Технический рисунок и начертательная геометрия. Учебное пособие

91

0

x 0

x

0

y

а

x

y

0

x

y

б

Рис. 5.7. Построение аксонометрического изображения фигуры: а – исходное комплексное изображение; б – аксонометрическое изображение

В некоторых случаях для получения наиболее наглядного аксонометрического изображения целесообразно исходить из направления проецирования. В прямоугольной аксонометрии выбор направления проецирования определяет расположение картинной плоскости и, следовательно, определяет направление аксонометрических осей координат.

5.5. Построение аксонометрии по заданному направлению проецирования

На комплексном чертеже показаны проекции s1 и s2 направления проецирования s (рис. 5.8а). На оси Ox можно выбрать произвольно точку А и принять её за точку пересечения следов П1 и П2 картинной плоскости П. След П1 перпендикулярен s1, а след П2 перпендикулярен s2. Следы П1 и П2 определяют картинную плоскость. Выбор другой

91

92

точки А определит другую картинную плоскость, параллельную первой.

Опустив из начала координат перпендикуляр на след П1, отметим его основание – точку В1. Обозначим С1 точку пересечения следа П1 с осью Oy. Теперь можно строить аксонометрические оси, соответствующие направлению проецирования s. Для этого проведём горизонтальную прямую и отложим на ней отрезки АВ1 и АС = АС1, измерив их длины на комплексном чертеже (рис. 5.8б).

Из точки В1 восстановим перпендикуляр к отрезку АС. Этот перпендикуляр есть ось z (начала координат – точки O ещё нет). Из точки А длиной AD2 делаем засечку на перпендикуляре, получая точку D и след AD = П2 картинной плоскости. Из точки С опускаем перпендикуляр на отрезок AD. Этот перпендикуляр есть ось y. Начало координат O получается в пересечении этого перпендикуляра с осью z. Прямая OA есть ось Ox.

Построив аксонометрические оси, можно строить изображение так, как описано в предыдущем разделе. Для примера рассмотрим построение аксонометрического изображения параллелепипеда, имею-

92

93

щего в передней грани прямоугольное углубление. Направление проецирования выберем такое, чтобы была видна часть задней стенки углубления (рис. 5.9а). На аксонометрическом чертеже (рис. 5.9б) никакие построения аксонометрических осей не показаны. Построение параллелепипеда выполнено в соответствии с описанием, приведённом в предыдущем разделе.

s2

x

x

y

s1

y

Рис. 5.9. Построение аксонометрического изображения параллелепипеда: а – исходное комплексное изображение; б – аксонометрическое изображение

Использование комплексного чертежа позволяет выбирать такие направления проецирования, при которых все особенности объекта изображения проявляются наиболее наглядно. Это относится прежде всего к различным углублениям, отверстиям, канавкам.

Выводы

Одним из удобных способов построения перспективного изображения является способ архитекторов. Изменяя положение картинной

93

94

плоскости и точки зрения можно получить желаемую степень наглядности изображения.

Для построения перспективы интерьера можно использовать способ совмещения. Желаемую степень наглядности можно получить изменяя горизонтальную проекцию предметов интерьера.

Для изображения сложных фигур используют способ перспективной сетки. Его удобно применять при построении изображений на наклонных плоскостях.

Контрольные вопросы

1.В чём заключается способ архитекторов?

2.Как образуются точки схода в способе архитекторов?

3.Когда удобно применять способ архитекторов?

4.В чём заключается способ совмещения?

5.В каких случаях удобно применять способ совмещения?

6.В чём заключается способ перспективной сетки?

7.В каких случаях удобно использовать способ перспективной сетки?

8.В чём заключается построение аксонометрического изображения по заданному направлению проецирования?

9.В каких случаях используется задание направления проецирования?

10.Какой физический аналог имеет параллельное проецирование?

Задачи

В задачах указано положение картинной плоскости. Положение точки зрения выбрать самостоятельно.

5.1. Методом архитекторов построить изображение квадратов, лежащих в предметной плоскости (рис. 5.10).

5.2. Методом архитекторов построить изображение дома (рис. 5.11). 5.3. Построить аксонометрическое изображение дома (рис. 5.11).

5.4. Построить аксонометрическое изображение дома по заданному направлению проецирования (рис. 5.11).

5.5. Методом совмещения построить перспективу комнаты с двумя предметами: шкафом и стулом (рис. 5.12). Высота комнаты – 3 м.

5.6. Методом совмещения построить перспективу лестницы, ведущей к квадратному люку в потолке (рис. 5.13). Высота комнаты – 3 м.

5.7. Построить перспективу двух параллелепипедов (рис. 5.14).

5.8. Построить перспективу моста. Мост горизонтальный. Форма арки – окружность (рис. 5.15). Высота моста – 5 м. Угол наклона набережной – 300.

5.9. Построить перспективу двух цилиндров, вписанных в параллелепипеды

(рис. 5.14).

5.10. Методом сетки построить перспективу букв АБВГД на наклонной набережной (рис. 5.15).

94

95

95

96

6. ПОСТРОЕНИЕ ТЕНЕЙ

Изображение теней на чертежах включает в себя две графические операции. Первая называется геометрией теней и заключается в определении границ собственных и падающих теней. Вторая называется изображением светотени и заключается в изображении теней так, чтобы их восприятие было наиболее близко к натуральному.

Существуют два варианта освещения: освещение параллельными лучами или освещение из точки, удалённой в бесконечность, и освещение из одной светящейся точки, находящейся на конечном расстоянии от объекта. Аналогом первого варианта служит освещение солнечными лучами. Аналогом второго – освещение лампой, фонарем или прожектором.

Теоретической основой построения теней является вспомогательное параллельное или центральное проецирование. Построение падающей тени от точки представляет собой позиционную задачу построения точки пересечения прямой (светового луча) с поверхностью. Построение падающей тени от прямой на плоскости представляет собой позиционную задачу построения линии пересечения плоскостей или построение следа лучевой плоскости на плоскости. Построение падающей тени от кривой линии на плоскости представляет собой позиционную задачу построения линии пересечения поверхности и плоскости или построение следа лучевой поверхности на плоскости. Построение падающей тени от кривой линии на кривой поверхности представляет собой позиционную задачу построения линии пересечения поверхностей или построение следа лучевой поверхности на поверхности.

Построение собственной тени поверхности представляет собой позиционную задачу построения линии касания лучевой поверхности и данной поверхности.

Таким образом, для построения тени на чертеже необходимо иметь:

1)заданный в двух проекциях источник света – центр освещения или направление световых лучей;

2)освещаемый объект, заданный в двух проекциях;

3)поверхность или плоскость, на которой строится тень, заданная в двух проекциях.

96

97

6.1. Тени цилиндра, конуса и сферы

Рассмотрим построение теней простейших поверхностей, выбрав аксонометрический чертеж. Пусть требуется построить тень вертикального цилиндра от источника света S(S1) (рис. 6.1). Предположим, что цилиндр полый, т. е. представляет собой трубу. Тогда его тень будет состоять из тени, падающей на плоскость основания, собственной тени на наружной поверхности и собственной тени на внутренней поверхности. При таком расположении цилиндра достаточно построить тень верхнего основания, т. к. тень нижнего основания совпадает с самим основанием.

Построение следующее. На верхнем основании выбирается произвольно точка А(A1). Строится её тень AT как точка пересечения лучей SA – основного светового луча и S1A1 – вторичного светового луча. Выбирается точка В(В1) и строится её тень ВТ как точка пересечения основного светового луча SВ с поверхностью цилиндра. Повторяя эту процедуру достаточное количество раз, получим падающую тень как геометрическое место точек AT и тень, падающую на внутреннюю поверхность цилиндра, как геометрическое место точек ВТ. Собственная тень цилиндра определяется вторичными световыми лучами, касательными к основанию цилиндра.

B1

AT

S1 A1

Рис. 6.1. Построение тени цилиндра

97

98

Рассмотрим построение теней конуса от бесконечно удалённого источника света (солнца). Освещение задается двумя проекциями направления световых лучей – основного s и вторичного s1 (рис. 6.2). В основном построение аналогичное. Немного сложнее определяются точки внутренней тени. Выбор точки А(А1) на основании произволен. Точка АТ есть точка пересечения основного светового луча sA с поверхностью конуса. Чтобы найти её сначала определяется точка A/T, через точку A/T и вершину конуса проводится прямая m1. Затем через точку А проводится прямая m, параллельная прямой m1, которая пересекает основание конуса еще в одной точке. Проведенная через неё образующая конуса в пересечении с лучом sA даст точку АТ. Геометрическое место точек АТ образует границу внутренней тени конуса.

Область внутренней тени

s

Область собственной тени

Область падающей тени

A m

AT

A/T

s1 m1

A1

Рис. 6.2. Построение тени конуса

Рассмотрим построение тени цилиндра на конусе. Бесконечно удалённый источник света задаётся направлением основного и вторичного луча. Цилиндр и конус пересекаются, а линию пересечения будем считать построенной. Граница падающей тени на плоскости основания конуса есть граница объединения тени конуса и тени цилиндра (рис. 6.3).

98

Тень, падающая на плоскость, собственные тени конуса и цилиндра строятся так, как описано выше. Для построения тени цилиндра, падающей на конус, нужно воспользоваться двумя световыми плоскостями U и V, которые являются плоскостями, касательными к цилиндру. Эти плоскости касаются цилиндра по образующим, которые являются границами собственной тени цилиндра. Они же пересекают конус по двум гиперболам u и v, которые являются границами тени цилиндра на конусе. Построение гипербол u и v есть позиционная задача на построение линии пересечения плоскости и конуса.

Тенью сферы на плоскости в общем случае будет эллипс. Однако если световые лучи параллельны и ортогональны плоскости, то тенью сферы будет окружность такого же диаметра, как сфера. Построение тени сферы на плоскость есть позиционная задача на построение линии пересечения цилиндра и плоскости, т. е. эллипса. Цилиндром является световой цилиндр, образующими которого являются лучи, касательные к сфере. Решение задачи – на рисунке 6.4.

Для построения эллипса тени существует множество способов. Можно начинать с построения тени центра О (построение обычное). Затем можно построить тени точек А и В – точки АТ и ВТ. Вторичная проекция сферы – эллипс с центром О1 – есть проекция экватора сферы. Поэтому точки А1 и В1 есть точки касания вторичной проекции и лучей вторичного пучка света. Точки А и В лежат на экваторе сферы. Поэтому точки АТ и ВТ строятся как обычно.

99

100

Собственная тень сферы

O

B

AT

OT

BT

A1

O1

B1

Рис. 6.4. Тень сферы на плоскости

Лучи основного пучка света, касательные к сфере, являются в то же время касательными к теневому эллипсу, за которые он не может выйти. Следовательно, эллипс тени можно построить по центру ОТ, двум диаметральным точкам АТ и ВТ и двум диаметрально расположенным касательным. Построение по этим условиям будет описано в главе 7.

6.2. Тени многогранников в перспективе

Основной принцип построения теней в перспективе ничем не отличается от принципа построения, используемого в аксонометрических чертежах. Рассмотрим различные случаи построения тени непрозрачного прямоугольника.

100