Техническая механика. Учебное пособие для СПО

Условие равновесия плоской системы сходящихся сил в аналитической форме. Исходя из того, что равнодействую щая равна нулю, получим:

F∑ = F 2∑x + F 2∑y F∑x = ∑Fkx = 0,

F∑ = 0, F∑y = ∑Fky = 0.

Плоская система сходящихся сил находится в равновесии, если алгебраическая сумма проекций всех сил системы на лю бую ось равна нулю.

Система уравнений равновесия плоской системы сходя щихся сил:

n

∑Fkx = 0,

0

n

∑Fky = 0.

0

При решении задач координатные оси выбирают так, чтобы решение было наиболее простым. При этом желатель но, чтобы хотя бы одна неизвестная сила совпадала с осью координат.

3. Пара сил. Момент силы

Парой сил называется система двух сил, равных по модулю, параллельных и направленных в разные стороны.

Рассмотрим систему сил (F; F′), образующих пару.

Пара сил вызывает вращение тела, и ее действие на тело оценивается моментом. Силы, входящие в пару, не уравнове шиваются, так как они приложены к двум точкам.

11

Действие этих сил на тело не может быть заменено одной равнодействующей силой.

Момент пары сил численно равен произведению моду ля силы на расстояние между линиями действия сил плеча

пары.

Момент считается положительным, если пара вращает те ло по часовой стрелке.

M (F , F′)= Fa; M > 0.

Плоскость, проходящая через линии действия сил пары, называется плоскостью действия пары.

Свойства пар сил.

1.Пару сил можно перемещать в плоскости ее действия.

2.Эквивалентность пар. Две пары, моменты которых рав ны, эквивалентны (действие их на тело аналогично).

3.Сложение пар сил. Систему пар сил можно заменить рав нодействующей парой.

Момент равнодействующей пары равен алгебраической сумме моментов пар, составляющих систему:

M ∑ = F1a1 + F2a2 + F3a3 + ...+ Fnan ;

n

M ∑ = ∑mk = 0.

0

Равновесие пар. Для равновесия пар необходимо и доста точно, чтобы алгебраическая сумма моментов пар системы равнялась нулю:

n

M ∑ = 0 ∑mk = 0.

0

Момент силы относительно точки. Сила, не проходящая че рез точку крепления тела, вызывает вращение тела относи

12

тельно точки, поэтому действие такой силы на тело оценива ется моментом.

Момент силы относительно точки численно равен произ ведению модуля силы на расстояние от точки до линии дейст вия силы. Перпендикуляр, опущенный из точки на линию действия силы, называется плечом силы.

Момент обозначается:

MO = (F ) или mO (F ).

Момент считается положительным, если сила разворачи вается по часовой стрелке.

Пример. На концы консолей (часть балки, выступающая за опору) балки действуют две равные параллельные силы F = F′, причем сила F направлена вверх, а сила F′ — вниз. Определить реакции опор, если пролет балки l и длина каждой консоли а.

Решение. На данную консольную балку действует пара сил (F, F′), стремящаяся повернуть балку по часовой стрелке. Мо мент этой пары М = −F (l + 2a). Так как балка находится в рав новесии, а пара может быть уравновешена только парой, то реакции опор Ra и Rb, должны также составлять пару (Ra, Rb), стремящуюся повернуть балку в противоположную сторону, т. е. против часовой стрелки. Момент этой пары сил реакций:

MR =Ra 1.

Согласно условию равновесия пар,

M + M R = −F (l + 2a)+ Ral = 0,

откуда

13

4. Плоская система произвольно расположенных сил

Теорема Пуансо о параллельном переносе сил. Силу можно перенести параллельно линии ее действия, при этом нужно добавить пару сил с моментом, равным произведению модуля силы на расстояние, на которое перенесена сила.

Приведение к точке плоской системы произвольно располо+ женных сил.

Линии действия произвольной системы сил не пересекают ся в одной точке, поэтому для оценки состояния тела такую систему необходимо упростить. Для этого все силы системы переносят в одну произвольно выбранную точку, называемую точкой приведения. При этом применяют теорему Пуансо. При любом переносе силы в точку, не лежащую на линии дей ствия, добавляют пару сил.

Появившиеся при переносе пары называют присоединен+ ными парами.

Дана плоская система произвольно расположенных сил. Переносим все силы в точку 0. Получим пучок сил в точке 0, который можно заменить одной силой — главным вектором системы. Образующуюся систему пар сил можно заменить од ной эквивалентной парой — главным моментом системы.

Главный вектор равен геометрической сумме векторов про извольной плоской системы сил. Проецируем все силы системы на оси координат и, сложив соответствующие проекции на оси, получим проекции главного вектора.

∑FГЛч = ∑Fkx ; ∑FГЛу = ∑Fky .

По величине проекций главного вектора на оси координат находим модуль главного вектора:

FГЛ = FГЛх2 + FГЛу2 .

14

Главный момент системы сил равен алгебраической сумме моментов сил системы относительно точки приведения.

М ГЛ 0 = m1 + m2 + m3 + ...+ mn ;

М ГЛ 0 = ∑m0 (Fk ).

Произвольная плоская система сил приводится к одной силе (главному вектору системы сил) и одному моменту (глав ному моменту системы сил).

Влияние точки приведения. Точка приведения выбрана про извольно. При изменении положения точки приведения вели чина главного вектора не изменится.

Величина главного момента при переносе точки приведе ния изменится, так как меняются расстояния векторов сил до новой точки приведения.

На основании теоремы Вариньона о моменте равнодей ствующей можно определить точку на плоскости, относитель но которой главный момент равен нулю. Тогда произвольная плоская система может быть заменена одной силой — равно действующей системы сил.

Численно равнодействующая равна главному вектору систе мы сил, но приложена к другой точке, относительно которой главный момент равен нулю. Равнодействующая обозначает

ся F∑.

Численно ее значение определяется так же, как главный вектор системы сил:

F∑ =FГЛ ;

15

Точка приложения равнодействующей:

d = M ГЛ ,

FГЛ

где d — расстояние от выбранной точки приведения до точки приложения равнодействующей; МГЛ — величина главного момента относительно выбран ной точки приведения;

FГЛ — величина главного вектора системы сил. Возможно несколько вариантов при приведении системы

сил к точке.

1.FГЛ = 0

М ГЛ 0 ≠0 тело вращается вокруг неподвижной оси.

2.МГЛ 0 = 0

FГЛ ≠0; Fгл = F∑ тело движется прямолинейно уско

ренно.

3.М ГЛ 0 = 0

FГЛ = 0 тело находится в равновесии.

5.Балочные системы

Балка — это конструктивная деталь в виде прямого бруса, закрепленного на опорах, и изгибаемая приложенными к ней силами.

Высота сечения балки незначительна по сравнению с ее длиной.

Виды нагрузок. По способу приложения нагрузки делятся на сосредоточенные и распределенные. Если реально переда ча нагрузки происходит на пренебрежимо малой площадке (в точке), нагрузка называется сосредоточенной.

Если нагрузка распределена по значительной площадке или линии (давление воды на плотину, снега на крышу и т. д.), то она является распределенной.

16

В статике для абсолютно твердых тел распределенную на грузку можно заменить равнодействующей сосредоточенной силой.

Жесткая заделка (защемление). Опора не допускает переме щений и поворотов. Заделку заменяют двумя составляющими силы RАх и RАу и парой моментов МR. Для определения этих неизвестных используется система уравнений:

n

∑Fkx = 0;

0

n

∑Fky = 0;

0

n

∑mkA = 0.

0

Каждое уравнение имеет одну неизвестную величину и ре шается без подстановки.

Шарнирно+подвижная опора. Опора допускает поворот во круг шарнира и перемещение вдоль опорной поверхности.

Шарнирно+неподвижная опора. Опора допускает поворот вокруг шарнира и может быть заменена двумя составляющи ми силы вдоль осей координат.

Неизвестны три силы, две из них — вертикальные, следо вательно, для определения неизвестных следует использовать систему уравнений во второй форме:

17

Составляются уравнения моментов относительно точки крепления балки. Поскольку момент силы, проходящей че рез точку крепления, равен 0, в уравнении остается одна не известная сила.

Из уравнения (3) определяется реакция RВх.

Из уравнения (1) определяется реакция RВу.

Из уравнения (2) определяется реакция RАу.

Для контроля правильности решения используется допол нительное уравнение:

n

0∑Fky = 0.

При равновесии твердого тела, где можно выбрать три точ ки, не лежащие на одной прямой, используется система урав нений в третьей форме:

n

∑mA (Fk )= 0;

0

n

∑mB (Fk )= 0;

0

n

∑mC (FC )= 0.

0

6. Пространственная сходящаяся система сил

Момент силы относительно оси равен моменту проекции силы на плоскость, перпендикулярную оси, относительно точки пересечения оси с плоскостью.

М 00 (F )= прFа,

где а — расстояние от оси до проекции F;

прF — проекция силы на плоскость, перпендикулярную оси 00.

18

прF = Fcosα;

М 00 (F )= Fcosα.

Момент считается положительным, если сила разворачи вает тело по часовой стрелке (смотреть со стороны положи тельного направления оси).

Если линия действия силы пересекает ось или линия дейст вия силы параллельна оси, моменты силы относительно этой оси равны нулю.

Силы и ось лежат в одной плоскости, они не могут повер нуть тело вокруг оси.

Вектор в пространстве. В пространстве вектор силы прое цируется на три взаимно перпендикулярные оси координат. Проекции вектора образуют ребра прямоугольного параллеле пипеда, вектор силы совпадает с диагональю.

Модуль вектора определяется из формулы:

F = Fx2 + Fy2 + Fz2 ,

где Fx = Fcosαx; Fy = Fcosαy; Fz = Fcosαz;

αx, αy, αz — угол между вектором F и осями координат.

Пространственная сходящаяся система сил — это система сил, не лежащих в одной плоскости, линии действия которых пересекаются в одной точке.

Равнодействующую пространственной системы сил можно определить, построив пространственный многоугольник:

F∑ = F1 + F2 + F3 +...+ Fn .

19

Равнодействующая системы сходящихся сил приложена в точке пересечения линий действия сил системы.

Модуль равнодействующей можно определить аналитиче ски, используя метод проекций — совмещая начало координат с точкой пересечения линий действия сил системы и проеци руя все силы на оси координат. Суммируем соответствующие проекции, получаем проекции равнодействующей на оси ко ординат:

n

F∑x = ∑Fkx ;

0

n

F∑y = ∑Fky ;

0

n

F∑z = ∑Fkz .

0

Модуль равнодействующей системы сходящихся сил:

F∑ = F∑2 x + F∑2 y + F∑2 z .

Направление вектора равнодействующей определяется углами.

αx = (F∑ F∑x );

αy = (F∑ F∑y );

αz = (F∑ F∑2 z ),

20