Техническая механика. Учебное пособие для СПО

Изменение угловой скорости во времени определяется угловым ускорением ε.

ε= dω. dt

Частные случаи вращательного движения. Равномерное вращение (угловая скорость постоянна):

ω= const.

Уравнение равномерного вращения:

ν= ν0 + ωе,

где ν0ν — угол поворота до начала отсчета.

Равнопеременное вращение (угловое ускорение постоянно):

ε= const.

Уравнение равнопеременного вращения:

где ν0 — начальная угловая скорость.

Угловое ускорение при ускоренном движении — величина положительная; угловая скорость будет все время возрастать.

Угловое ускорение при замедленном движении — величина отрицательная, угловая скорость убывает.

4. Сложное движение твердого тела

Сложное движение — это такое движение, которое можно разложить на несколько простых. Простыми движениями считаются поступательное и вращательное.

31

При решении задач на сложное движение используют тео рему о сложении скоростей.

При сложном движении точки абсолютная скорость в каж+

дый момент времени равна геометрической сумме переносной

(νе) и относительной (νк) скоростей.

ν = νe2 + νr2 + 2νeνr cosα,

где α — угол между векторами νе и νr.

Плоскопараллельным, или плоским называется такое дви жение твердого тела, при котором все точки тела перемещают ся параллельно некоторой неподвижной в рассматриваемой системе отсчета плоскости.

Плоскопараллельное движение можно изучать, рассматри вая любое плоское сечение тела, параллельное неподвижной плоскости, называемой основной.

Все точки тела, расположенные на прямой, перпендику лярной к основной плоскости, движутся одинаково.

Плоскопараллельное движение изучается двумя методами: методом разложения сложного движения на поступательное и вращательное и методом исключения скоростей.

Метод разложения сложного движения на поступательное

ивращательное. Плоскопараллельное движение раскладывают на два движения: поступательное вместе с некоторым полюсом

ивращательное относительно этого полюса.

Разложение используют для определения скорости любой точки тела, применяя теорему о сложении скоростей (рис. 1).

Рис. 1. Разложение сложного движения

32

ЛЕКЦИЯ № 4. Динамика

1. Основные понятия и аксиомы динамики

Динамика — это раздел теоретической механики, в котором устанавливается соотношение между движением тел и дейст вующими на них связями.

В динамике решают два типа задач:

1)определяют параметры движения по заданным схемам;

2)определяют силы, действующие на тело, по заданным кинетическим параметрам движения.

При поступательном движении все точки тела движутся

одинаково, поэтому тело можно принять за материальную точку.

Если размеры тела малы по сравнению с его траекторией, его тоже можно рассматривать как материальную точку, при этом точка совпадает с центром тяжести тела.

При вращательном движении тела точки могут двигаться неодинаково, в этом случае отдельные положения динамики можно применять только к отдельным точкам, а материаль ный объект рассматривать как совокупность материальных точек.

Исходя из этого, динамику делят на динамику точки и ди намику материального тела.

Аксиомы динамики. Законы динамики обобщают результа ты многочисленных опытов и наблюдений. Механика, осно ванная на этих законах, сформулированных как аксиомы, на зывается классической.

Первая аксиома (принцип инерции). Всякая изолирован ная материальная точка находится в состоянии покоя или рав номерного и прямолинейного движения, пока приложенные силы не выведут ее из этого состояния.

34

Это состояние называют состоянием инерции. Вывести точку из этого состояния, т. е. сообщить ей некоторое ускоре ние, может внешняя сила.

Всякое тело (точка) обладает инертностью. Мерой инертно сти является масса тела.

Массой называется количество вещества в объеме тела. В классической механике это величина постоянная.

Вторая аксиома (второй закон Ньютона — основной закон динамики). Зависимость между силой, действующей на мате риальную точку, и сообщаемым ей ускорением:

F =ma,

где m — масса тела;

а — ускорение точки.

Ускорение, сообщаемое материальной точке силой, пропор+ ционально величине силы и совпадает с направлением силы.

Основной закон динамики в дифференциальной форме:

На все тела на Земле действует сила тяжести, она сообщает телу ускорение свободного падения, направленное к центру Земли:

G =mg,

где g — ускорение свободного падения.

Третья аксиома (третий закон Ньютона). Силы взаимодейст вия двух тел равны по величине и противоположны по направ лению (направлены по одной прямой в противоположные сто роны).

35

F1 = F2 ;

F1 = m1a1;

F2 = m2a2 .

Откуда m1a1 = m2a2

или m1 = a2 . m2 a1

При взаимодействии ускорения обратно пропорциональ ны массам тел.

Четвертая аксиома (закон независимости действия сил). Каждая сила системы сил действует так, как она действовала бы одна.

Ускорение, сообщаемое точке системой сил, равно геомет рической сумме ускорений, сообщаемых точке каждой силой в отдельности.

2. Трение. Виды трения

Трение — это сопротивление, возникающее при дви жении одного шероховатого тела по поверхности другого. При скольжении тел возникает трение скольжения, при ка чении — трение качения. Сопротивление движению в раз ных случаях различно.

Трение скольжения. Причиной этого вида трения являет ся механическое зацепление выступов. Сила сопротивления движению при скольжении называется силой трения сколь+ жения.

Законы трения скольжения.

1. Сила трения скольжения прямо пропорциональна силе нормального давления:

Fтр = Ff = fR,

36

где R — сила нормального давления, направленная перпен дикулярно опорной поверхности;

f — коэффициент трения скольжения.

В случае движения тела по наклонной плоскости:

R =G cos α,

где α — угол наклона к плоскости.

Сила трения всегда направлена в сторону, обратную направ+

лению движения.

2. Сила трения меняется от нуля до некоторого максималь ного значения, называемого силой трения покоя (статическое трение):

0 < Ff ≤Ff 0 ,

где Ff0 — cтатическая сила трения (сила трения покоя).

3. Сила трения при движении меньше силы трения покоя. Сила трения при движении называется динамической силой тре+

ния (Ff).

Ff ≤Ff 0 .

Так как сила нормального давления, зависящая от веса и на правления опорной поверхности, не меняется, то различают статический и динамический коэффициенты трения:

Ff = fR;

Ff 0 = f0R.

Коэффициент трения скольжения зависит от следующих факторов:

1) от материала тела. Все материалы по этому параметру делятся на фрикционные (с большим коэффициентом тре ния) и антифрикционные (с малым коэффициентом трения);

37

2)от наличия смазки;

3)от скорости взаимного перемещения.

Трение качения. Сопротивление при качении связано с вза имной деформацией грунта и колеса и значительно меньше трения скольжения.

Обычно считают грунт мягче колеса, тогда в основном де формируется грунт, и в каждый момент колесо должно пере катываться через выступ грунта. Для равномерного качения колеса необходимо прикладывать силу FДВ.

Условие качения колеса состоит в том, что движущий мо мент должен быть не меньше момента сопротивления:

FДВ r ≥Nk;

N = G;

G

FДВ ≥k r ,

где k — максимальное значение плеча (половина колеса) при нимается за коэффициент трения качения. Значения k оп ределяются экспериментально.

3. Основы киностатики

Материальная точка, движение которой в пространстве не ограничено какими нибудь связями, называется свобод+ ной. Задачи решаются с помощью основного закона дина мики.

Материальные точки, движение которых ограничено свя зями, называются несвободными. Для этих точек необходимо определять реакции связей. Они движутся под действием активных сил и ограничивающих движение реакций связей (пассивных сил).

Несвободные материальные точки освобождаются от свя зей: связи заменяются их реакциями. Далее несвободные точ ки рассматриваются как свободные (принцип освобождаемо сти от связей).

38

Инертность — это способность тела сохранять свое состоя ние неизменным, это внутреннее свойство всех материаль ных тел.

Сила инерции — это сила, возникающая при разгоне или торможении тела (материальной точки) и направленная в об ратную сторону от ускорения. Силу инерции можно измерить, она приложена к «связям» — телам, связанным с разгоняю щимся или тормозящим телом.

Сила инерции определяется по формуле:

a

Рис. 2а. Пример расчета силы инерции

Силы, действующие на материальные точки m1 и m2 (рис. 2а) при разгоне платформы, соответственно равны

Fm1 = m1a,

F = m a.

m2 2

Разгоняющееся тело (платформа) с массой m силу инерции не воспринимает, так как иначе разгон платформы был бы не возможен.

При вращательном движении (криволинейном) возникаю щее ускорение принято представлять в виде двух составляю щих: нормального аn и касательного аt. Поэтому при рассмот

39

рении вращательного движения возникают две составляющие силы инерции: нормальная и касательная.

При равномерном движении по дуге всегда возникает нор мальное ускорение, касательное ускорение равно нулю, по этому действует только нормальная составляющая силы инер ции, направленная по радиусу из центра дуги (рис. 2б).

Рис. 2б. Пример расчета силы инерции

ω= const;

Принцип киностатики (принцип Даламбера). Этот принцип используют для упрощения решения технических задач.

40