Теория функций нескольких переменных. Дифференциальное и интегральное исчисление. Учебное пособие
.pdf
Вариант 7
I. Кратные интегралы
1.Расставить пределы в интеграле ∫∫ f (x, y)dxdy и изменить порядок
D
интегрирования D, если границы области D: y = x + 1, y = - x – 1, x = 2 .
2.Вычислить интеграл:
|
∫∫(x − 3y)dxdy , ∂D : y = x 2 , y = 3x − 2 . |
|
D |
3. |
Вычислить площадь фигуры, ограниченной кривой r 2 = a 2 cos 2ϕ . |
4.Найти объём тела, заданного ограничивающими его поверхностями
z + x = 2, z = 0, x 2 + y 2 = 9, x ³ 0 , y ³ 0 .
5.Вычислить тройной интеграл:
∫∫∫(x 2 + y 2 + z |
2 )dxdydz, Ω : x 2 + y |
2 + |
z 2 |
≤ 1, |
x 2 + y 2 ≤ |
2 |
z 2 . |
|
3 |
||||||
Ω |
|
3 |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
6.Найти массу тела W плотности ρ , ограниченного данными
поверхностями:
x 2 + y 2 = z , z = 0, x + y = a, x = 0, y = 0 и ρ = 1.
II. Криволинейные интегралы
1.Вычислить криволинейный интеграл II рода (в декартовых
координатах) ∫(х − 2у)dx + xydy , L: y = - x2 +2, 1≤ x≤3.
L
2.Вычислить криволинейный интеграл II рода (через параметр)
|
∫ уdx + (x − y)dy , L: x=2cos3t, y=2sin3t, 0 ≤ t ≤ π /3. |
|
L |
3. |
Найти массу дуги кривой L: x=e2t, y = e-2t, 0 ≤ t ≤ 1 с линейной |
плотностью f(x,y) = 2 x2 + y2 .
4.Применяя формулу Грина, вычислить интеграл
|
∫ (y2 x − 2y)dx − (x2 y − x)dy , |
L: y=x2 - 3x, y=4 - 3x. |
|
L |
|
|
(3,0) |
2 y + y3 + 4 y)dy + (x3 + xy2 − 4x)dx . |
5. |
Вычислить интеграл ∫ (x |
|
|
(0,3) |
|
6. |
Восстановить функцию по ее дифференциалу |
|
du = (yosx - cosy)dx + (sinx + xsiny)dy.
81
Вариант 8
I. Кратные интегралы
1. Расставить пределы в интеграле ∫∫ f (x, y)dxdy и изменить порядок
D
интегрирования, если границы области D: x = y 2 , - x + 4 = y 2 .
2.Вычислить интеграл:
∫∫( yx +1)dxdy , ∂D : y = x +1, y = 1− x, y = 0 .
D
3.Найти координаты центра тяжести однородной фигуры ограниченной кривой r = a(1+ sinϕ) .
4.Найти объём тела, заданного ограничивающими его поверхностями
x + z = 2, z = 0, y = - 
x , y = -2 
x .
5.Вычислить тройной интеграл:
∫∫∫6(x + y + z)dxdydz, Ω : x + y + z ≤ 4, x ³ y , 0 £ x £ 2, z ³ 0.
Ω
6.Найти массу тела Ω плотности ρ , ограниченного данными
поверхностями:
x 2 + y 2 − z 2 = a 2 , z = 0, z ³ a , (a>0) и ρ = z .
II. Криволинейные интегралы
1.Вычислить криволинейный интеграл II рода (в декартовых
координатах) ∫(х − 2у)dx + xydy , L: y = - x2 +2, 1≤ x≤3.
L
2.Вычислить криволинейный интеграл II рода (через параметр)
∫ уdx + (x − y)dy , L: x=2cos3t, y=2sin3t, 0 ≤ t ≤ π /3.
L
3. Найти массу дуги кривой L: x=e2t, y = e-2t, 0 ≤ t ≤ 1 с линейной плотностью f(x,y) = 2 x2 + y2 .
4.Применяя формулу Грина, вычислить интеграл
∫ (y2 x − 2y)dx − (x2 y − x)dy , L: y=x2 - 3x, y=4 - 3x.
L
(3,0) |
|
|
5. Вычислить интеграл ∫ (x2 y + y3 |
+ 4y)dy + (x3 + xy2 |
− 4x)dx . |
(0,3)
6.Восстановить функцию по ее дифференциалу du = (yosx - cosy)dx + (sinx + xsiny)dy.
82
Вариант 9
I. Кратные интегралы
1. Расставить пределы в интеграле ∫∫ f (x, y)dxdy и изменить порядок
D
интегрирования, если границы области D: y = 2x, y = 6 – x, x = 0 .
2.Вычислить интеграл:
∫∫(xy)dxdy , ∂D : y = x, y = 
3x, x = 1, x = 2.
D
3.Найти массу пластинки плотности γ (x, y) = x, ограниченной кривой r = 2 + cosϕ .
4.Найти объём тела, заданного ограничивающими его поверхностями
z = 4y, z = 0, x + y = 6, y = 
3x .
5.Вычислить тройной интеграл:
∫∫∫xydxdydz, W : z ≤ 2 − x2 − y 2 , x 2 + y 2 ³ 1 x ³ 0 , y ³ 0 , z ³ 0 .
Ω
6.Найти массу тела W плотности ρ , ограниченного данными
поверхностями:
x 2 + z 2 = a 2 , y 2 + z 2 = a 2 , z ³ 0 и ρ = 1.
II. Криволинейные интегралы
1.Вычислить криволинейный интеграл II рода (в декартовых
координатах) ∫ (х2 + у2 )dx + (y − x)dy вдоль кривой |
L: y = 3x - 2 от точки |
L
А(0,-2) до В(1,1).
2.Вычислить криволинейный интеграл II рода (через параметр)
∫ |
y |
dx + (x + y)dy , L: x=4cost, y=4sint, |
0 ≤ t ≤ 2π . |
|
|||
L |
x |
|
|
3. |
Найти массу дуги кривой L: x = t – 1, |
y = 2t − t 2 , 1 ≤ t ≤ 2 с линейной |
|
плотностью f(x,y) =4x3 y + 3x2 y.
4.Применяя формулу Грина, вычислить интеграл
|
∫(y2 + x2 )dx + 2x2 ydy , |
L: y=x2, y=4 - x2 . |
|
L |
|
|
(π / 2,π / 6) |
|
5. |
Вычислить интеграл |
∫ (e y cos x + y + ex )dx + (e y sin x + x)dy . |
|
|
(π / 6,0) |
6. |
Восстановить функцию по ее дифференциалу |
|
|
du = (x2 + y2 + 1)dx +2xydy. |
|
83
Вариант 10
I. Кратные интегралы
1. Расставить пределы в интеграле ∫∫ f (x, y)dxdy и изменить порядок
D
интегрирования, если границы области D: y= x + 3, y = 2x + 6, x = 1.
2.Вычислить интеграл:
∫∫(x − y)dxdy , ¶D : y=2 - x 2 , y = -1 .
D
3.Найти массу пластинки плотности γ (x, y) = x, ограниченной линиями r = 2 + cosϕ , 0 £ ϕ £ π .
4.Найти объём тела, заданного ограничивающими его поверхностями z = 3y, z = 0, x + y = 6, y = 
3x .
5.Вычислить тройной интеграл:
|
∫∫∫dxdydz, W : |
1- z ³ x 2 - y 2 , |
z ³ 0 , |
x 2 + y 2 ≤ 4. |
||
6. |
Ω |
|
плотности ρ , ограниченного данными |
|||
Найти массу |
тела W |
|||||
поверхностями: |
|
|
|
|
|
|
|
x2 + y2 + z2 ≤ 9 , x ³ 0 , y ³ 0 , z ³ 0 , |
x |
|
+ y = 1 и ρ = 1. |
||
|
|
|||||
|
|
|
2 |
|
|
|
II. Криволинейные интегралы
1.Вычислить криволинейный интеграл II рода (в декартовых
координатах) ∫( y − 2x)dx + x2 ydy , L: y = x3 , -1≤ x≤0.
L
2.Вычислить криволинейный интеграл II рода (через параметр)
|
∫(2x2 + y)dx + (3x − 2y)dy , L: x = t2 – 1, y = t 3 - t , 0 ≤ t ≤ 1. |
|
L |
3. |
Найти массу дуги кривой L: y = x2 + 2x + 2, 0 ≤ x ≤ 2 с линейной |
плотностью |
f(x,y) = (x + 1) 4y − 3 . |
4.Применяя формулу Грина, вычислить интеграл
|
∫(3y + ln(x2 −1))dx + (arcsin |
|
y |
+ x2 )dy , |
L: y=x2 + 3, y=4. |
||||||
|
L |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5. |
|
(π / 6,π / 4) |
(tgy + |
y |
)dx + ( |
|
x |
|
− ctgx)dy . |
||
Вычислить интеграл |
∫ |
|
|
||||||||
sin2 x |
cos2 |
|
|||||||||
|
|
(π / 4,π / 6) |
|
|
|
|
y |
||||
6. |
Восстановить функцию по ее дифференциалу |
|
|
|
|||||||
|
du = (3x2y - ysinx)dx |
+(x3 +cosx - cosy)dy. |
|
|
|
|
|||||
84
Вариант 11
I. Кратные интегралы
1. Расставить пределы в интеграле ∫∫ f (x, y)dxdy и изменить порядок
D
интегрирования, если границы области D: y = x, y = x + 2, x = 0, x = 4.
2.Вычислить интеграл :
|
∫∫(2x + 3y)dxdy , ∂D : y = 2x – 1, y = −3 , x = 3. |
|
D |
3. |
Найти площадь фигуры, ограниченной кривой r = a sin 2 ϕ . |
4.Найти объём тела, заданного ограничивающими его поверхностями
z = 2y, z = 0, x≥0, x2+y2 = 18, x = 3y.
5.Вычислить тройной интеграл:
|
∫∫∫2zdxdydz , <: x2+y2 ≤ |
3 x, x2+y2 ≤ 3y, |
1 ≤ z ≤ 2. |
|||
6. |
Ω |
|
ρ , |
|
|
|
Найти массу тела |
Ω плотности |
ограниченного данными |
||||
поверхностями: |
|
|
|
|
|
|
|
x2+y2 +z2 = 4, x2+y2 +z2 = 16 и ρ(x, y, z) = |
|
1 |
|
. |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
x 2 |
+ y 2 |
+ z 2 |
|
II. Криволинейные интегралы
1.Вычислить криволинейный интеграл II рода (в декартовых
координатах) ∫ |
x2 |
dx + (2x − y)dy вдоль кривой L: y = -2x от точки А(1,-2) до |
|
y |
|||
L |
|
||
В(2,-4). |
|
|
2.Вычислить криволинейный интеграл II рода (через параметр)
|
∫(x + 4y)dx + ydy , |
L: x=3(t – sint), y=3(1 – cost), |
0 ≤ t ≤ π /2. |
||
|
L |
|
|
|
|
3. |
Найти массу дуги кривой L: x2 – y 2 = 4, 2 ≤ x ≤ 4 |
с линейной |
|||
плотностью |
f(x,y) = |
xy(1 + 2y 2 ) |
. |
|
|
x2 + y 2 |
|
||||
|
|
|
|
||
4.Применяя формулу Грина, вычислить интеграл
|
∫( |
y2 |
+ x )dx + x2dy , |
L: y2=x, y2=4 - x . |
|
2 |
|||
|
L |
|
|
|
|
|
|
|
( 2,1) |
5. |
Вычислить интеграл |
∫ (2yex − e y )dx + (2ex − xe y )dy . |
||
(0,0)
6.Восстановить функцию по ее дифференциалу du = (3x2y + y3)dx +(x3 +3xy2)dy.
85
Вариант 12
I. Кратные интегралы
1. Расставить пределы в интеграле ∫∫ f (x, y)dxdy и изменить порядок
D
интегрирования, если границы области D: xy=4, y = x, x = 4
2. |
Вычислить интеграл: |
|
|
|
|
|
|
|
|
∫∫(x + 4y)dxdy , ∂D : y = |
3 |
x + 2, |
y = |
3 |
x + |
1 |
, x = 3, x = 5. |
|
2 |
2 |
2 |
|||||
|
D |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
3.Найти массу пластинки плотности γ (x, y)=x, ограниченной кривой
r= a sinϕ , 0 ≤ ϕ ≤ |
π . |
|
2 |
4.Найти объём тела, заданного ограничивающими его поверхностями
z = 3y, z = 0, x = 0, , x2+y2 =18, x = 3y .
5.Вычислить тройной интеграл:
∫∫∫xydxdydz , <: z ≥ x2+y2 , y ≥ 0, z ≤ 8 - x2 - y2.
Ω
6.Найти массу тела Ω плотности ρ , ограниченного данными
поверхностями: |
x 2 |
+ y2 |
= |
z |
2 |
, z = 2 и ρ(x, y, z) = z. |
|
9 |
4 |
||||
|
|
|
|
|||
II. Криволинейные интегралы
1.Вычислить криволинейный интеграл II рода (в декартовых
координатах) ∫ yх2 dx + (2y + x)dy вдоль кривой |
L: y = 2 - x от точки А(1,1) до |
L
В(2,0).
2.Вычислить криволинейный интеграл II рода (через параметр)
|
∫3x2 ydx + ( y − x)dy , L: x=cost, y=3sint, 0 ≤ t ≤ π /2. |
|
L |
3. |
Найти массу дуги кривой L: y=ln(x+3), -2 ≤ x ≤ e3-3 с линейной |
плотностью f(x,y) = 3y2 + 2 y −1 .
1+ e2 y
4.Применяя формулу Грина, вычислить интеграл
∫(xy + x + y)dx + (xy + x − y)dy , L: y2=x, x2 =2y.
L
|
|
(π / 6,2π / 3) |
− cos x)dx + (x − sin y)dy . |
5. |
Вычислить интеграл |
∫ (y |
(π / 2,π / 6)
6.Восстановить функцию по ее дифференциалу du = (x4 + 4xy3)dx +(6x2y2 – 5y 4) dy.
86
Вариант 13
I. Кратные интегралы
1. Расставить пределы в интеграле ∫∫ f (x, y)dxdy и изменить порядок
D
интегрирования, если границы области D: y = x2, y = x + 2.
2.Вычислить интеграл:
∫∫(x + y + 6)dxdy , ∂D : y = 1 – x, y = x – 1, x = 0.
D
3.Найти координаты центра тяжести фигуры, ограниченной линией
r= a cosϕ , 0 ≤ ϕ ≤ |
π . |
|
2 |
4.Найти объём тела, заданного ограничивающими его поверхностями
z = 2y, z = 0, y ≥ 0, x2+y2 =18, x = 3y.
5.Вычислить тройной интеграл:
∫∫∫dxdydz , <: x2 + y2≤3, x2 ≤3, 0 ≤ z ≤ 3.
Ω
6.Найти массу тела Ω плотности ρ , ограниченного данными
поверхностями:
z= 4 – y 2, z = y2 +2, x = -1, x = 2 и ρ(x, y, z) = 1.
II. Криволинейные интегралы
1.Вычислить криволинейный интеграл II рода (в декартовых
координатах) ∫ х2 ydx + (2x − y)dy , L: y = - 2x2 , 1 ≤ x ≤ 2.
L
2.Вычислить криволинейный интеграл II рода (через параметр)
∫(x + 2y)dx + xdy , L: x=3cos3t, y=3sin3t, |
0 ≤ t ≤ π /2. |
|||
L |
|
|||
3. |
Найти массу дуги кривой L: x=t+π /4, |
y=sin3t, -π /3 ≤ t ≤ 0 с линейной |
||
|
|
y |
|
|
плотностью |
f(x,y) = |
|
. |
|
10 − 9y 2 |
|
|||
4.Применяя формулу Грина, вычислить интеграл
|
∫ (ex + 2y2 )dx + (x + ln y)dy , |
L: y=x2, y=3x - 2. |
|
L |
|
|
(2,3) |
− 2x − y)dx + (2y − x + 3y 2 )dy . |
5. |
Вычислить интеграл ∫ (3x2 |
|
|
(1,1) |
|
6.Восстановить функцию по ее дифференциалу du = (ey + ye-x)dx +(xey – e -x) dy.
87
Вариант 14
I. Кратные интегралы
1. Расставить пределы в интеграле ∫∫ f (x, y)dxdy и изменить порядок
D
интегрирования, если границы области D: y2=2x, y = x, x = 1, ( x < 1).
2.Вычислить интеграл:
∫∫(x + y + 5)dxdy , ∂D : y = 2 – x, y = -1, x = 0.
D
3.Найти массу пластинки плотности γ (x, y) =1/y, ограниченной кривой r= a sin 2 ϕ .
4.Найти объём тела, заданного ограничивающими его поверхностями
z = 3y, z = 0, x2+y2 =18, y = 0.
5.Вычислить тройной интеграл:
∫∫∫(4 − 3x − 2y − z)dxdydz , <: 3x + 2y + z ≤ 6, x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 4.
Ω
6. Найти массу тела Ω плотности ρ , ограниченного данными поверхностями:
x + z = a, z = 0, y = 6, y ≥0, x = 0 и ρ(x, y, z) = 2x.
II. Криволинейные интегралы
1.Вычислить криволинейный интеграл II рода (в декартовых
координатах) ∫( |
y |
+ 1)dx + ( y − 3x)dy , L: y = 3x2 +x , 1 ≤ x ≤ 3 . |
|||||||
|
|||||||||
|
L x2 |
|
|
|
|
|
|
||
2. |
Вычислить криволинейный интеграл II рода (через параметр) |
||||||||
|
∫ уdx + xdy , L: x=2cost – cos2t, y=2sint – sin2t, |
0 |
|
≤ t ≤ π . |
|||||
|
L |
|
|
|
|
|
|
||
3. |
Найти массу дуги кривой L: x = t – 1, y = 2 + |
|
1 |
|
, 0 ≤ t ≤ 1 с линейной |
||||
t +1 |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
x4 |
|
|
|
|||
плотностью |
f(x,y) = |
|
. |
|
|
|
|||
1 + ( y − 2)4 |
|
|
|
||||||
4.Применяя формулу Грина, вычислить интеграл
|
∫ y(1− x2 )dx + (1+ y2 )dy , |
ABC: A(1,1), B(3,3), C(4,2). |
||||||||||
|
ABC |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5. |
(2,3) |
(2x + |
x |
2 |
+ y |
2 |
)dx − |
y |
2 |
+ x |
2 |
dy . |
Вычислить интеграл ∫ |
|
|
|
|
||||||||
|
|
x2y |
|
|
xy2 |
|
||||||
|
(1,1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
6.Восстановить функцию по ее дифференциалу
du = (sin 2x + x) dx +( y − sin2 |
x )dy. |
|
y |
y 2 |
|
88
Вариант 15
I. Кратные интегралы
1. Расставить пределы в интеграле ∫∫ f (x, y)dxdy и изменить порядок
D
интегрирования, если границы области D: y = 2 – x 2, y = x.
2.Вычислить интеграл:
∫∫(xy − 3)dxdy , ∂D : x + y = 6, y = 2x, y = 0.
D
3.Найти массу пластинки плотности γ (x, y) =y, ограниченной кривой r= a sinϕ , 0 ≤ ϕ ≤ π2 .
4.Найти объём тела, заданного ограничивающими его поверхностями
|
z = 2y, z = 0, x + y = 2, y = x . |
|
5. |
Вычислить тройной интеграл: |
|
|
∫∫∫(1 − x − y)dxdydz , <: x + y + z ≤ 1, z ≥ 0, |
y ≥ -2x, y ≥ 0. |
|
Ω |
|
6. |
Найти массу тела Ω плотности ρ , |
ограниченного данными |
поверхностями:
z = 1, z = 3, 2x + y = 3, x = 0, y = 0 и ρ(x, y, z) = z.
II. Криволинейные интегралы
1.Вычислить криволинейный интеграл II рода (в декартовых
координатах) ∫ (х − 3у)dx + y 2 xdy , L: y = 2x+1, -1≤ x≤1.
L
2.Вычислить криволинейный интеграл II рода (через параметр)
∫ |
x |
dx + (2x − y)dy , L: x=3cost, y=sint, 0 ≤ t ≤ π /4. |
|
|
|
||
L |
y |
|
|
3. |
Найти массу дуги кривой L: x=4t , y=et + e-t, 0 |
≤ t ≤ 1/4 с линейной |
|
8arctgx
плотностью f(x,y) = y(1 + x2 ) .
4.Применяя формулу Грина, вычислить интеграл
∫ (3xy + 8)dx + (6x2 −1)dy , L: y = x2 , y2 = x.
L
5.Вычислить интеграл
∫ |
( |
x |
+ 1 + 1 )dx + ( |
y |
+ 1 − x )dy . |
||||||
(2,2) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(1,1) |
|
x2 + y 2 |
x y |
x2 + y 2 |
|
y y 2 |
|||||
6.Восстановить функцию по ее дифференциалу
du = (3x2 tgy - 2у3 |
)dx + ( |
x3 |
+ 4y3 + 3у2 |
) dy. |
|
cos2 y |
|||||
x3 |
|
x2 |
|
89
Вариант 16
I. Кратные интегралы
1. Расставить пределы в интеграле ∫∫ f (x, y)dxdy и изменить порядок
D
интегрирования, если границы области D: y = x2, y = -7x + 6.
2.Вычислить интеграл:
∫∫(x 2 + y 2 )dxdy , ∂D : y = x, y = x + 3, x = -1, x = 2.
D
3.Найти площадь фигуры, ограниченной одним лепестком кривой r= a sin 2ϕ .
4.Найти объём тела, заданного ограничивающими его поверхностями z = 2x, z = 0, x + y = 2, y = 
x .
5.Вычислить тройной интеграл:
∫∫∫(x + y)dxdydz , <: z ≤ 1, x ≥ 0, x2 + y2 ≤ z.
Ω
6.Найти массу тела Ω плотности ρ , ограниченного данными
поверхностями:
z2 = x2 + y2, z = 3, z ≥ 0 и ρ(x, y, z) = z2.
II. Криволинейные интегралы
1.Вычислить криволинейный интеграл II рода ( в декартовых
координатах) ∫(х2 + 2у)dx + ( y − x)dy вдоль кривой |
L: y = |
1 |
от точки А(2,1/2) |
|
x |
||||
L |
|
|
||
до В(3,1/3). |
|
|
|
2.Вычислить криволинейный интеграл II рода (через параметр)
|
∫2xууd + ( y − 2x)dy , L: x=5cos3 t, y=5sin3 t, 0 ≤ t ≤ π . |
|
L |
3. |
Найти массу дуги кривой L: x = 2cost, y = 2sint, π /3 ≤ t ≤ π /2 с |
линейной плотностью f(x,y) =2x2 y– y 3.
4.Применяя формулу Грина, вычислить интеграл
∫ (4yx2 + x)dx + (3y2 − x)dy , L: y = - x2, y = 0, x = 4.
L
|
|
(π ,π ) |
|
5. |
Вычислить интеграл |
∫(sin y + y sin x)dx + (x cos y − cos x)dy . |
|
|
|
(π / 3,π / |
6) |
6.Восстановить функцию по ее дифференциалу
du = ( |
|
x |
− |
y |
) dx +( |
y |
+ 1 ) dy. |
x2 |
+ y2 |
|
x2 + y 2 |
||||
|
|
x2 |
x |
||||
90