Технический рисунок и начертательная геометрия. Учебное пособие

21

Для остальных аксонометрических систем все аналогично (см.

таблицу 1.1).

Система координат комплексного чертежа показана на рисунке 1.9. На комплексном чертеже всегда |OAx| = xA, |OAy| = yA, |OAz| = zA.

z

A2 Az A3

O Ay

A1

Ay

y

Рис. 1.9. Система координат комплексного чертежа

Сложнее выглядит система координат перспективного чертежа. Дело в том, что оси координат аксонометрических систем или комплексного чертежа имеют равномерные шкалы. Это связано с тем, что эти чертежи не предназначены для изображения фигур, находящихся на значительном расстоянии друг от друга и от зрителя. При удалении от зрителя видимые размеры фигур уменьшаются. Чтобы сохранить этот эффект на чертеже, на осях координат необходимо использовать неравномерные шкалы.

Простейшей неравномерной шкалой является проективная шкала. Она строится при помощи операции проецирования следующим образом. Пусть имеется равномерная шкала Ox (рис. 1.10). Выберем произвольно точку D и через точку O проведем произвольно прямую y. Считая точку D центром проецирования, спроецируем точки 1, 2, 3, … равномерной шкалы оси Ox на прямую y. Тогда на прямой y будет получена неравномерная – проективная шкала Oy. Её главная особенность в том, что она позволяет изобразить бесконечно удаленную точку шкалы Ox. Эта точка получится в пересечении прямой y с проецирующей прямой, параллельной оси Ox.

21

22

y

– 1

Рис. 1.10. Образование проективной шкалы

Учитывая сказанное, можно дать такое определение системе координат перспективного чертежа. Система координат называется перспективной, если она имеет хотя бы одну проективную шкалу.

Теперь можно приступить к построению перспективной системы координат. Для этого выберем картинную плоскость, совпадающую с плоскостью изображения (рис. 1.11). Выберем в картинной плоскости две взаимно перпендикулярные оси координат – ось Ox и Oz. Ось Ox обычно совпадает с основанием картины k и направляется вправо. Она называется осью широты. Ось Oz направляется обычно вверх и называется осью высоты. Шкалы на этих осях будут равномерными, так как можно не учитывать искажение видимых размеров объекта по широте и по высоте.

Выберем линию горизонта h, главную точку P и дистанционную точку D. Ось Oy направляется в главную точку картины и несет на себе проективную шкалу, построенную при помощи дистанционной точки. Пусть точка A(xA, yA, zA) задана своими координатами. Чтобы построить её перспективное изображение необходимо помнить ос-

новное правило: все натуральные размеры можно откладывать только в картинной плоскости. Поэтому на оси Ox можно отложить отрезок |OAx| = xA, а на оси Oz можно отложить отрезок |OAz| = zA. Отложить отрезок, равный yA, можно только в картинной плоскости

22

23 (показан фигурной скобкой). После этого, соединив его конец с ди-

станционной точкой, получим точку Ay на оси Oy.

Рис. 1.11. Построение перспективной системы координат

Проведя из точек Ax и Az прямые, параллельные осям Oz и Ox, получим в их пересечении точку A2. Она является проекцией точки А на картинную плоскость. Проведя из точек Ax и Ay прямые, параллельные осям Oy и Ox, получим в их пересечении точку A1. Она является проекцией точки А на предметную плоскость. Прямая, прове-

денная из точки Ax и параллельная оси Oy, проходит через точку

P. Эта прямая и ось Oy обе перпендикулярны картинной плоскости и оси Ox и поэтому сходятся в главной точке P. Проведя из точек Az и Ay прямые, параллельные осям Oy и Oz, получим в их пересечении точку A3. Она является проекцией точки А на координатную плос-

кость Oyz. Прямая, проведенная из точки Az и параллельная оси

Oy, проходит через точку P. Эта прямая и ось Oy обе перпендикулярны картинной плоскости и оси Oz и поэтому сходятся в главной точке P. Проведя из точек A1 и A3 прямые, параллельные осям Oz и Ox, получим в их пересечении точку А.

Это перспективное изображение точки А можно представить наглядно следующим образом. Если вообразить картинную плоскость Oxz как окно, выходящее на море, главную точку P как направленный в окно прожектор корабля, находящегося на линии горизонта, а точку

23

24

А как птицу, летящую над поверхностью моря, то точка А2 будет тенью птицы на окне.

Если решать обратную задачу, то есть определять координаты точки А по её изображению, то необходимо учесть следующее. На рисунке 1.11 присутствуют три проекции точки А на оси координат, три её проекции на координатные плоскости и перспективная проекция точки А. Для позиционной определенности чертежа достаточно иметь любые две проекции точки на координатные плоскости или перспективную проекцию точки и одну из проекций на оси координат.

Выводы

В зависимости от решаемых изобразительных задач выбирают тот или иной метод изображения пространственных объектов на плоскости. Каждый метод изображения имеет свои особенности, которые необходимо учитывать. Для графически точного и определённого изображения сравнительно небольших объектов, например деталей машиностроения, используют комплексный чертёж. Изображение на комплексном чертеже снабжают всеми необходимыми размерами и надписями. Поэтому комплексный чертёж используется для изготовления, сборки и контроля изделий.

Для наглядного изображения сравнительно небольших объектов используют аксонометрические проекции, которые дополнительно снабжают оттенением контуров и светотенью. Иногда на аксонометрических изображениях проставляют необходимые размеры. Однако необходимо учитывать искажения формы, которые возникают при построении аксонометрий.

Для наглядного изображения больших объектов, таких как станки, машины, здания, архитектурные комплексы, применяются перспективные изображения. Такие изображения учитывают визуальные искажения, возникающие по мере удаления объекта от наблюдателя, поэтому они более точно передают реальность. Размеры на таких изображениях, как правило, не ставят.

Наилучшие результаты получаются после построения нескольких различных изображений и выбора наиболее удачного. Особенно это важно в перспективе, где визуальные искажения сильно зависят от выбора на картинной плоскости линии горизонта, главной точки и дистанционной точки.

24

25

Контрольные вопросы

1.Что называется позиционной определённостью изображения?

2.Что называется метрической определённостью изображения?

3.Что означает понятие обратимости изображения?

4.В чём заключаются различия между аксонометрическим изображением, перспективным изображением и комплексным чертежом?

5.В чём заключается метод проекций?

6.Какая плоскость называется плоскостью проекций?

7.Какое изображение называется проекцией?

8.В чём заключаются различия между косоугольной и прямоугольной аксонометрией?

9.Что называется коэффициентом искажения?

10.Какой геометрический смысл имеет коэффициент искажения?

11.В чём заключаются различия между изометрией, диметрией и тримет-

рией?

12.Какое изображение называется перспективным?

13.Что называется линейной перспективой?

14.Какая точка называется точкой схода?

15.Какая плоскость называется предметной?

16.Какая плоскость называется картинной?

17.Какой геометрический смысл имеет линия горизонта?

18.Какой геометрический смысл имеет главная точка?

19.Какое изображение называется комплексным чертежом?

20.Какие линии называются линиями связи?

21.В чём заключается метод координат?

22.Какая шкала называется проективной?

23.В чём заключается особенность перспективной системы координат?

24.Какая точка называется дистанционной точкой?

Задачи

Все числовые значения даны в миллиметрах. Масштаб изображения можно выбрать самостоятельно.

1.1.Изобразить отрезок AB и его проекции на координатные плоскости, A(100, 20, 70), B(30, 50, 20):

а) в ортогональной приведенной изометрии; б) в ортогональной приведенной диметрии; б) на комплексном чертеже; в) в перспективе.

1.2.Разделить отрезок АВ (см. задачу 1.1) на две, три и пять равных частей. Указание: сначала выполнить деление на комплексном чертеже или в аксонометрии, используя теорему Фалеса.

1.3.Изобразить треугольник ABC и его проекции на координатные плоско-

сти, A(80, 20, 10), B(100, 70, 120), C(10, 80, 60):

25

26

а) во фронтальной изометрии; б) на комплексном чертеже; в) в перспективе.

1.4. Построить точку пересечения медиан треугольника АВС (см. задачу

1.3).

1.5. Изобразить куб ABCDEFGH, стоящий на плоскости Oxy, с вершинами в точках A(50, 10, 0) и B(10, 50, 0):

а) в ортогональной приведенной диметрии; б) на комплексном чертеже; в) в перспективе.

1.6.Построить плоскость ACF куба (см. задачу 1.5).

1.7.Изобразить куб ABCDEFGH с вершинами в точках A(50, 10, 20) и B(10,

50, 20):

а) в ортогональной приведенной диметрии; б) на комплексном чертеже; в) в перспективе.

1.8.Изобразить правильную четырёхугольную пирамиду ABCDS с верши-

нами в точках A(50, 10, 0) и B(10, 50, 0) и высотой 100 мм:

а) в ортогональной приведенной диметрии; б) на комплексном чертеже; в) в перспективе.

1.9.Изобразить правильную четырёхугольную пирамиду ABCDS (см. задачу 1.8), усечённую на 30 мм:

а) в ортогональной приведенной диметрии; б) на комплексном чертеже; в) в перспективе.

1.10.Передняя грань фигуры расположена в плоскости Oxz и задана точка-

ми (0, 0), (0, 10), (30, 10), (30, 50), (40, 50), (40, 30), (60, 30), (60, 50), (70, 50), (70, 10), (100, 10), (100, 0). Ширина фигуры 80 мм. Построить:

а) изображение фигуры в приведенной изометрии; б) перспективное изображение фигуры.

26

27

2.ИЗОБРАЖЕНИЕ ПРЯМЫХ, ПЛОСКОСТЕЙ

ИПРОСТЕЙШИХ КРИВОЛИНЕЙНЫХ ФИГУР

Будем считать, что в пространстве выбрана декартова система координат. По отношению к ней любая фигура пространства может занимать общее или частное положение [1, с. 17; 2, с. 28].

Точкой частного положения называется точка, лежащая в ка- кой-либо координатной плоскости. Прямой частного положения называется прямая, параллельная какой-либо координатной плоско-

сти. Плоскостью частного положения называется плоскость, пер-

пендикулярная какой-либо координатной плоскости.

Окружностью (эллипсом, параболой, гиперболой, любой плоской кривой) частного положения называется окружность (эллипс, парабола, гипербола, любая плоская кривая), лежащая в плоскости частного положения. Цилиндром (конусом) частного положения

называется цилиндр (конус), осью которого является прямая частного положения. Если цилиндр не имеет оси, то частным положением будет такое положение, при котором все его образующие будут прямыми частного положения. Призмой частного положения называется призма, у которой все боковые ребра являются прямыми частного положения.

При построении изображений прямых и плоскостей необходимо помнить следующие, известные из элементарной геометрии, положения:

1)любая прямая вполне определяется любыми двумя её точками;

2)любая плоскость вполне определяется любыми тремя её точками, не лежащими на одной прямой;

3)любая плоскость вполне определяется любыми двумя её пря-

мыми;

4)любая фигура на любом чертеже вполне определяется любыми двумя её проекциями.

2.1. Изображение прямых

Так как имеется три координатные плоскости, то прямая может быть параллельна каждой из них. Прямая, параллельная какой-либо координатной плоскости, называется прямой уровня. Прямая может быть параллельна каким-либо двум координатным плоскостям, и тогда она будет перпендикулярна третьей координатной плоскости и

27

28

будет параллельна координатной оси, которая перпендикулярна этой плоскости. Прямая, перпендикулярная какой-либо координатной плоскости, называется проецирующей прямой. Итого имеется шесть частных положений прямой – три уровня и три проецирующих.

Прямая уровня, параллельная горизонтальной плоскости (обычно Oxy), называется горизонталью. Прямая уровня, параллельная фронтальной плоскости Oxz, называется фронталью. Прямая уровня, параллельная профильной плоскости Oyz, называется профильной прямой. Прямые, перпендикулярные горизонтальной, фронтальной или профильной плоскости, называются, соответственно, горизонтально, фронтально или профильно проецирующими прямыми.

На рисунке 2.1 в ортогональной изометрии изображены три проецирующие прямые и их проекции. Проекции a3, b2, c1 – точки. Проекция в виде точки – особенность, характерная для проецирующих прямых. Эти же точки являются точками пересечения проецирующих прямых с координатными плоскостями. Такие точки называются следами прямых. У проецирующих прямых может быть только один след.

z

b2

a2 a3

b

O

a c3

a1 b1

Рис. 2.1. Проецирующие прямые

На рисунке 2.2 эти же прямые изображены на комплексном чертеже. На чертеже есть только проекции этих прямых, поэтому для то-

28

29

го, чтобы узнать, какая прямая изображена, необходимо анализировать их проекции. У профильно проецирующей прямой a проекции a1 и a2 параллельны оси Ox. У фронтально проецирующей прямой b проекция b1 перпендикулярна оси Ox, а проекция b2 – точка. У горизонтально проецирующей прямой c горизонтальная проекция c1 есть точка, а фронтальная проекция c2 перпендикулярна оси Ox.

b2 z

a2

c2

a1

c1

b1

y

Рис. 2.2. Проецирующие прямые на комплексном чертеже

На рисунке 2.3 эти же прямые изображены на перспективном чертеже. Здесь следующие особенности. На проекции a2 любой отрезок прямой a имеет свою истинную длину. По мере удаления от картинной плоскости Oxz длина отрезков уменьшается. Это же характерно для прямых b и c. Прямая b перпендикулярна картинной плоскости и поэтому направлена в главную точку.

Посмотрим теперь, как выглядят изображения прямых уровня. На рисунке 2.4 в ортогональной изометрии изображены прямые уровня: a

– горизонтальная, b – фронтальная, c – профильная и их проекции. Линии связи проекций не показаны.

Особенности в расположении проекций таких прямых следующие: одна из проекций параллельна самой прямой, то есть a || a1, b || b2, c || c3, остальные проекции параллельны осям координат.

29

O

Рис. 2.3. Проецирующие прямые в перспективе

Рис. 2.4. Прямые уровня в аксонометрии

На рисунке 2.5 изображены эти же прямые на комплексном чертеже. Расположение их проекций такое: a2 || Ox, b1 || Ox, c1 || Oy, c2 || Oz.

30