволен, но может диктоваться условиями задачи. Тогда выбирать си-

19

20

стему координат надо так, чтобы заданные фигуры описывались или изображались в этой системе максимально просто. Кроме того, обычно выбирают правую систему координат, в которой поворот от предыдущей оси к следующей совершается против часовой стрелки, если смотреть вдоль третьей оси.

Итак, если декартова система координат выбрана, то любая точка А пространства будет определяться тремя числами – координатами. Этот факт обозначают символически как A(xA, yA, zA). Каждая координата определяется как длина отрезка, отсекаемого на соответствующей оси плоскостью, проходящей через точку А параллельно двум другим осям.

В аксонометрии направление координатных осей обычно следующее: ось Ox направляется влево, ось Oy направляется вправо, ось Oz направляется вверх. На рисунке 1.8 показано направление координатных осей в прямоугольной изометрии. Углы между осями равны 1200. Истинные значения координат данной на изображении точки A(xA, yA, zA) следующие: xA = 1,22 |OAx|, yA = 1,22 |OAy|, zA = 1,22 |OAz|. Если дана точка A(xA, yA, zA), то построить её изображение придется по от-

резкам |OAx| = 0,82 xA, |OAy| = 0,82 yA, |OAz| = 0,82 zA.

z

Ax Ay

A1 y

x

Рис. 1.8. Система координат прямоугольной изометрии

Если используется приведенная изометрия, то все гораздо проще: |OAx| = xA, |OAy| = yA, |OAz| = zA.

20