Технический рисунок и начертательная геометрия. Учебное пособие

101

S

Собственная тень

Падающая тень

A

A1

AT

Рис. 6.5. Тень прямоугольника на предметной плоскости

На рисунке 6.5 построена тень прямоугольника на предметной плоскости от бесконечно удаленного источника света (солнца) S, стоящего над горизонтом. Прямоугольник стоит на предметной плоскости. Точка F – точка схода горизонталей прямоугольника, является точкой схода границ тени.

Предположим, что источник света находится на конечном расстоянии (лампа, прожектор), а тень падает на многогранную поверхность. Такой случай показан на рисунке 6.6.

Границы тени прямоугольника на предметной плоскости определяются точками пересечения основных и вторичных световых лучей. Для определения границ тени на других плоскостях необходимо решить позиционную задачу построения точки пересечения световых лучей с этими плоскостями. Построена точка А – точка пересечения основного светового луча, проходящего через вершину вертикально стоящего прямоугольника, с горизонтальной плоскостью V и точка В

– точка пересечения этого же основного светового луча с наклонной

101

Рассмотрим построение тени в изображении, построенном по методу архитекторов. Для простоты возьмём два параллелепипеда разных размеров, а источник света зададим в бесконечности направлением основного и вторичного световых лучей. Самым простым является случай, когда солнце светит строго сбоку и немного сверху. Тогда точка схода границ тени от вертикальных ребер заданной фигуры находится в бесконечности, т. е. границы тени параллельны основанию картины. Такой случай изображен на рисунке 6.7.

Для построения тени всей фигуры достаточно знать или указать положение тени одной точки. На рисунке 6.7 указано положение тени АТ точки А. Этим определяются направления основного и вторичного светового луча. Направления горизонтальных рёбер прямоугольной фигуры сходятся в точках F1 и F2. В этих же точках сходятся направления горизонталей всех граней фигуры. И в этих же точках сходятся направления горизонталей всех световых плоскостей. Поэтому направления границ тени на предметной плоскости сходятся в этих же точках.

102

Область падающей тени представляет собой многоугольник. Для его построения достаточно построить тени его вершин. Все построения аналогичны построению точки АТ. Алгоритм построения можно сформулировать следующим образом: тень данной вершины есть точка пересечения вторичного светового луча, проведённого из вторичной проекции вершины, и основного светового луча, проведённого из перспективной проекции вершины.

6.3. Тени и световые пятна в перспективе интерьера

Как правило, в перспективе интерьеров требуется строить не тень объекта, а световое пятно от лампы с абажуром. Рассмотрим некоторые примеры.

На рисунке 6.8 изображен угол комнаты с висящей на потолке лампой, прикрытой цилиндрическим абажуром. Требуется построить область, освещённую этой лампой.

Должны быть заданы следующие элементы: точка, изображающая лампу, – точка О; цилиндр, изображающий абажур, – эллипс m; точки схода линий пола и потолка. Построение начинается с определения положения проекции точки О на пол – точки О1. Это построение обычное с использованием правой точки схода. Точно так же

103

104

строится проекция абажура – эллипс m1 (на рисунке не показано). После этого строятся точки А и В – точки эллипса, изображающего световое пятно на полу. Этих элементов достаточно, чтобы построить световой конус с вершиной О. Сечением конуса горизонтальной плоскостью пола будет эллипс m/, а сечением конуса вертикальной плоскостью стены будет гипербола m//. Эллипс m/ гомотетичен (в перспективе) эллипсу m1. Центром гомотетии является точка О1, а коэффициент гомотетии определяется отношением отрезков на прямой АВ. Гипербола m// строится по точкам как линия сечения светового конуса вертикальной плоскостью. Область, ограниченная эллипсом m/ и гиперболой m//, будет световым пятном. Вне этой области будет тень.

На рисунке 6.9 изображена такая же комната. Пусть теперь лампа не имеет абажура, стоит на полу, а в комнате имеются предметы интерьера. Требуется построить их тень.

Построение обычное: вершины границ тени получаются как точки пересечения основного и вторичного световых лучей. Если на пути

104

105

вторичного светового луча встречается плоскость, например стена, то граница тени претерпевает излом. Таким образом, можно сделать вывод: для построения тени многогранной фигуры необходимо построить тень всех вершин этой фигуры и провести контурную линию, которая будет ломаной линией.

Рис. 6.9. Построение тени от точечного источника света

Предположим, что комната имеет окно, в которое падает солнечный свет. Требуется построить световое пятно от окна. Такой случай изображен на рисунке 6.10.

Исходными данными могут служить направления основного и вторичного световых лучей, которые показаны стрелками. Но может быть задана и тень какой-либо точки, например тень A/ точки А. Тень от вертикального края окна, проходящего через точку А, прерывается на подоконнике в точке С, а затем продолжается на полу в точке С/. Несуществующая тень В/ на стене от точки В даёт направление границы А/В/ светового пятна от верхней кромки окна. Однако она прерывается внутренней вертикальной кромкой окна в точке D/. Обратным ходом основного светового луча определяется точка D// на боко-

105

Рис. 6.10. Построение светового пятна от солнечного освещения

Одновременно точка D// определяет вертикальную границу светового пятна на стене и на полу, которая пройдет через точку Е/. Поскольку точки Е/ и D/ построены, то вертикальная граница тени представляет собой две перпендикулярные прямые, пересекающиеся на линии пересечения правой стены и пола комнаты.

Выводы

Теоретической основой построения теней являются позиционные задачи начертательной геометрии:

–задача построения точки пересечения прямой с плоскостью;

–задача построения точки пересечения прямой с поверхностью;

–задача построения линии пересечения плоскости с плоскостью;

–задача построения линии пересечения плоскости и поверхности.

106

107

В теории построения теней прямые и плоскости называются световыми лучами и световыми плоскостями.

Необходимо учитывать, что метрические свойства оригинала при построении тени не сохраняются. Тенью окружности может быть эллипс, парабола или гипербола. Это зависит от взаимного расположения оригинала и источника света.

Контрольные вопросы

1.Что называется геометрией теней?

2.Что такое светотень?

3.Что служит теоретической основой для построения теней?

4.Какие элементы на чертеже необходимы для построения тени?

5.Чем отличается построение собственной и падающей тени?

6.Что представляет собой тень сферы на плоскости от бесконечно удалённого источника света?

7.Что представляет собой тень сферы на плоскости от конечно удалённого источника света?

8.Что представляет собой тень многогранника на плоскости?

9.Что представляет собой тень прямой на многограннике?

10.Что представляет собой тень прямой на сфере?

11.Что представляет собой тень сферы на многограннике?

12.Что представляет собой тень фигуры на нескольких параллельных плос-

костях?

13.Что можно определить при помощи обратного хода светового луча?

Задачи

Построить тень или световое пятно.

6.1. В задачах 2.6 и 2.7 свет исходит от бесконечно удаленного источника, слева, угол падения лучей 300.

6.2. В задаче 4.1 источник света в точке (0, 0, 3).

6.3. В задаче 4.7 свет падает из двери под углом 450. Источник света – солнце.

6.4. В задаче 5.2 солнечный свет падает под углом 300 к горизонту и слева сзади под углом 200 к картине.

6.5. В задаче 5.3 свет исходит от лампы, висящей на потолке в центре комнаты.

6.6. В задаче 5.4 свет падает из люка. Источник света – лампа, расположенная над дальним углом люка на высоте 5 м от пола комнаты.

6.7. В задаче 5.5 солнечный свет падает слева и немного сзади. Угол падения световых лучей 300.

6.8. В задаче 5.6 солнечный свет падает слева. Угол падения световых лучей 300.

107

108

6.9. В прямоугольной изометрии задан цилиндр, стоящий на горизонтальной плоскости. Построить его тень на координатных плоскостях от бесконечно удалённого источника света, расположенного слева и немного выше цилиндра.

6.10. В прямоугольной изометрии задан конус, стоящий на горизонтальной плоскости. Построить его тень на координатных плоскостях от бесконечно удалённого источника света, расположенного слева и немного выше конуса.

6.11. В прямоугольной изометрии задан конус, стоящий на горизонтальной плоскости вершиной вниз. Построить его тень на координатных плоскостях от бесконечно удалённого источника света, расположенного слева и немного выше конуса.

6.12. В прямоугольной изометрии задан пустотелый цилиндр, стоящий на горизонтальной плоскости. Построить его внутреннюю тень и тень на координатных плоскостях от бесконечно удалённого источника света, расположенного слева и немного выше цилиндра.

6.13. В прямоугольной изометрии задан пустотелый конус, стоящий на горизонтальной плоскости вершиной вниз. Построить его внутреннюю тень и тень на координатных плоскостях от бесконечно удалённого источника света, расположенного слева и немного выше конуса.

6.14. В прямоугольной изометрии задан пустотелый цилиндр, лежащий на горизонтальной плоскости параллельно фронтальной плоскости. Построить его внутреннюю тень и тень на координатных плоскостях от бесконечно удалённого источника света, расположенного слева и немного выше цилиндра.

6.15. В прямоугольной изометрии задан пустотелый цилиндр, лежащий на горизонтальной плоскости параллельно профильной плоскости. Построить его внутреннюю тень и тень на координатных плоскостях от бесконечно удалённого источника света, расположенного слева и немного выше цилиндра.

6.16. В прямоугольной изометрии задан пустотелый конус, лежащий на горизонтальной плоскости так, что его ось параллельна фронтальной плоскости. Построить его внутреннюю тень и тень на координатных плоскостях от бесконечно удалённого источника света, расположенного слева и немного выше конуса.

6.17. В прямоугольной изометрии задан пустотелый конус, лежащий на горизонтальной плоскости так, что его ось параллельна профильной плоскости. Построить его внутреннюю тень и тень на координатных плоскостях от бесконечно удалённого источника света, расположенного слева и немного выше конуса.

6.18. В прямоугольной изометрии задан шар, лежащий на горизонтальной плоскости. Построить его тень на координатных плоскостях от бесконечно удалённого источника света, расположенного слева и немного выше шара.

6.19. В прямоугольной изометрии задан тор, лежащий на горизонтальной плоскости. Построить его тень на координатных плоскостях от бесконечно удалённого источника света, расположенного слева и немного выше тора.

108

109

7.ПОСТРОЕНИЕ КРИВЫХ ЛИНИЙ И ПОВЕРХНОСТЕЙ

Впрактике решения композиционных задач дизайнер часто использует кривые линии, которые являются одним из самых выразительных средств для творческого решения криволинейных форм. В этом отношении наиболее важны закономерные кривые: кривые второго порядка – коники, синусоиды, винтовые линии, спирали и др. В данной главе будут рассмотрены некоторые способы построения закономерных кривых линий.

7.1. Общий способ построения коник

Кривые второго порядка (конические сечения или коники) на чертеже определяются пятью элементами:

–пятью точками, из которых никакие три не лежат на одной пря-

мой;

–одной касательной и четырьмя точками, из которых никакие три не лежат на одной прямой;

–двумя касательными и тремя точками, не лежащими на одной прямой;

–тремя касательными, не проходящими через одну точку, и двумя точками;

–четырьмя касательными, из которых никакие три не проходят через одну точку, и одной точкой;

–одной касательной с заданной точкой касания и тремя точками, из которых никакие три не лежат на одной прямой;

–двумя касательными с заданными точками касания и одной точкой;

–пятью касательными прямыми, из которых никакие три не проходят через одну точку.

Кроме этого, элементами задания коники могут служить ось симметрии, вершина, фокус и др.

Описанные ниже способы удобны тем, что они являются общими для центрального и параллельного методов проецирования и пригодны в перспективе, в аксонометрии и в ортогональных проекциях.

Пусть будут заданы следующие условия: две касательные, точки касания на них, общая точка кривой, не принадлежащая касательным.

109

110

Рассмотрим первый случай, когда касательные пересекаются в точке. Даны две касательные АС и ВС (рис. 7.1), точки А и В являются точками касания. Дана произвольная точка D.

Рис. 7.1. Построение коники

Построение следующее. Через точку С проводится произвольная прямая m. Прямая AD пересекает прямую m в точке M, прямая BD пересекает прямую m в точке N. Пересечение прямых AN и BM есть точка, лежащая на искомой кривой второго порядка. Повторяя этот алгоритм достаточное число раз, получим множество точек коники. Не приводя подробного исследования этого метода, заметим, что при выборе точки D достаточно близко к точке С результатом построения будет гипербола. При выборе точки D достаточно близко к отрезку АВ результатом построения будет эллипс. Следовательно, возможен выбор такого положения точки D, при котором результатом построения будет парабола.

Во втором случае касательные параллельны (рис. 7.2). Построение совершенно аналогично предыдущему, но результатом всегда будет эллипс. В случае, когда отрезок АВ перпендикулярен касательным, проведённым в точках А и В, результатом построения может оказаться окружность диаметром АВ.

110