Техническая механика. Учебное пособие для СПО

По условию прочности при изгибе проводят проверочные расчеты после окончания конструирования балок.

Для балок из хрупких материалов расчеты ведут по растя нутой и сжатой зоне одновременно.

При проектировочном расчете определяют потребные раз меры поперечных сечений балки или подбирают материал. Схема нагружения и действующие нагрузки известны.

По условию прочности можно определить нагрузочную способность балки:

Ми = Wp [σ ].

При прямом поперечном изгибе в поперечных сечениях бруса возникают изгибающий момент Ми, который обуслов ливает возникновение нормального напряжения σи, и попе речная сила Qу, которая обусловливает возникновение в этом же сечении касательного напряжения τи.

Под действием внешних сил ось бруса испытывает линей ное перемещение у и угловое перемещение ϕ.

Существует несколько методов определения перемеще ний сечений при изгибе. Один из них основан на дифферен цировании уравнения упругой линии, более рациональный способ — использование интегралов Мора. Метод Мора — универсальный способ определения линейных и угловых пе ремещений в любых системах. Для практических расчетов линейные и угловые перемещения определяются по форму лам, которые составлены с учетом вида нагрузок, направле

91

ЛЕКЦИЯ № 9. Сочетание основных деформаций

1. Теория напряженного состояния

Напряженное состояние в точке характеризуется нормаль ными и касательными напряжениями, возникающими на всех площадках (сечениях), проходящих через данную точку. Обычно достаточно определить напряжения на трех взаимно перпендикулярных площадках, проходящих через рассматри ваемую точку. Точка изображается в виде маленького элемен та в форме параллелепипеда.

Положения теории напряженного состояния.

1.Напряженное состояние в данной точке полностью определено, если известны напряжения по любым взаимно перпендикулярным площадкам.

2.Среди множества площадок, которые можно провести через данную точку, есть три такие взаимно перпендикуляр ные площадки, на которых отсутствуют касательные напря жения, эти площадки называются главными, а нормальные напряжения, возникающие в них, называются главными на+

пряжениями: σ1; σ2; σ3.

Одно из этих напряжений — максимальное σ1, одно — ми нимальное σ3.

Классификация видов напряженного состояния проводит ся по главным напряжениям:

1)если три главных напряжения равны нулю, то напря женное состояние называется объемным (трехосным);

2)если одно из главных напряжений равно нулю, напря женное состояние называют плоским (двухосным);

3)если два из главных напряжений (σ2 = 0) противополож ны по знаку, напряженное состояние называется упрощен

ным плоским состоянием;

93

4) если лишь одно из главных напряжений не равно нулю, напряженное состояние называется линейным. Совокупность простых деформаций (сжатие, срез, смятие,

кручение, изгиб) относятся к простым деформациям.

Сложное деформированное состояние возникает, если де таль одновременно подвергается нескольким простейшим на гружениям.

Такие состояния возникают в заклепочных соединениях (срез и смятие), в болтовых соединениях (растяжение и скру чивание), при поперечном изгибе бруса (изгиб и сдвиг). Час то одним из видов нагружений (незначительным) пренебре гают. Например, длинные балки рассчитываются только на изгиб.

В ряде случаев нормальные и касательные напряже ния, возникающие в детали, имеют одинаковый порядок, и пренебрегать ими нельзя. Тогда проводят расчет при сложном деформированном состоянии. Сложность расче та заключается в отсутствии экспериментальных данных о предельных напряжениях, так как провести испытания из за множества вариантов нагружения практически не возможно.

Для упрощения расчетов в этом случае применяют теории прочности, смысл которых заключается в том, что реальные сложные деформированные состояния заменяют равноопас ным простым.

Опасное состояние при этом может быть вызвано различ ными факторами: нормальные напряжения могут достигнуть предела текучести или предела прочности, касательные на пряжения могут достигнуть опасного значения или накоп ленная энергия деформирования может стать слишком боль шой и вызвать разрушение.

Универсального критерия, позволяющего рассчитать пре дельное состояние для любого материала, нет. Разработано несколько гипотез предельных состояний, при расчетах ис пользуют наиболее подходящую гипотезу. Это позволяет из бегать дорогостоящих испытаний конструкций.

94

В настоящее время для расчета валов при совместном действии изгиба и кручения используют только третью (ги потеза наибольших касательных напряжений) и четвертую (гипотеза потенциальной энергии изменения формы) гипо тезы прочности.

2. Расчет круглого бруса на изгиб с кручением

В случае расчета круглого бруса под действием изгиба и кру чения необходимо учитывать нормальные и касательные на пряжения, так как максимальные напряжения в обоих слу чаях возникают на поверхности.

Расчет ведется по теории прочности, заменяя сложное на пряженное состояние равноопасным простым.

Максимальное напряжение кручения в сечении:

τк = Мк .

Wр

Максимальное напряжение изгиба в сечении:

σи = Ми .

Wх

По одной из теорий прочности, в зависимости от материа ла бруса, рассчитывают эквивалентное напряжение для опас ного сечения и проверяют брус на прочность, используя допус каемое напряжение изгиба для материала бруса.

Для круглого бруса моменты сопротивления сечения сле дующие:

при кручении:

Wp = πd 3 ≈0,2d 3; 16

95

Wp

Wx = 2 ;

при изгибе:

Wx = πd 3 ≈0,1d 3. 32

При расчете по третьей теории прочности эквивалентное напряжение рассчитывается по формуле:

σэкв 111 = σи2 + 4τл2 .

Теория применима для пластичных и хрупких материалов. При расчете по пятой теории прочности эквивалентное на

пряжение рассчитывается по формуле:

σэкв V = σи2 + 3τк2 .

Эквивалентное напряжение при расчете по теории проч ности lll:

96

Условие прочности:

Эквивалентное напряжение при расчете по теории проч ности V:

где М экв V = Ми2 + 0,75Мк2 — эквивалентный момент.

Условие прочности:

3. Устойчивость сжатых стержней

Некоторые элементы конструкции, называемые стержня+ ми, длина которых гораздо больше их поперечных размеров, под действием сжимающих сил испытывают деформацию продольного изгиба.

Продольным изгибом называется деформация стержня большой длины от сжимающей нагрузки в результате потери жесткости или потери упругости.

Нагрузка, при которой стержень теряет устойчивость, называется критической силой. Она определяется по форму ле Эйлера:

97

где Е — модуль упругости первого рода (модуль Юнга); Jmin — минимальный осевой момент инерции сечения;

μ — коэффициент приведения длины, который характе ризует зависимость критической силы от способа закреп ления конца стержня.

Минимальный осевой момент инерции сечения Jmin опре деляется по формулам/

1. Для круга:

J x = J y = πd 4 = 0,05d 4 . 64

2. Для кольца:

J x = 0,05dн4(1−а4 ),

где a = dвн / dн.

3. Для прямоугольника:

bh3

J [ = 12 ,

J y = hb3 . 12

Для того чтобы стержень сохранял устойчивую форму равновесия, величина сжимающей силы должна быть мень ше критической:

Fсж < Fкр .

98

Величина, которая показывает, во сколько раз сжимающая сила должна быть меньше критической силы, называется ра+ бочим коэффициентом устойчивости:

ny = Fкр .

Fсж

Условие устойчивости сжатых стержней: рабочий коэффи циент устойчивости должен быть больше или равен допусти мому коэффициенту устойчивости:

Допускаемый коэффициент устойчивости [nу] задает конструктор, учитывая при этом материал и способы за крепления концов стержня, режим его работы и характер нагрузок.

Под действием критической силы в поперечных сечениях стержня возникает критическое напряжение, которое опре деляется по формуле:

λ= мl — геометрическая гибкость стержня. i

99