Техническая механика. Учебное пособие для СПО

ЛЕКЦИЯ № 8. Изгиб

1. Основные понятия

Изгибом называется такой вид нагружения, при котором в поперечном сечении бруса возникает внутренний силовой фактор — изгибающий момент.

Брус, работающий на изгиб, называется балкой. Плоскость, в которой расположены внешние силы и мо

менты, называют силовой плоскостью.

Если все силы лежат в одной плоскост, изгиб называют

плоским.

Плоскость, проходящая через продольную ось бруса и од ну из главных центральных осей его поперечного сечения, на зывается главной плоскостью бруса.

Если силовая плоскость совпадает с главной плоскостью бруса, изгиб называется прямым.

Если силовая плоскость не проходит через главную плос кость бруса, изгиб называют косым.

При изгибе на брус действуют внутренние силовые факторы. На балку действует пара сил с моментом m и внешняя сила F. Для определения внутренних силовых факторов пользуют

ся методом сечений.

m

y

dN

Mx1

Рис. 8а. Метод сечения балки

81

Рассмотрим равновесие участка 1 (рис. 8а). Под действием внешней пары сил участок стремится развернуться по часовой стрелке. Силы упругости, возникающие в сечении 1, удержи вают участок в равновесии.

Продольные силы упругости выше оси бруса направлены направо, а силы ниже оси направлены налево. Для равновесия участка 1 необходимо выполнить условие:

∑Fz = 0.

Продольная сила n в сечении равна нулю. Момент сил упру гости относительно оси 0х может быть получен, если сумми ровать элементарные моменты сил упругости в сечении 1—1 относительно оси 0х:

М х = ∫ydN .

A

Этот момент называется изгибающим моментом Мх = Мн. На рисунке видно, что часть волокон (выше оси) испыты вают сжатие, а волокна ниже оси растянуты. Следовательно, в сечении должен существовать не растянутый и не сжатый слой, где напряжения σ равны нулю. Этот слой называется нейтральным слоем (НС). Линия пересечения нейтрального слоя с плоскостью поперечного сечения бруса называется

нейтральной осью.

Нейтральный слой проходит через центр тяжести сечения. Здесь нейтральный слой совпадает с осью 0х.

Величина изгибающего момента в сечении определяется из уравнения равновесия:

∑mx1−1 = m−M х1 = 0;

M = m.

x1

82

Следовательно, в сечении 1—1 продольная сила равна ну лю, изгибающий момент в сечении постоянен.

Изгиб, при котором в поперечном сечении бруса возникает только изгибающий момент, называется чистым изгибом.

Рассмотрим равновесие участка бруса от свободного конца до сечения 2 (рис. 8б).

Рис. 8б. Метод сечения балки

Уравнение равновесия для участка бруса:

∑Fy = 0;

−F +Q2 = 0;

Q2 = F = const.

В сечении 2—2 действует поперечная сила, вызывающая сдвиг.

∑mx2−2 = 0;

m−F (z2 −a)−M x2 = 0.

83

Изгибающий момент в сечении:

M x2 = m−F (z2 −0),

где z2 — расстояние от сечения 2 до начала координат. Изгибающий момент зависит от расстояния сечения до

начала координат.

Изгиб, при котором в поперечном сечении бруса возни кают изгибающий момент и поперечная сила, называется

поперечным изгибом.

2. Поперечные силы и изгибающие моменты

Поперечная сила в сечении бруса считается положитель ной, если она стремится повернуть сечение по часовой стрел ке, если против — отрицательной. Если действующие на участ ке внешние силы стремятся изогнуть балку выпуклостью вниз, то изгибающий момент считается положительным, если наоборот — отрицательным.

Основные положения.

При чистом изгибе в поперечном сечении балки возникает только изгибающий момент, постоянный по величине.

При поперечном изгибе в сечении возникают изгибаю щий момент и поперечная сила.

Изгибающий момент в произвольном сечении балки чис ленно равен алгебраической сумме моментов всех внешних сил, приложенных к отсеченной части, относительно рас сматриваемого сечения.

Поперечная сила в произвольном сечении балки числен но равна алгебраической сумме проекций всех внешних сил, действующих на отсеченной части на соответствую щую ось.

Например, на балку действует пара сил с моментом m и распределенная нагрузка интенсивностью g. Балка защем лена справа (рис. 9).

Рассечем балку на участке 1 на расстоянии z1 от левого края.

84

Рис. 9. Определение изгибающих моментов в сечении

Рассмотрим равновесие отсеченной части. Из уравнения:

∑mx1 = 0 m−M x1 = 0;

M x1 = m = const.

Участок 1 является участком чистого изгиба.

Рассечем балку на участке 2 на расстоянии z2 > a от края; z2 — расстояние сечения от начала координат.

Из уравнения

∑Fy = 0

найдем поперечную силу Q2. Заменим распределенную на грузку на рассматриваемом участке равнодействующей силой q (z2 − a).

85

∑Fy = −q(z2 −a)+Q2 = 0;

Q2 = q(z2 −a).

Из уравнения моментов определим изгибающий момент в сечении:

∑mx2 = 0;

На втором участке возникает поперечный изгиб.

При действии распределенной нагрузки возникает попе речная сила, линейно зависящая от координаты сечения.

Изгибающий момент на участке с распределенной нагруз кой меняется в зависимости от координаты сечения по пара болическому закону.

Дифференциальные зависимости при прямом поперечном

изгибе.

Построение эпюр поперечных сил и изгибающих момен тов существенно упрощается при использовании дифферен циальных зависимостей между изгибающим моментом, попе речной силой и интенсивностью равномерно распределенной нагрузки (теорема Журавского): «Поперечная сила равна про изводной от изгибающего момента по длине балки»:

dM x = 0. dz

86

Интенсивность равномерно распределенной нагрузки рав на производной от поперечной силы по длине балки:

dQ = q. dz

Если Mи = const, то Q = 0; если Q = const, то q = 0.

3. Построение эпюр поперечных сил и изгибающих моментов

Последовательность построения эпюр поперечных сил и изги+

бающих моментов.

1.Под нагруженной балкой строим расчетно графическую схему.

2.Используя три уравнения:

∑Fx = 0,

∑Fy = 0,

∑M (F )= 0,

определяем реакции опор балки (обязательно выполнить про верку решения).

3.Используя метод сечений, определяем значения попереч ных сил в характерных точках, т. е. точках, в которых приложе ны внешние нагрузки (необходимо учитывать знаки моментов).

4.По полученным значениям поперечных сил строим эпю ру Qу; под балкой проводим прямую, параллельную ее оси,

иот этой прямой в характерных точках откладываем перпен дикулярные поперечным силам отрезки, соответствующие вы бранному масштабу.

5.Используя метод сечений, определяем величину Ми в тех же характерных точках и по полученным значениям строим

эпюру изгибающих моментов.

87

Характерные особенности построения эпюр Qу, Ми.

1.На участке балки, где действуют сосредоточенные силы,

эпюра Qу очерчивается прямой, параллельной оси балки, а эпю ра Ми — наклонной прямой.

2.На участке балки, где действует распределенная нагруз

ка, эпюра Qу очерчивается наклонной прямой, а эпюра Ми — выпуклостью навстречу распределенной нагрузке.

3.В точке балки, где приложена сосредоточенная сила, на

эпюре Qу наблюдается скачок на величину этой силы, а на эпю ре Ми — излом.

4.В точке балки, где приложен внешний момент, на эпюре

Qу не наблюдается никаких изменений, а на эпюре Ми наблю дается скачок на величину внешнего момента.

Рис. 10. Нагруженная балка

88

Пример. Построить эпюры поперечных сил и изгибающих моментов для нагруженной балки (рис. 10), если М = 10 кН, q = 5 кН/м.

Решение. При деформации изгиба возникает нормальное напряжение. Напряжения одинаковы в сечении балки по ши рине, но изменяются по высоте балки.

4. Расчеты на прочность при изгибе

1.∑MD (Fi )= 0;

RA AD −q AB KD −F CD −M = 0;

RA = (q AB KD + F CD + M )/AD = 13, 43 кH.

2.∑Fiy = 0;

RA −q AB −F + RD = 0;

RD = −RA + q AB + F = 4,57 кН.

Проверка :

∑M A (Fi )= 0;

−M −RD AD + F AC + q AB AK = 0.

3.QA = RA = 13,43 кН;

QB = RA −q AB = 3,43 кН; QC слева = RA −q AB = 3,43 кН;

QC справа = RA −q AB −F = −4,57 кН; QD = RA −q AB −F = −4,57 кН.

4.M A = 0;

MB = RA AB −q AB KB = 16,86 кН м; MC = RA AC −q AB KC = 23,72 кН м;

M D = RA AD −q AB KD −F CD = 10, 01 кН м.

89

Условие прочности при изгибе: рабочее напряжение должно быть меньше или равно допускаемому напряжению:

σи = Ми ≤[σи ],

Wх

где Wх — осевой момент сопротивления (величина, характе ризующая способность элементов конструкции сопротив ляться деформации изгиба).

Осевой момент сопротивления определяется по формулам: 1. Для круга:

Wx = 0,1d 3,

где d — диаметр круга. 2. Для кольца:

Wx = 0,1dн (1−а4 )

а = dвн /dн ,

где dвн — внутренний диаметр кольца; dн — наружный диаметр кольца.

3. Для прямоугольника:

bh2 Wx = 6 ,

Wy = hb2 , 6

где b и h — длина и ширина прямоугольника.

Расчет на прочность при изгибе. Рассчитать на прочность — это значит определить напряжение и сравнить его с допусти мым.

90