Техническая механика. Учебное пособие для СПО

где τ — касательное напряжение; Q — поперечная сила;

А — площадь сдвига;

F — внешняя сдвигающая сила; z — количество деталей.

Условие прочности при сдвиге (срезе).

Q

τс = Aс ≤[τc ],

где τс — допускаемое напряжение сдвига;

τс = (0,25 — 0,35)τσn .

При разрушении деталь перерезается поперек. Разруше ние детали под действием поперечной силы называют сре зом.

Часто одновременно со сдвигом происходит смятие бо ковой поверхности в месте контакта в результате передачи нагрузки от одной поверхности к другой. При этом на по верхности возникают сжимающие напряжения, называемые напряжениями смятия, σ см.

Условие прочности при смятии:

F

σсм = Асм ≤[σсм ];

Асм = d δ,

где d — диаметр окружности сечения;

δ — наименьшая высота соединяемых пластин; Асм — расчетная площадь смятия; [σсм] — допускаемое напряжение смятия;

F — сила взаимодействия между деталями.

71

2. Геометрические характеристики плоских сечений

При растяжении, сжатии, смятии и сдвиге деталь сопротив ляется деформации всем сечением одинаково. В этом случае геометрической характеристикой сечения является площадь.

При кручении и изгибе сечение сопротивляется деформа ции неодинаково, при расчете напряжений появляются другие геометрические характеристики сечения, влияющие на сопро тивления сечения деформированию.

Статический момент площади сечения.

Если разбить сечение на бесконечно малые площадки dА, умножить каждую площадку на расстояние до оси координат и проинтегрировать полученное выражение, получим статиче ский момент площади сечения.

Относительно оси 0х:

Sx = ∫yAd .

A

Относительно оси 0у:

Sy = ∫xdA.

A

Для симметричного сечения статические моменты каждой половины площади равны по величине и имеют разный знак. Следовательно, статический момент относительно оси симметрии равен нулю.

Статический момент используется при определении поло жения центра тяжести сечения:

n

∑Ak xk

∑Ak

0

72

n

∑Ak yk

∑Ak

0

n

∑Ak yk ≈ ∫ydA.

0

Положение центра тяжести определяется по формулам:

XC = Sy ; A

yC = Sx . A

Центробежным моментом инерции называется взятая по всей площади сумма произведений элементарных площадок на обе координаты:

J xy = ∫xydA.

Центробежный момент инерции может быть положитель ным, отрицательным и равным нулю. Центробежный момент инерции относительно осей, проходящих через центр тяжести сечения, равен нулю.

Оси, относительно которых центробежный момент равен нулю, называются главными. Главные оси, проходящие через центр тяжести, называются главными центральными осями се+

чения.

Осевым моментом инерции сечения относительно некото рой оси, лежащей в этой же плоскости, называется взятая по всей площади сумма произведений элементарных площадок на квадрат их расстояния до этой оси.

73

Осевой момент инерции сечения относительно оси 0х:

J x = ∫y 2dA.

A

Осевой момент инерции сечения относительно оси 0у:

J y = ∫x 2dA.

A

Полярным моментом инерции сечения относительно неко торой точки (полюса) называется взятая по всей площади сум ма произведений элементарных площадок на квадрат их рас стояния до этой точки:

J p = ∫p2dA,

A

где р — расстояние до полюса (центра поворота).

р2 = х2 + у2 ,

полярный момент инерции сечения равен сумме осевых:

J p = J x + J y .

Осевые моменты инерции характеризуют сопротивление сечения повороту относительно соответствующей оси.

Полярный момент инерции характеризует сопротивление сечения повороту вокруг полюса (начала координат).

3. Деформации при кручении

Кручение круглого бруса происходит при нагружении его парами сил с моментами в плоскостях, перпендикулярных

74

продольной оси. При этом образующие бруса искривляются и разворачиваются на угол γ, называемый углом сдвига (угол поворота образующей). Поперечные сечения разворачивают ся на угол ϕ, называемый углом закручивания (угол поворота сечения).

Длина бруса и размеры поперечного сечения при круче нии не изменяются.

Связь между угловыми деформациями определяется со отношением:

νl

γ= R ,

где l — длина бруса;

R — радиус сечения.

Длина бруса значительно больше радиуса сечения, следо вательно, ϕ >> γ.

При кручении принимаются следующие гипотезы.

1.Плоских сечений: поперечное сечение бруса, плоское

иперпендикулярное продольной оси, после деформации остается плоским и перпендикулярным продольной оси.

2.Радиус, проведенный из центра поперечного сечения бруса, после деформации остается прямой линией (не ис кривляется).

3.Расстояние между поперечными сечениями после де формации не меняется. Ось бруса не искривляется, диамет ры поперечных сечений не меняются.

Кручением называется нагружение, при котором в попе речном сечении бруса возникает только один внутренний си ловой фактор — крутящий момент.

Внешними нагрузками также являются две противопо ложно направленные пары сил.

Внутренние силовые факторы при кручении рассмотрим на примере круглого бруса. Брус рассечем плоскостью и рас смотрим равновесие отсеченной части. Сечение рассматри вается со стороны отсеченной части.

75

Внешний момент пары сил разворачивает участок бру са против часовой стрелки, внутренние силы упругости со

противляются повороту. В каждой точке сечения возникает поперечная сила dQ. Каждая точка сечения имеет симме тричную, где возникает поперечная сила, направленная в об ратную сторону. Эти силы образуют пару с моментом:

dm = pdQ,

где р — расстояние до центра сечения. Сумма поперечных сил в сечении равна нулю:

∑dQ = 0.

С помощью интегрирования получим суммарный момент сил упругости, называемый крутящим моментом:

М л = ∫dm = ∫pdQ.

Aa

Практически крутящий момент определяется из условия рав новесия отсеченной части бруса.

Крутящий момент в сечении равен сумме моментов внешних сил, действующих на отсеченную часть:

∑mz = 0,

т. е. −m+ M z = 0;

M z = m = M z .

Крутящие моменты могут меняться вдоль оси бруса. Пос ле определения величин моментов по сечениям строится гра фик — эпюра крутящих моментов вдоль оси бруса.

76

Крутящий момент считается положительным, если момен ты внешних сил направлены по часовой стрелке, в этом слу чае момент внутренних сил упругости направлен против ча совой стрелки.

Порядок построения эпюры. Ось эпюры параллельна оси бруса, значения моментов откладывают от оси вверх или вниз, масштаб построения выдерживают обязательно.

4. Напряжения при кручении

На поверхности бруса проводим сетку из продольных и по перечных линий и рассматриваем рисунок, образовавшийся на поверхности после деформации.

1 τ 2

ττ

ρ

4τ 3

Рис. 7. Деформация бруса

Поперечные окружности, оставаясь плоскими, поворачи ваются на угол ϕ, продольные линии искривляются, прямо угольники превращаются в параллелограммы. Рассмотрим эле мент бруса 1234 после деформации.

При кручении возникает напряженное состояние, назы ваемое «чистый сдвиг» (рис. 7).

При сдвиге на боковой поверхности элемента 1234 возни кают касательные напряжения, равные по величине, элемент деформируется.

Материал подчиняется закону Гука. Касательное напряже ние пропорционально углу сдвига. Закон Гука при сдвиге:

r =G λ,

77

где G — модуль упругости при сдвиге; γ — угол сдвига.

Напряжение в любой точке поперечного сечения. Рассмот рим поперечное сечение круглого бруса.

Под действием внешнего момента в каждой точке попереч ного сечения возникают силы упругости dQ:

dQ =τdA,

где τ — касательное напряжение; dA — элементарная площадка.

При симметрии сечения силы dQ образуют пары. Элементарный момент силы dQ относительно центра

круга:

dm = pdQ,

где р — расстояние от точки до центра круга.

Суммарный момент сил упругости получается при сло жении (интегрировании) элементарных моментов:

Mк = ∫dm = ∫pdQ = ∫τpdA.

A A A

После некоторых преобразований получим формулу для определения напряжений в точке поперечного сечения:

τr = Mк p , J p

где J p = ∫p2dA.

A

78

При p = 0 τк = 0; касательное напряжение при кручении пропорционально расстоянию от точки до центра сечения. Полученный интеграл Jр называется полярным моментом инер+ ции сечения и является геометрической характеристикой сече ния при кручении. Она характеризует сопротивление сечения скручиванию.

Анализ полученной формулы для Jр показывает, что слои, расположенные дальше от центра, испытывают большие на пряжения.

Максимальные напряжения при кручении возникают на поверхности.

Определим максимальное напряжение, учитывая, что

P max =d / 2,

где d — диаметр бруса круглого сечения.

Для круглого сечения полярный момент инерции рассчи тывается по формуле:

πd 4

J p = 32 .

Максимальное напряжение возникает на поверхности, по этому:

τmax = Мкd / 2.

к J p

Jp/pmax обозначают Wp и называют моментом сопротивления при кручении, или полярным моментом сопротивления сечения:

Wp = J p .

pmax

79