Техническая механика. Учебное пособие для СПО

Реально силы инерции приложены к телам, связанным с разгоняющимися телами (к связям). Даламбер предложил условно прикладывать силу инерции к активно разгоняюще муся телу. В этом случае система сил, приложенных к мате риальной точке, становится уравновешенной, и при решении задач динамики можно использовать уравнения статики.

Принцип Даламбера. Материальная точка под действием ак тивных сил, реакций связей и условно приложенной силы инерции находится в равновесии:

nn

∑Fk +∑Rk +Fин =0;

00

Fин =νma.

При решении задач с использованием принципа Даламбе ра придерживаются следующей схемы.

1.Составить расчетную схему.

2.Выбрать систему координат.

3.Выяснить направление и величину ускорения.

4.Условно приложить силу инерции.

5.Составить систему уравнений равновесия.

6.Определить неизвестные величины.

4.Работа

Для характеристики действия силы на некотором пере мещении точки ее приложения вводят понятие «работа». Ра бота — это скалярная величина.

Работа постоянной силы на прямолинейном пути. В общем случае работа силы равна произведению модуля силы на дли ну пройденного пути и на косинус угла между направлением силы и направлением перемещения:

W =FS cos α.

41

Частные случаи работы.

1. Силы, совпадающие с направлением перемещения, на зываются движущими силами. Направление вектора силы сов падает с направлением перемещения:

α= 0° (сosα = 1);

W = FS > 0.

2.Силы, перпендикулярные направлению перемещения, работы не производят.

Сила F перпендикулярна направлению перемещения:

α= 90° (cosα = 0);

W= 0.

3.Силы, направленные в обратную от направления пере мещения сторону, называются силами сопротивления.

Сила F направлена в обратную от перемещения S сторону.

α= 180° (cosα= ν1);

W = νFS < 1.

Движущие силы увеличивают модуль скорости, силы со противления уменьшают скорость.

Следовательно, работа может быть положительной и от рицательной, в зависимости от направления силы и ско рости.

Работа постоянной силы на криволинейном пути. Точка М движется по дуге окружности, и сила А составляет некоторый угол α с касательной к окружности (рис. 3).

Вектор силы можно разложить на две составляющие:

F = Ft + Fn .

42

Ft M2

F

M1 α

r

ϕ

Fn

Рис. 3. Графическое представление работы постоянной силы

на криволинейном пути

По принципу независимости каждой работы:

W (Ft )= Ft S;

W (Fn )= F S,

где S = M1M2ν — пройденный путь.

S = νρ.

Нормальная составляющая силы F всегда направлена пер пендикулярно перемещению и, следовательно, работы не про изводит: W(Fn) = 0.

При перемещении по дуге обе составляющие силы разво рачиваются вместе с точкой М. Касательная составляющая си лы всегда совпадает по направлению с перемещением.

W (Ft )= Ft νr.

Касательная сила Ft называется окружной силой.

43

Работа при криволинейном пути является работой окруж ной силы:

W (F )= W (Ft ).

Произведение окружной силы на радиус называется вра+ щающим моментом:

Мвр = Ft r .

Работа силы, приложенной к вращающемуся телу, равна произведению вращающего момента на угол поворота:

W (F )= Мвр ν.

Работа силы тяжести. Эта работа зависит только от измене ния высоты и равна произведению модуля силы тяжести на вертикальное перемещение:

W (G)= G(h1 −h2 )= G h,

где h — изменение высоты.

При опускании работа положительна, при подъеме отри цательна.

Работа равнодействующей силы. В случае движения под действием системы сил пользуются теоремой о работе равно действующей. Работа равнодействующей на некотором пере мещении равна алгебраической сумме работ системы сил на том же перемещении.

F∑ = F1 + F2 + F3 + ...+ Fn .

44

Работа равнодействующей силы:

n

W (F∑ )= ∑W (Fk ).

0

5. Мощность. Коэффициент полезного действия

Для характеристики работоспособности и быстроты совер шения работы введено понятие мощности. Мощность — это работа, выполняемая в единицу времени:

P = W . t

Мощность при поступательном движении:

P = FS cosα . t

Учитывая, что S = vср, t

Р = Fvср cosα,

где F — модуль силы, действующей на тело; νср — средняя скорость движения тела.

Средняя мощность при поступательном движении равна произведению модуля силы на среднюю скорость переме щения и на косинус угла между направлением силы и ско рости.

Мощность при вращении.

Тело движется по дуге радиуса к из точки М1 в точку М2.

М1 М 2 = νк.

45

Работа силы:

w = Mвр ν,

Мвр = Ft r,

где Мвр — вращающий момент.

Р = Мвр ν. t

ν

Так как t = ωср Р = М вр ωср ,

где ωср — средняя угловая скорость.

Мощность силы при вращении равна произведению вра щающего момента на среднюю угловую скорость.

Коэффициент полезного действия. Любая машина и меха низм, совершая работу, тратит часть энергии на преодоление сопротивлений. Кроме полезной работы, машина совершает еще и дополнительную работу.

Отношение полезной работы к полной работе или полез ной мощности ко всей затраченной мощности называется коэффициентом полезного действия (КПД):

η= Рпол .

Рзатр

Полезная работа (мощность) расходуется на движение с за данной скоростью и определяется по формулам:

W = FScosα;

46

P = Fv cosα;

W = Mвр ν, Р = Мвр ω.

Затраченная мощность больше полезной на величину мощ ности, идущей на преодоление трения в звеньях машины, на утечки и подобные потери.

Чем выше КПД, тем совершеннее машина.

6. Общие теоремы динамики

Теорема об изменении количества движения. Количеством

движения материальной точки называется векторная величи на, равная произведению массы точки на ее скорость mv. Век тор количества движения совпадает по направлению с векто ром скорости.

Произведение постоянного вектора силы на некоторый промежуток времени, в течение которого действует эта сила, называется импульсом силы Ft. Вектор импульса силы по на правлению совпадает с вектором силы.

Согласно основному уравнению динамики, после некото рых преобразований можно получить соотношение между ко личеством движения и импульсом силы.

F = ma;

a = dv = v′. dt

F = m dv . dt

Fdt = mdv.

47

Проинтегрировав обе части равенства, получим:

tv

∫Fdt = ∫mdv;

0v0

Ft = m(v −v0 ).

Это соотношение выражает теорему об изменении коли чества движения точки.

Изменение количества движения точки за некоторый про межуток времени равно импульсу силы, действующей на точ ку в течение того же промежутка времени.

Теорема об изменении кинетической энергии. Энергией на зывается способность тела совершать механическую работу. Существуют две формы механической энергии: потенциаль ная энергия, или энергия положения, и кинетическая энер гия, или энергия движения.

Потенциальная энергия (П) определяет способность тела совершать работу при опускании с некоторой высоты до уровня моря. Потенциальная энергия численно равна работе силы тяжести.

П =Gh,

где h — высота над уровнем моря.

Кинетическая энергия (К) определяется способностью дви жущегося тела совершать работу. Для материальной точки ки нетическая энергия определяется по формуле:

K = mv2 . 2

Кинетическая энергия — это скалярная величина.

48

Теорема об изменении кинетической энергии точки:

Изменение кинетической энергии на некотором пути равно работе всех действующих на точку сил на том же пути.

Основное уравнение динамики при поступательном движении

тела.

Для определения движения тела (системы материальных тел) используется второй закон динамики:

F∑ = maс ,

где m — cуммарная масса тела;

аc — ускорение центра масс тела.

Центр масс системы — это условная точка, в которой сосре доточена вся масса тела. Обычно считают, что в центре масс приложены все внешние силы. В поле земного притяжения центр масс совпадает с центром тяжести.

Основное уравнение динамики вращающегося тела.

Рассматривая твердое тело как механическую систему, разобьем ее на множество материальных точек с массами mk. Каждая точка движется по окружности радиуса r с касатель ным ускорением

akt = εrk

и нормальным ускорением

aω2rk ,

где ω — угловое ускорение.

49