Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Теория функций нескольких переменных. Дифференциальное и интегральное исчисление. Учебное пособие

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

15.08.2026

Размер:

842 Кб

Скачать

☆

1 / 111 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 > Следующая >>>

Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального

образования

«Казанский государственный технологический университет»

Хузиахметова Р.Н., Романова Е.М., Субханкулова Д. Г.

Теория функций нескольких переменных Дифференциальное и интегральное исчисление

Учебное пособие

Казань

КГТУ

2008

Авторы: доц. Р.Н. Хузиахметова, доц. Е.М. Романова, ст. преп. Д.Г. Субханкулова.

Теория функций нескольких переменных. Дифференциальное и интегральное исчисление: учебное пособие / Р.Н. Хузиахметова,

Е.М. Романова, Д.Г. Субханкулова. – Казань: Изд.- во Казан. гос. технол. ун.-та, 2008, 105 с.

ISBN 978-5-7882-0681-3

Предназначены для студентов всех специальностей бакалаврской подготовки в качестве руководства к выполнению типовых расчетных работ по темам:

« Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных», «Кратные интегралы» и «Криволинейные интегралы».

Основная цель работы – привить студентам практические навыки в решении задач по указанным темам. Содержит краткие теоретические сведения, задачи с решениями и ответами, задания для самостоятельной работы и 30 вариантов индивидуальных заданий различной степени сложности.

Подготовлены на кафедре высшей математики.

Печатаются по решению методической комиссии по циклу физико- математических дисциплин.

Рецензенты: зав. каф. информатики и прикладной математики КГТУ, проф. Нуриев Н.К. , доцент каф. алгебры КГУ, канд. физ.-мат. наук Альпин Ю.А.

Глава 1. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных и его применение к исследованию функций

1.1. Область определения функции нескольких переменных

Переменная величина z = f(x, y) называется функцией двух переменных x и y, если для каждой пары значений (х, у) из некоторой области D существует единственное значение z.

Аналогично определяются функции трех и большего числа переменных. Под областью определения D функции z = f(x, y) понимается совокупность точек (x, y) плоскости ХОУ, в которых данная функция определена,

т.е. для этих точек существует значение выражения z = f(x,y).

Область определения функции двух переменных представляет собой часть координатной плоскости ХОУ, ограниченную одной или несколькими кривыми. Эти кривые образуют границу области.

Если функция зависит от трех переменных, то областью ее определения


будет служить часть трехмерного пространства.
Пример 1.1. Найти область определения функции z = arcsin		x	+ xy .

2
Решение: Первое слагаемое функции определено при -1 £	x		£ 1 или

2
− 2 ≤ x ≤ 2 . Геометрическим представлением этого множества является
бесконечная полоса между параллельными прямыми x = - 2 и х = 2. Второе

слагаемое имеет действительные значения, если xy ³ 0, что можно разбить на два

случая: x ³ 0	и x £ 0	. Эти неравенства задают І и ІІІ координатные четверти
y ³ 0	y £ 0

соответственно. Тогда областью определения всей функции являются две полуполосы, изображенные на рис. 1.1

-2 0

2	x

Рис.1.1

Задачи для самостоятельного решения:

Найти области определения функций:

1) z = ln(x + y); 2) z = arcsin

3) u =

x + y − z

;

- 9

4 - x2 - y2 - z2

Ответы: 1)

x + y > 0; 2)

£ 1,

x ¹ ±3;

3) x2 + y2 + z2 < 4 .

- 9

1.2. Графическое представление функции нескольких переменных. Линии и поверхности уровня

Графиком функции двух переменных называется совокупность троек (x,y,z), связанных соотношением z = f(x, y), (x, y) D.

Графическим представлением функции двух переменных является некоторая двумерная поверхность в трехмерном пространстве. Линии пересечения этой поверхности с плоскостями, параллельными координатной плоскости ХОУ, называются линиями уровня функции.

Семейство линий уровня

функции z =

f(x,

y) определяется как

множество решений системы уравнений:

z = f(x, y).

z = const

Пусть u = f(x,y,z) – функция трех переменных. Тогда семейство

поверхностей уровня находится из системы уравнений:

u = f(x, y,z) .

u = const

Пример

1.2.

Построить

семейство

линий

уровня

функции

z = arccos

+ y

и найти линию уровня, проходящую через точку (1,0).

Решение:

Семейство линий

уровня функции

определяется

из

системы:

+ y

z = arccos

где,

согласно

области значений

функции z,

const может

z = const

принимать значения на промежутке [0,π/2].

Тогда, решая эту систему, получим уравнения

arccos

x 2 + y 2

= const ,

	x 2 + y 2	= cos(const),
	2	= cos(const),
	2

x 2 + y 2 = 2 cos(const).

В правой части этого уравнения стоит постоянное выражение, обозначим его через С = 2 cos(const) , причем С [0,2].

Тогда x2 + y2 = С или x2 + y2 = С2. Эти уравнения при различных

значениях константы С [0,2] образуют семейство концентрических окружностей радиуса С (рис. 1.2).

Одна окружность из этого семейства проходит через точку М(1,0), если значение постоянной С = 1. Тогда уравнение линии уровня, проходящей через точку М(1,0), примет вид: x2 + y2 = 1.

Рис. 1.2.

Задачи для самостоятельного решения:

Найти и построить линии уровня функций:

1)	z=xy; 2) z =	y − x2	; 3) z = x	y −1 ; 4) z = ln	x	; 5) z = x + y .
		x2
					y

Найти и построить поверхности уровня функций:

6) u = x + 2y + 3z; 7) u = x2 + y2 + z2; 8) u = x2 - y2							- z2.
Ответы: 1) Гиперболы y =					C	; 2) Параболы y = Cx2 ;	3) Кривые y =	C	+1;
								x2
		= C			x
4) Лучи	y		x	; 5) Прямые x+y=C; 6) Семейство плоскостей
x+2y+3z=С; 7) Семейство сфер x2 + y2 + z2=С2 ; 8) При С>0
семейство двуполостных гиперболоидов x2							- y2 - z2 = С, при С<0

семейство однополостных гиперболоидов x2 - y2 - z2 = С, при С=0 асимптотический конус второго порядка x2 - y2 - z 2=0.

1.3. Предел и непрерывность функции нескольких переменных

Пределом функции z = f(x, y) при x → x0

и y → y0 :

lim

f (x, y) = a

x→ x0

a ,

y→ y0

называется число

при котором

для любого числа ε > 0 можно найти

соответствующее ему положительное число δ

такое, что для всех х и у, для

которых

x − x0

< δ

y − y0

< δ , выполняется неравенство

f (x, y) − a

< ε .

Функция z = f(x, y) называется непрерывной в точке М0(х0, у0), если предел функции в этой точке существует и равен значению функции в этой точке, т. е.

lim f (x, y) = f (x0, y0 ).

x→ x0 y→ y0

Функция z = f(x, y) называется разрывной в точке М0(х0, у0), если она либо неопределенна в этой точке, либо не существует единственного предела функции в этой точке.

Пример 1.3.1. Вычислить предел lim sin(xy) .

x→0

y→0

Решение:

Введем

параметр

t=xy,

t→0. Тогда

согласно первому

замечательному пределу

lim sin(xy) = lim sint = 1.

x→0

→0

Пример 1.3.2. Имеет ли предел в точке (0,0) функция

f (x, y) =

x2 + y2

Решение: Пусть y=kx. Тогда

lim

= lim

kx2

lim

, k R.

+ y2

2 + k 2 x2

+ k

1 + k 2

x→0 x2

x→0 x

x→0 1

y →0

Таким образом, при различных значениях k, получаются разные значения предела. Следовательно, предела в точке (0,0) не существует.

Задачи для самостоятельного решения:
1)	Где будет разрывна функция z =	1		?

		x − y
2)	Найти точку разрыва функции	z =		2	. Как ведет себя функция в

			x2 + y 2

окрестности точки разрыва?

−

Вычислить пределы: 3) lim sin(x − y)

+ y

5) lim

; 4)

lim(1+ x2 y 2 )

x2 + y2

;

+ y4

x→1

x3 − y3

x→0

y→1

y→0

Ответы: 1) На прямой y = x; 2) Точка разрыва – (0,0), вблизи этой точки

значение функции стремится к бесконечности; 3) 3 ; 4) 1; 5) 0.

1.4. Частные производные и полный дифференциал функции

Частной производной функции z = f(x, y) по переменной х (по переменной у) называется предел

∂z	= lim	f (x + x, y) − f (x, y)	∂z		= lim	f (x, y + y) − f (x, y)
							.

∂x x→0		x		∂y	y→0	y

Частная производная функции двух переменных по переменной х представляет собой обыкновенную производную функции одной переменной х при фиксированном значении переменной у и кратко обозначается zx '. Аналогично,

частная производная по у берется в предположении, что х является постоянным, и обозначается z y '.

Полным дифференциалом функции z = f(x, y) называется главная часть полного приращения z = f (x + x, y + y) − f (x, y) , линейная относительно

приращений аргументов ∆х и ∆у.

Полный дифференциал

формуле

dz =

функции двух переменных вычисляется по

∂z dx +	∂z	dy	(1)

∂x	∂y

Аналогично определяются частные производные функции трех переменных u = f (x, y, z) и ее полный дифференциал равен

du =	∂u dx +	∂u dy +	∂u dz	(2)
	∂x	∂y	∂z

Пример 1.4. Пусть задана функция z = xe x2 − y 2 . Найти частные производные и полный дифференциал функции.

Решение: Считая у постоянным, находим производную от произведения двух функций по х:

∂∂z = zx ' = xx 'ex 2 − y 2 + x(ex 2 − y 2 )x ' = ex 2 − y 2 + xex 2 − y 2 (x2 − y2 )x ' =

= ex 2 − y 2 + xe x 2 − y 2 2x = ex 2 − y 2 (1+ 2x2 ) .

Найдем частную производную по у:

∂∂z = z y ' = x(e x2 − y 2 ) y ' = xe x2 − y 2 (x 2 − y 2 ) y ' = xe x2 − y 2 (−2 y) = −2xye x2 − y2 . y

Тогда полный дифференциал данной функции, согласно (1), примет вид: dz = ex 2 − y 2 ((1 + 2x2 )dx − 2xydy).

Задачи для самостоятельного решения:

Найти частные производные и полный дифференциал функций:

3 + y

z = x y ; 2) z = sin

cos

;

z =

; 4) u = x z ;

5) u = ln(x + y2 + z3).

x2 + y2

Ответы:

∂z = yx y −1;

∂z = x y ln x ;

∂x

∂y

∂z =

cos

sin

;

∂z

= −

cos

− 1 sin

sin

;

∂y

∂x y

x x

∂z

+ 3x2 y2 − 2xy3

∂z

y 4

+ 3x 2 y 2 − 2x

3 y

;

∂x

;

∂x

(x2 + y2 )2

(x2 + y 2 )2

∂u =

−1;

∂u = 1 x

∂u = −

x z

ln x;

x z

∂x z

∂y z

∂z

ln x;

∂u

;

∂u

2 y

;

∂u

∂x

∂y

∂z

x + y2

+ z3

x + y2

+ z3

x + y2

+ z3

1.5. Дифференцирование неявной функции

Говорят, что функция у = у(х) задана неявно, если она определяется уравнением f(x,y) = 0.

Пусть функция у задана неявно уравнением f(x,y) = 0, где f (x,y) – дифференцируемая функция двух переменных х и у, причем f y '(x, y) ¹ 0.

Тогда производная неявно заданной функции у, как функции от х,

находится по формуле

dy	= −	f x	'(x, y)	(3)
dx		f y	'(x, y)

Производные высших порядков находятся последовательным

дифференцированием формулы (3).
Аналогично, пусть	уравнение F(x,y,z) = 0, где F(x,y,z) –

дифференцируемая функция трех переменных x, y, z, определяет z как функцию

независимых переменных х и у. Тогда, если							Fz '(x, y, z) ¹ 0 , то частные
производные неявно заданной функции z могут быть найдены по формулам
∂z	= −	F '(x, y, z)		∂z	= −	Fy	'(x, y, z)
		x	и					(4)
∂x		F '(x, y, z)	и	∂y		F	'(x, y, z)	(4)
∂x		F '(x, y, z)		∂y		F	'(x, y, z)
		z				z
Пример 1.5. Найти частные производные ∂z						и	∂z , если 3xyz − z3 = 8.
					∂x		∂y

Решение: Пусть F (x, y, z) = 3xyz − z 3 − 8. Найдем частные производные этой

функции: F '(x, y, z) = 3yz , F '(x, y, z) = 3xz,						F '(x, y, z) = 3xy − 3z 2 .
x		y				z
Тогда, согласно (4):
	∂z = −		Fx '(x, y, z)		= −	3yz	=		yz	,
	∂x		Fz '(x, y, z)			3xy − 3z2			z2 − xy
	∂z	= −	Fy	'(x, y, z)	= −	3xz		=	xz	.
	∂y	= −	F	'(x, y, z)	= −	3xy − 3z2		=	z2 − xy	.
	∂y		F	'(x, y, z)		3xy − 3z2			z2 − xy
			z

Задачи для самостоятельного решения:

Найти производную dy от функций, заданных неявно уравнениями: dx

sin(xy) − e y = x2 y3 ;

3) x y = y x .

1) x 3

+ y 3

= a 3 ;

Найти частные производные

∂z

для следующих функций :

∂x

∂y

4) z3 + 3xyz = a3;

= 1.

6) Найти полный дифференциал функции z=z(x,y), определяемой уравнением cos2 x + cos2 y + cos2 z = 1.

Ответы: 1)	dy	= −3	y	;	2)	dy	= −

	dx		x			dx

− 2xy3

y cos xy −

y2 ln x −1

; 3)

;

ln y −1

x cos xy +

e y

− 3x2 y2

∂z

= −

;

∂z

= −

; 5)

∂z

= −

2 x

;

∂z

= −

2 y

;

∂x

xy + z2

∂y

xy + z

∂x

a2 z

∂y

b2 z

dz = −

sin 2xdx + sin 2 ydy

sin 2z

1.6. Касательная плоскость и нормаль к поверхности

Уравнение касательной плоскости в точке P(x0, y0, z0 ) к поверхности,

заданной уравнением z = f(x, y),

имеет вид

∂z

( x0 , y0 )

(x − x0 ) + ∂z

( x0 , y0 ) ( y − y0 ) = z − z0 .

∂x

∂y

Нормалью к поверхности в точке Р называется прямая, проходящая

перпендикулярно касательной плоскости в точке Р.

Уравнение нормали в точке P(x0 , y0 , z0 ) записывается в виде:

x − x0

y − y0

z − z0

(5)

∂z

−1

( x0 , y0 )

∂x

∂y

Тогда

касательной плоскости в точке P(x0, y0, z0 ) к

уравнение

поверхности, заданной неявно, примет вид:

( x0 , y0 ,z0 ) ( y − y0 ) + Fz '

( x0 , y0 ,z0 ) (z − z0 ) = 0 ,

Fx '

( x0 , y0 ,z0 ) (x − x0 ) + Fy '

а уравнение нормали –

x − x0

y − y0

z − z0

(6)

Fx '

Fy '

Fz '

( x0 , y0 ,z0 )

Пример

1.6.

Пусть

функция

задана

неявно

уравнением

x2 − 2 y2 + 3z2 − yz + y = 0 . Найти:

∂z

;

частные производные

∂x

и ∂y

дифференциал первого порядка dz;

3) уравнение касательной плоскости к поверхности, заданной этой функцией,

в точке Р(-1,1,0); 4) уравнение нормали в точке Р(-1,1,0).

Решение: Обозначим левую часть уравнения через F(x,y,z) и найдем ее частные производные:

1 / 111 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]