Теория функций нескольких переменных. Дифференциальное и интегральное исчисление. Учебное пособие

Вариант 20.

1.

Для функции z = arccos(x + y) найти:

а) область определения функции, определить ее границы и сделать чертеж,

б) область значений функции,

в) семейство линий уровня и построить линию уровня, проходящую через

точку N(0,0) .

2.

Вычислить предел

lim

2x2 − 2 y

2

.

+ 2x − xy

x→2 x2

− 2 y

y→2

3.

Найти полный дифференциал функции z = (xy −

y

)2 .

x

4.

Показать, что частные производные функции

z = y ln(x 2 − y 2 )

удовлетворяют уравнению

1

∂z +

1

∂z =

z

.

x ∂x

y ∂y y 2

5.

Найти частные производные третьего порядка

∂3z

и

∂3z

от функции

∂x 2∂y

∂y 2∂x

y

2.

Вычислить предел lim(1+ xy) x .

x→0

y →1

−

x

3.

Найти полный дифференциал функции z = ye

y .

4.

Показать, что частные производные функции

z =

y

x 2 − y 2

удовлетворяют уравнению

1

∂z +

1

∂z =

z

.

x ∂x y ∂y

y 2

5.

Найти полный дифференциал второго порядка от функции z = arctg(xy) .

6.

Найти экстремумы функции двух переменных z = 2xy − 4x − 2 y +15.

7.

Найти условный экстремум функции z = −xy + y + x при

ограничении y = x 2 - 1.

8.

Функция z = z(x,y) задана неявно уравнением x 2 + y 2 + z 2 + 6 y + 4x = 8

∂z

∂z

а) найти частные производные ∂x

,

;

∂y

б) написать уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности

z = z(x,y) в точке P(0,4,4).

9.

Для данной поверхности z = x − 3y +

3xy написать уравнения

касательной плоскости и нормали в точке Q(3,4,-3).

10. Для скалярного поля u = sin

z + y

найти и построить:

1− x 2

точку N(1,0) .

2.

Вычислить предел

lim

ln(1+ x2 − y2 )

.

x

− y

x→1

y→1

3.

Найти полный дифференциал функции z = xye y 2 .

4.

Показать, что частные производные функции z = xy + x sin

y

x

∂z + y

∂z = xy + z .

удовлетворяют уравнению

x

∂x

∂y

5.

Найти частные производные третьего порядка

∂3z

и

∂3z

∂x

2∂y

∂y 2∂x

точку N(0,0) .

2. Вычислить предел lim

1− cos2(x2

+ y

2 )

.

x2 + y

2

x→0

y →0

удовлетворяют уравнению

1

∂z

+ 1 ∂z =

z

.

y ∂y x ∂x

x 2

Найти полный дифференциал второго порядка от функции z =

x

5.

.

x 2 + y 2

6.

Найти экстремумы функции двух переменных

z = −x 2 + 4xy − 2 y 2 − 5x − 7 y +1.

7.

Найти условный экстремум функции z = cos x + sin y + cos(x − y) при

ограничении x − y = −π , 0 ≤ x, y ≤ 2π .

8.

Функция z = z(x,y) задана неявно уравнением x 2 + y 2 − xy − yz = 0

∂z

∂z

а) найти частные производные ∂x

,

;

∂y

б) написать уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности

z = z(x,y) в точке P(-1,-1,1).

9.

Для данной поверхности z = arcctg

x

написать уравнения касательной

y

xy

2.

Вычислить предел lim(1+ x − y) x − y .

x→1

y→1

3.

Найти полный дифференциал функции z = sin y 2 cos2x .

4.

Показать, что частные производные функции z = xe y2 − x2

удовлетворяют

уравнению

1

∂z

+ 1 ∂z =

z

.

y ∂y

x ∂x

x 2

5.

Найти частные производные третьего порядка

∂3z

и

∂3z

∂x 2∂y

∂y 2∂x

z =

x

от функции

.

x 2 + y 2

6.

Найти экстремумы функции двух переменных

z = 3x 2 + xy − y 2 − x + 2 y + 7 .

7.

Найти условный экстремум функции z = x 3 + y 3 − 3x − 3y

при

1

2.

Вычислить предел

lim (1+ x2 y2 ) x 2 + y 2 .

x→0

y →0

3.

Найти полный дифференциал функции z = y x .

y

4.

Показать, что частные производные функции z = xy + xe x

удовлетворяют уравнению

x ∂z + y

∂z = xy + z .

¶x

¶y

6.

Найти экстремумы функции двух переменных

z = -x 2 - y 2 + 3xy + 4x + 5y + 3.

7.

Найти условный экстремум функции z = (x - y)2 + 4 при

ограничении y 2 = 2x .

8.

Функция z = z(x,y) задана неявно уравнением x 2 - y 2 - z 2 - 2 yz = z

∂z

∂z

а) найти частные производные

¶x ,

;

¶y

б) написать уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности

z = z(x,y) в точке P(0,2,-4).

9. Для данной поверхности z =

xy +

x + y -11 написать уравнения

касательной плоскости и нормали в точке Q(4,9,0).

10. Для скалярного поля u = cos(

x − z

×

π ) найти и построить:

x + y

2

точку N(1,2) .

2.

Вычислить предел

lim

xy

.

xy + 9 −

x→0

3

y →0

3.

Найти полный дифференциал функции z = 3 x − 2 y .

4.

Показать, что частные производные функции

z =

x

удовлетворяют

y 2 − x 2

уравнению

1

∂z

+ 1 ∂z =

z

.

y ∂y x ∂x

x 2

5.

Найти частные производные третьего порядка

∂3z

и

∂3z

∂x 2∂y

∂y 2∂x

от функции z = ln(x 2 + y 2 ) .

6.

Найти экстремумы функции двух переменных z = x 2 + 3xy − 4 y 2 + 2 y .

7.

Найти условный экстремум функции z = sin2 (x + y) − sin2 x при

ограничении

x + y = 0 , 0 ≤ x, y ≤ 2π .

8.

Функция z = z(x,y) задана неявно уравнением

x 2 + y 2 + z 2 + 6 y + 4x = 8

∂z

∂z

а) найти частные производные ∂x

,

;

∂y

б) написать уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности

z = z(x,y) в точке P(-1,-1,4).

9.

Для данной поверхности z = sin(x − π ) + 2xy + 3 написать уравнения

2

касательной плоскости и нормали в точке Q(π/2,0,3).

10. Для скалярного поля u =

x 2 + y 2

найти и построить:

точку N(0,0) .

1− cos xy

2.

Вычислить предел lim

.

x→2

x2 y2

y →0

3.

Найти полный дифференциал функции z = xe yx .

4.

Показать, что частные производные функции z = x ln( y 2 - x 2 )

удовлетворяют уравнению

1

∂z

+ 1 ∂z =

z

.

y ¶y

x ¶x

x 2

Найти полный дифференциал второго порядка от функции z =

y

5.

.

x 2 + y 2

6.

Найти экстремумы функции двух переменных

z = x 2 - 4 y 2 - 3x + 8y - xy +13 .

7.

Найти условный экстремум функции z = x 3 - y 3 - 3xy при

ограничении 3xy = 1.

8.

Функция z=z(x,y) задана неявно уравнением 2x2 + 2 y2 + z2 - 8yz - z + 8 = 0

∂z

∂z

а) найти частные производные

¶x ,

;

¶y

б) написать уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности

z = z(x,y) в точке P(0,2,1).

9.

Для данной поверхности z = sin2 x ×cos y написать уравнения

касательной плоскости и нормали в точке Q(p/4, p/4, Ö2/4).

10. Для скалярного поля u = 52x+ y +z

найти и построить:

1. Для функции z =

x

найти:

y − 2

y

2.

Вычислить предел lim(1+ x2 y) x 2 .

x→0

y→3

3.

Найти полный дифференциал функции z = e2−x2

sin y .

4.

Показать, что частные производные функции z = xy + x cos

y

x

удовлетворяют уравнению x ∂z + y

∂z = xy + z .

∂x

∂y

5.

Найти частные производные третьего порядка

∂3z

и

∂3z

∂x

2∂y

∂y 2∂x

z =

y

от функции

.

x 2 + y 2

6.

Найти экстремумы функции двух переменных

z = −3x 2 − 2 y 2 + 2xy − 3x + y +10.

7.

Найти условный экстремум функции z = e x + y 2

при

точку N(1,0) .

2. Вычислить предел lim

1- 3 xy

.

1- xy

x→1

y →1

4.

Показать, что частные производные функции

z = ye x2 − y 2

удовлетворяют уравнению

1

∂z +

1

∂z =

z

.

x ¶x

y ¶y

y 2

5.

Найти полный дифференциал второго порядка от функции z = cos(xy).

6.

Найти экстремумы функции двух переменных

z = 1 x 2 + 3y 2 - xy + 7x - y + 1 .

6

2

y

при ограничении y = x2 +1.

7.

Найти условный экстремум функции z = e x

8.

Функция z = z(x,y) задана неявно уравнением x 2 + y 2 + z 2 - xz - z - 2 = 0

∂z

∂z

а) найти частные производные

¶x

,

;

¶y

б) написать уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности

z = z(x,y) в точке P(0,0,2).

9.

Для данной поверхности

z = sin x + sin y + cos(x + y) написать уравнения