Технический рисунок и начертательная геометрия. Учебное пособие

71

Построение перпендикуляра из точки О к следу АВ осуществляется точно такими же способами. Но теперь в построениях будут участвовать дистанционные точки D2 и D4.

4.2. Расстояние между точками

Определение расстояния между точками иначе формулируется как определение длины отрезка прямой. Наиболее важен случай отрезка прямой общего положения. Для определения его длины существует много способов. Некоторые из них: способ прямоугольного треугольника, способ вращения и способ плоскопараллельного перемещения. Рассмотрим их на комплексном чертеже. Пусть дан отрезок АВ общего положения (рис. 4.5).

Способ прямоугольного треугольника заключается в следующем:

–на одной из проекций измеряют разность координат проекций концов отрезка. На рисунке 4.5а измерена и обозначена фигурной скобкой разность по оси Oz;

–на другой проекции из любого конца отрезка в любую сторону восстанавливается перпендикуляр к проекции отрезка;

–на перпендикуляре откладывается измеренная разность координат и полученная точка соединяется с другим концом проекции отрезка. Полученное расстояние равно расстоянию между данными точками.

Способ вращения заключается в следующем:

–одна из проекций отрезка поворачивается вокруг одного из своих концов до положения, параллельного оси проекций (рис. 4.5б);

–на другой проекции конец отрезка, через который проходит ось вращения, остается неподвижным, а второй конец отрезка перемещается параллельно оси проекции до линии связи. Его конечное положение определяет расстояние между точками – концами отрезка.

Способ плоскопараллельного перемещения заключается в следующем:

–одну из проекций отрезка, не меняя её длины, располагают в любом месте параллельно оси проекций (рис. 4.5в);

–концы другой проекции перемещают параллельно оси проекции до их линий связи. Их конечные положения определяют истинное расстояние между точками.

71

Рассмотрим эту же задачу на аксонометрическом чертеже. Пусть заданы проекции АВ и А1В1 отрезка общего положения (рис. 4.6). Поскольку имеется горизонтальная проекция, то начать построения следует с неё. На плоскости Oxy в любом месте проводится прямая, перпендикулярная оси Oz. На её отрезке MN между осями Ox и Oy как на диаметре строится полуокружность. Треугольник MO/N прямоугольный. Отрезок А1В1 переносится на плоскость MO/N по линиям связи в отрезок A/B/. Эти операции соответствуют повороту горизонтальной плоскости вокруг прямой MN до совпадения с плоскостью изображения. Поэтому треугольник MO/N и все фигуры в его плоскости не имеют искажений. Длина отрезка A/B/ есть истинная длина горизонтальной проекции отрезка АВ.

Аналогичные построения можно выполнить с плоскостью Oxz и найти истинную длину фронтальной проекции отрезка. Зная длины проекций нетрудно определить истинную длину отрезка (рис. 4.5).

Можно сделать следующий вывод, что все построения следует выполнять в два этапа: сначала переносить все фигуры в картинную плоскость, а затем, при необходимости, производить нужные графические операции с ними.

72

73

z

B

O/

Рис. 4.6. Расстояние между точками в аксонометрии

В перспективе для определения длин отрезков, параллельных картинной плоскости, они переносятся на картинную плоскость по любому направлению, то есть из любой точки, лежащей на линии горизонта. Для определения длин отрезков, перпендикулярных картинной плоскости, они переносятся на картинную плоскость из дистанционных точек D1 или D2, лежащих на линии горизонта. Такой перенос соответствует повороту отрезков на 900, то есть до положения, параллельного картинной плоскости.

Пусть требуется определить длину отрезка, расположенного горизонтально, но не параллельно и не перпендикулярно картинной плоскости. Для этого отрезок продолжается до линии горизонта и на ней определяется предельная точка M отрезка АВ (рис. 4.7). Затем определяется масштабная точка N прямой АВ. Для этого отрезок MD3 поворотом вокруг точки M переносится на линию горизонта. То есть MN = MD3. Точка N есть масштабная точка прямой АВ. Отрезок АВ проецируется из точки N на картинную плоскость и длина его проекции на картинной плоскости равна длине отрезка АВ. Очевидно, что |AB| = |CD|, но CD лежит в предметной плоскости.

73

74

D3

B

A

k

Рис. 4.7. Определение длины горизонтального отрезка

D3

DAB

M

N B

A B2

A2 Ист. длина

C

| | MP

k

C2

Рис. 4.8. Определение длины отрезка общего положения

Пусть дано перспективное изображение отрезка АВ общего положения (рис. 4.8). Сначала определяется его горизонтальный след – точка С и предельная точка M. Тем самым отрезок АВ оказывается заключенным во фронтально проецирующую плоскость CMP. Тогда

74

75

PC есть горизонтальный след плоскости CMP, а прямая, проходящая через точку C2 параллельно MP, есть картинный след плоскости CMP. Прямая MP есть бесконечно удаленная прямая плоскости CMP.

Для того чтобы найти дистанционную точку плоскости CMP, необходимо из точки P восстановить перпендикуляр к прямой MP до пересечения с окружностью D1D2D3. Точка DAB пересечения перпендикуляра и окружности есть дистанционная точка плоскости CMP. Далее отрезок MDAB поворотом вокруг точки M совмещается с прямой MP и получается точка N – дистанционная точка прямой AB. Отрезок АВ проецируется из точки N на картинный след плоскости CMP в отрезок, длина которого есть истинная длина отрезка АВ.

4.3. Угол между плоскостями

Рассмотрим перспективные изображения плоскостей, расположенных под различными углами к координатным плоскостям. Для наглядности плоскости будем задавать прямоугольниками ABMN.

Пусть в исходном положении прямоугольник ABMN лежит в картинной плоскости и его сторона совпадает с основанием картины (рис. 4.9). Предположим, что плоскость наклоняется вперед на некоторый угол u. При этом наклон вперед осуществляется вокруг оси BN, то есть вокруг основания картины. Для построения наклонённой вперед плоскости ABMN используем дистанционную точку D2 (можно использовать и D1). Прямая, проведенная в точке D2 пол углом u к вертикали, определит на главной прямой, проходящей через главную точку P, точку FH. Смысл точки FH следующий: все прямые плоскости A/BNM/, перпендикулярные основанию картины BN, сходятся в точке FH. Поэтому прямые FHN и FHB есть стороны прямоугольника ABNM, наклонённого вперед на угол u.

Построение на прямой FHN точки M/, то есть нового положения точки M, следующее. Плоскость MNFH поворачивается вокруг прямой MN до совпадения с картинной плоскостью. Это позволяет отложить от отрезка MN угол u, то есть увидеть угол MNM/ в натуральную величину. На чертеже это осуществляется поворотом отрезка NM на угол u в отрезок NMK. Затем точка MK проецируется на отрезок NM и после этого из точки P она проецируется на прямую FHN. После того как точка M/ построена, точка A/ строится на прямой FHB по условию, что сторона AM при наклоне всегда остается параллельной основанию картины.

75

76

Пусть теперь плоскость ABNM наклонена назад на некоторый угол v. Сторона BN по-прежнему остаётся на месте. Все построения точек A// и M// совершенно аналогичны построению точек A/ и M/. В построении используется точка D2 и точка FB. Её геометрический смысл такой же, как смысл точки FH.

Очень важно иметь в виду, что если угол между прямыми FHD2 и FBD2 прямой, то есть u + v = 900, то плоскости A/BNM/ и A//BNM//

перпендикулярны. Из этого следует вывод, что при заданной наклонённой плоскости, например плоскости A/BNM/, все перпендикуляры к ней сходятся в точке FB. И наоборот, если задана плоскость A//BNM//, то все перпендикуляры к ней сходятся в точке FH.

Пусть дана вертикальная плоскость ABNM, наклоненная к картинной плоскости под углом w (рис. 4.10). Все горизонтали плоскости ABNM сходятся в точке FL, а все перпендикуляры к ней – в точке FR. Предположим, что плоскость ABNM отклоняется от вертикального положения вперед на угол u и назад на угол v. Отрезок BN при этом остается на месте. Построение осуществляется в следующей последовательности.

Развернем предметную плоскость вместе с отрезком BN до совпадения с картинной плоскостью. Отрезок BN при этом перейдет в отрезок B1N. В точке B1 вертикально стоит отрезок BA, длина которого равна длине NM. Повернем отрезок BA до совпадения с картинной плоскостью на прямую B1N и полученную точку обозначим A1. Теперь его можно повернуть вокруг точки B1 в одну сторону на угол u, а в другую – на угол v. Поворот на угол u означает наклон вперед, к картинной плоскости, а поворот на угол v означает наклон назад, от картинной плоскости. Построения и в том и в другом случае абсолютно одинаковые.

Предположим, что плоскость отклоняется назад на угол v. На картинной плоскости она изобразится прямоугольником B1A1/M1/N. Высота расположения точек A1/ и M1/ над картинной плоскость обозначена фигурной скобкой. Теперь необходимо вернуть одну из точек A1/ или M1/ на перспективное изображение. На рисунке показано возвращение точки M1/. Для возвращения использована главная точка P и дистанционная точка D1. Результатом является точка M/. Перпендикуляр к горизонту h, проведенный через точку FR, и прямая NM/ пересекаются в точке FB. В этой точке сходятся все вертикали отклоненной

назад плоскости. Используя эту точку и точку FL, легко построить точку A/.

76

77

78

79

Аналогично осуществляется построение плоскости, наклоненной вперед. Результатом являются точки A// и M//. На рисунке показано построение точки A//. В этом случае все вертикали плоскости A//BNM// сходятся в точке FH.

Важно иметь в виду, что если u + v = 900, то плоскости A//BNM// и A/BNM/ перпендикулярны. Поэтому все вертикали плоскости A//BNM// сходятся в точке FH, а все перпендикуляры к плоскости A//BNM// сходятся в точке FB. Для плоскости A/BNM/ все наоборот.

Выводы

Метрические задачи – задачи на определение расстояний и углов между заданными фигурами. Самые простые алгоритмы их решения разработаны для комплексного чертежа. Большинство задач, в которых требуется определить расстояние, основано на построении перпендикуляра к прямой или плоскости. Эта задача является базовой. Строить перпендикулярные прямые и плоскости в перспективе сложнее, но вполне возможно.

Если отрезок, длина которого равна расстоянию между фигурами, построен, то его длину можно определить различными преобразованиями его проекций. К таким преобразованиям относится метод замены плоскостей проекций и метод вращения.

Построение угла между плоскостями имеет большое значение для перспективных изображений, когда требуется построить наклонённые вперед или назад плоские предметы, висящие на фронтальных плоскостях или на плоскостях, расположенных под углом к картинной плоскости.

Контрольные вопросы

1.Какие задачи относятся к метрическим?

2.Каково условие перпендикулярности прямой и плоскости?

3.Каково условие перпендикулярности двух прямых?

4.Каково условие перпендикулярности двух плоскостей?

4.Как читается теорема об ортогональном проецировании прямого угла?

5.Чем определяется расстояние между точками?

6.Чем определяется расстояние между двумя прямыми?

7.Чем определяется расстояние между двумя параллельными плоскостями?

8.В чём заключается способ прямоугольного треугольника?

9.Когда применяется способ прямоугольного треугольника?

10.В чём заключается способ вращения?

79

80

11.Когда применяется способ вращения?

12.Как определяется угол между прямой и плоскостью?

13.Каким способом можно воспользоваться для определения угла между прямой и плоскостью?

14.Как определяется угол между плоскостями?

15.Каким способом можно воспользоваться для определения угла между плоскостями?

Задачи

В задачах 4.1–4.5 высота линии горизонта составляет 2 м.

4.1.Построить перспективное изображение вертикального столбика (отрезка) высотой 1,5 м, стоящего на предметной плоскости на расстоянии 3 м от картины.

4.2.Построить перспективное изображение отрезка длиной 1,5 м, лежащего на предметной плоскости перпендикулярно картине и на расстоянии 3 м от неё.

4.3.Построить перспективное изображение отрезка длиной 1,5 м, лежащего на предметной плоскости параллельно картине и на расстоянии 3 м от неё.

4.4.Построить перспективное изображение отрезка длиной 1,5 м, лежащего на предметной плоскости под углом 450 к картине и на расстоянии 3 м от неё.

4.5.На перспективных изображениях (рис. 4.11, 4.12) заданы отрезки в различных положениях. Определить их натуральные размеры в масштабе картины.

4.6. Построить перспективное изображение (рис. 4.13) помещения с картиной, висящей на фронтальной стене под углом 200.

4.7. Построить перспективное изображение (рис. 4.14) помещения с дверью, открытой на 450.

Задачи 4.8–4.16 решаются на комплексном чертеже. Все заданные фигуры общего положения.

4.8.Провести прямую, пересекающую две заданные прямые и перпендикулярную заданной плоскости.

4.9.Дана прямая общего положения и одна проекция второй прямой. Построить недостающую проекцию второй прямой, если известно расстояние между прямыми.

80