Техническая механика. Учебное пособие для СПО

7. Центр тяжести

Сила тяжести — равнодействующая сил, она распределена по всему объему тела. Силы притяжения, приложенные к части цам твердого тела, образуют систему сил, линии действия которых сходятся в центре Земли. Так как радиус Земли зна чительно больше размеров любого земного тела, силы притя жения можно считать параллельными.

Для определения точки приложения силы тяжести (равно действующей параллельных сил) применим теорему Вариньо на о моменте равнодействующей:

«Момент равнодействующей относительно оси равен алгеб+ раической сумме моментов сил системы относительно любой

точки».

Тело состоит из нескольких частей, силы тяжести которых gk приложены в центрах тяжести (ЦТ) этих частей.

Равнодейcтвующая (сила тяжести всего тела) приложена в неизвестном пока центре G.

хС, уС и zС — координаты центра тяжести G.

хk, уk и zk — координаты центров тяжести частей тела. Из теоремы Вариньона следует:

n

n∑gk yk

n

n∑gk xk

n

n∑gk zk

21

В однородном теле сила тяжести пропорциональна объе му V:

G =γV ,

где γ — вес единицы объема. Для однородных тел:

nn

nn

nn

∑γVk zk ∑Vk zk

где Vk — объем элемента тела; V — объем всего тела.

Центр тяжести однородных плоских тел (плоских фигур). Для плоских тел справедливо выражение:

V = Ah,

где А — площадь фигуры, h — ее высота.

После подстановки в приведенные выше формулы полу чим:

22

где Аk — площадь части сечения;

хk, уk — координаты ЦТ частей сечения. Выражение

n

∑Ak xk

0

называется статическим моментом площади (Sу).

ЛЕКЦИЯ № 3. Кинематика

1. Основные понятия кинематики

Основные кинематические параметры.

Траектория — это линия, которую очерчивает материаль ная точка при движении в пространстве; траектория может быть прямой и кривой, плоской и пространственной линией. Уравнение траектории при плоском движении:

y = f (x).

Пройденный путь. Путь (S) измеряется вдоль траектории в направлении движения.

Уравнение движения точки. Уравнение, которое опреде ляет положение движущейся точки в зависимости от време ни, называется уравнением движения точки.

Положение точки в каждый момент времени можно опре делить по расстоянию, пройденному вдоль траектории от не которой неподвижной точки, рассматриваемой как начало отсчета. Такой способ задания движения называется естест+

венным.

Уравнение движения можно представить в виде S = f (t). Положение точки также можно определить, если известны ее координаты в зависимости от времени. В случае движения на плоскости задаются два уравнения:

х = f1(t );

y = f2 (t ).

24

В случае пространственного движения задается и третья координата:

z = f3 (t ).

Такой способ задания движения называется координатным. Скорость движения. Это векторная величина, характери зующая в данный момент быстроту и направление движения по траектории. Если точка за равные промежутки времени проходит равные расстояния, то движение называется равно+

равные пути, то движение называют неравномерным. В этом случае скорость — величина переменная и зависит от времени v = f (t).

Если промежутки времени малы ( t → 0), средняя скорость становится равной истинной скорости движения в данный момент. Поэтому скорость в данный момент можно опреде лить как производную пути по времени:

v = dS . dt

Ускорение точки. Векторная величина, характеризующая быстроту изменения скорости по величине и направлению, называется ускорением точки. Скорость точки при переме

25

щении из одной точки в другую меняется по величине и на правлению. Среднее значение ускорения за этот промежуток времени:

v aср = t .

При рассмотрении бесконечно малого промежутка времени среднее ускорение превратится в ускорение в данный момент:

a = dv . dt

Обычно для удобства рассматривают два взаимно перпен дикулярных ускорения: нормальное и касательное.

Нормальное ускорение характеризует изменение скорости по направлению и определяется как

v2 an = r ,

где r — радиус кривизны ускорения траектории в данный мо мент.

Нормальное ускорение всегда направлено перпендикуляр но скорости к центру дуги.

Касательное ускорение характеризует изменение скорости по величине и всегда направлено по касательной к траекто рии; при ускорении его направление совпадает с направле нием скорости; при замедлении оно направлено противопо ложно направлению вектора скорости.

dv

at = dt = v′ = S″.

26

Полное ускорение:

a = at2 + an2 .

2. Кинематика точки

Равномерное движение — это движение с постоянной ско ростью:

v =const.

Для прямолинейного равномерного движения:

dv

at = dt at = 0;

v2

r = ∞ an = r = 0.

Полное ускорение движения точки при этом равно нулю:

а = 0.

Для криволинейного равномерного движения:

v2

r ≠∞ an = r ≠0.

Полное ускорение равно нормальному ускорению:

а = аn.

27

Уравнение движения точки при равномерном движении в общем виде является уравнением прямой:

S = S0 + vt,

где S0 — путь, пройденный до начала отсчета.

Равнопеременное движение — это движение с постоянным касательным ускорением:

at =const.

Для прямолинейного равнопеременного движения:

r = ∞ an = 0; a = at = const.

Полное ускорение равно касательному ускорению. Криволинейное равнопеременное движение:

dv = at dt ; ∫dv = at ∫dt .

00

Проинтегрировав, получим закон равнопеременного дви жения в общем виде, представляющий собой уравнение па раболы:

S = S0 + v0t + at t2 , 2

28

где v0 — начальная скорость движения;

S0 — путь, пройденный до начала отсчета; at — касательное ускорение.

Неравномерное движение. При неравномерном движении численные значения скорости и ускорения меняются.

Уравнения неравномерного движения в общем виде пред ставляет собой уравнение третьей

S = f (t 3 ) и выше степени.

Кинематические графики представляют собой графики изме нения пути, скорости и ускорений в зависимости от времени.

Сложное движение точки. Движение точки можно разде лить на абсолютное, относительное и переносное.

Абсолютным движением называется движение точки по от ношению к системе отсчета, принимаемой за неподвижную.

В ряде случаев движение точки по отношению к неподвиж ной системе отсчета удобно рассматривать как движение слож ное, состоящее из двух одновременных движений: движение точки по отношению к некоторой подвижной системе отсчета и движения точки вместе с подвижной системой отсчета по отношению к неподвижной.

Движение точки по отношению к подвижной системе от счета называется относительным движением.

Движение подвижной системы отсчета и всех неизменно связанных с ней точек по отношению к неподвижной системе отсчета называется переносным движением.

Примером сложного движения может служить движение человека по эскалатору метро. Движение эскалатора — пере носное движение, движение человека вверх или вниз по эска латору — относительное, а движение по отношению к непо движным стенам станции — сложное движение.

3. Простейшие движения твердого тела

Поступательным движением называют такое движение твердого тела, при котором всякая прямая линия на теле при

29

движении остается параллельной своему начальному поло жению.

При поступательном движении все точки тела движутся одинаково: скорости и ускорения в каждый момент одинако вы. Поэтому для описания движения тела можно рассматри вать движение одной его точки, обычно центра масс.

Поступательное движение может быть прямолинейным и криволинейным.

При вращательном движении все точки тела описывают окружность вокруг общей неподвижной оси.

Неподвижная ось, вокруг которой вращаются все точки те ла, называется осью вращения.

Каждая точка при этом движется по окружности, радиус которой равен расстоянию от оси вращения. Точки на оси вращения не перемещаются.

Для описания вращательного движения вокруг неподвиж ной оси используются только угловые параметры.

Положение тела в любой момент определяется из урав нения:

ϕ= f (t ).

Угловая скорость:

ω= d ν. dt

Для оценки быстроты вращения используется также уг ловая частота вращения n, которая оценивается в оборотах в минуту.

ω= 2πn = πn . 60 30

Это физически близкие величины.

30