Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Теория функций нескольких переменных. Дифференциальное и интегральное исчисление. Учебное пособие

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

15.08.2026

Размер:

842 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 113 4 5 6 7 8 9 10 11 > Следующая >>>

Задачи для самостоятельного решения:

Найти градиенты функций z= z(x,y) в точках M:

			xy			2x

1)	z =				в М(0,3); 2) z = e x	2	+ y	2	в М(1,1); 3) u=xyz в М(3,-1,2).

		x	2 + y2
		x	2 + y2	+1

Ответы: 1) grad z = (3,0); 2) grad z = (0, - е); 3) grad u = (-2, 6, -3).

Варианты типовых заданий

Вариант 1.

1. Для функции z = x2 + y 2 − 9 найти:

а) область определения функции, определить ее границы и сделать чертеж, б) область значений функции, в) семейство линий уровня и построить линию уровня, проходящую через

точку N(0,3) .
2.	Вычислить предел lim		x	3 y3	.
2.	Вычислить предел lim		x2	+ y2	.
		x→0	x2	+ y2
		y→0
3.	Найти полный дифференциал функции z = x2 y3 .
4.	Показать, что частные производные функции z = x sin					y	удовлетворяют
4.	Показать, что частные производные функции z = x sin						удовлетворяют
уравнению 2x ∂z + 2y		∂z = z .				x
уравнению 2x ∂z + 2y		∂z = z .
	∂x	∂y

5. Записать полный дифференциал второго порядка от функции

z = arctg x2 . y

6. Найти экстремумы функции двух переменных

z= x 2 + xy + y 2 + 3x + 4 y + 6.

7.Найти условный экстремум функции z = xy(1− x − y) при ограничении x + y = 2 .

8.Функция z = z(x,y) задана неявно уравнением x2 + y 2 + z 2 + 6z − 4x + 8 = 0

∂z ∂z

а) найти частные производные ∂x , ∂y ;

б) найти касательную плоскость и нормаль к поверхности z = z(x,y) в точке P(2, 1,-1).

9.Для данной поверхности z = e x+2 y + y 2 (x +1) написать уравнения касательной плоскости и нормали в точке Q(0,-2,1).

10.Для скалярного поля u = ln( x2 + y 2 − z) найти и построить:

а) поверхность уровня, проходящую через точку М(1,0,0); б) градиент скалярного поля u в точке М(1,0 ,0). Вычислить производную по направлению l = (1,2,3).

Вариант 2.

1. Для функции z =	1	найти:

	16 − x2 + y2

а) область определения функции, определить ее границы и сделать чертеж, б) область значений функции,

в) семейство линий уровня и построить линию уровня, проходящую через точку N(0,0) .

Вычислить предел lim(1 + xy)

x2 + y 2

x→0

y→0

Найти полный дифференциал функции z = sin(x2 − y2 ) .

Показать, что частные производные функции z = x ln

удовлетворяют

уравнению

x ∂z + 2y

∂z = z .

∂x

∂y

Найти частные производные третьего порядка

∂3 z

∂x2∂y

∂y2∂x

от функции z = arctg x2 . y

6. Найти экстремумы функции двух переменных

z= −3x2 − xy + 2y2 + x − y −1.

7.Найти условный экстремум функции z = xy при ограничении x2 + y2 = 1.

8.Функция z = z(x,y) задана неявно уравнением x2 + y2 + z2 − xy + 3z = 7

∂z ∂z

а) найти частные производные ∂x , ∂y ;

б) написать уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности z = z(x,y) в точке P(2, 1,1).

9.	Для данной поверхности z = arcsin(xy2 ) + 4 написать уравнения
касательной плоскости и нормали в точке Q(-2,0,4).
	Для скалярного поля u =	x
10.			найти и построить:
		1+ x2 − y2 − z2

а) поверхность уровня, проходящую через точку М(1,1,0); б) градиент скалярного поля u в точке М(1,1,0).

Вычислить производную по направлению l = (1,2,3).

Вариант 3.

1. Для функции z = 1− (x2 + y2 ) найти:

точку N(1,0) .

xy −1

Вычислить предел lim

x→0

(xy)3 −1

y →0

Найти полный дифференциал функции

z = ln

Показать, что частные производные функции z = x sin

удовлетворяют

уравнению

x ∂z + 2y ∂z = z .

∂x

∂y

5. Записать полный дифференциал второго порядка от функции

z = e x 2 − y 2 .

Найти экстремумы функции двух переменных

z = 5x2 + 2xy − y2 + x + 3y + 4.

Найти условный экстремум функции

z = sin x + sin y + sin(x + y) при

ограничении

x + y =

π , 0 ≤ x, y ≤ 2π .

Функция z = z(x,y) задана неявно уравнением x2 + y2 + z 2

+ 6y + 4x = 8

∂z

а) найти частные производные ∂x

, ∂y ;

б) написать уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности

z = z(x,y) в точке P(-1, 1,2).

x − y

Для данной поверхности z = arctg

+ 4 написать уравнения

1 + xy

касательной плоскости и нормали в точке Q(2,2,4).

10. Для скалярного поля

u = ln(x2

+ ey2 + z 2 ) найти и построить:

а) поверхность уровня, проходящую через точку М(1,0,0);

б) градиент скалярного поля u в точке М(1,0,0).

Вычислить производную по направлению l = (1,2,3).

Вариант 4.

1. Для функции z = ln(−x − y) найти:

а) область определения функции, определить ее границы и сделать чертеж, б) область значений функции,

в) семейство линий уровня и построить линию уровня, проходящую через точку N(-е,0) .

Вычислить предел

lim (1 + xy) x 2 + xy .

x →0

y →2

Найти полный дифференциал функции

z = sin2 x + cos2

y .

Показать, что частные производные функции z = y

− y2

удовлетворяют уравнению

y2 ∂z + xy ∂z = xz .

∂x

∂y

Найти частные производные третьего порядка

∂3 z

∂x2∂y

∂y 2∂x

от функции

z = e x 2 − y 2 .

Найти экстремумы функции двух переменных

z = x2 + xy + y 2 − 2x − 3y .

Найти условный экстремум функции z = x4 + y4

+ 4x + 4 y

при

ограничении x + y = 4 .

Функция z = z(x,y) задана неявно уравнением x2

+ y2

+ z 2

− 6y + 4z = 4

∂z

а) найти частные производные

∂x ,

∂y ;

б) написать уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности

z = z(x,y) в точке P(2, 1,-1).

Для данной поверхности z = sin(x2

− y2 )

написать уравнения касательной

плоскости и нормали в точке Q(1,-1,0).

10. Для скалярного поля u =

x + y + z

найти и построить:

4 − x2 − y2 − z2

а) поверхность уровня, проходящую через точку М(0,0,0); б) градиент скалярного поля u в точке М(0,0,0).

Вычислить производную по направлению l = (1,2,3).

Вариант 5.

1. Для функции z = x2 + y2 − 4 найти:

точку N(0,2) .
2. Вычислить предел lim x sin		1	.

	x→∞	x + y
	y→1
3.	Найти полный дифференциал функции z = cos(x2 y + 2x) .
4.	Показать, что частные производные функции z = y(x2 − y2 )2
удовлетворяют уравнению y2 ∂z + xy ∂z = xz .
	∂x	∂y

5.Записать полный дифференциал второго порядка от функции z = e xy .

6.Найти экстремумы функции двух переменных

z = x2 + xy + y2 − 4x − 5y +11.

7.	Найти условный экстремум функции z =		1 x3	− 2y3 + x − 6y при
			3
ограничении x − 6y = 1.
8.	Функция z = z(x,y) задана неявно уравнением2x2 − y2 + z 2 − 6x + 2y + 6 = 0
	∂z	∂z
	а) найти частные производные ∂x	, ∂y ;

б) написать уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности z = z(x,y) в точке P(1,-1,1).

9. Для данной поверхности z = ln(x2 + 4y2 ) написать уравнения касательной плоскости и нормали в точке Q(6, 4, ln100).

= x + y + z

10. Для скалярного поля u arctg 1− xy найти и построить:

а) поверхность уровня, проходящую через точку М(1,0,0); б) градиент скалярного поля u в точке М(1,0,0).

Вычислить производную по направлению l = (1,2,3).

Вариант 6.

1. Для функции z = ln(x − 2) − ln(y − 2) найти:

точку N(3,3) .

Вычислить предел lim

sin(x

3 + y

+ y2

x→0

y→0

Найти полный дифференциал функции

z = sin(xy2 + 2y) .

Показать, что частные производные функции z =

+ xy удовлетворяют

x2 ∂z − xy ∂z + y2

уравнению

= 0 .

∂x

∂y

Найти частные производные третьего порядка

∂3z

∂x 2∂y

∂y 2∂x

от функции

z = e xy .

Найти экстремумы функции двух переменных

z = 3x + 6y − x 2 − xy + y 2 .

Найти условный экстремум функции

z = e x ( y 2 + x)

при

ограничении

x 2 + y 2 = 1.

8. Функция z = z(x,y) задана неявно уравнением x 2 + y 2 − z 2 + 6xy − z = 8

∂z ∂z

а) найти частные производные ∂x , ∂y ;

б) написать уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности z = z(x,y) в точке P(1,1,0).

9. Для данной поверхности	z =	2 + y	2	написать уравнения касательной

		xy +	2

плоскости и нормали в точке Q(1,1,1).

10. Для скалярного поля u = sin(x 2 + y 2 − 2z ) найти и построить:

а) поверхность уровня, проходящую через точку М(0,0,2π); б) градиент скалярного поля u в точке М(0,0, 2π).

Вычислить производную по направлению l = (1,2,3).

Вариант 7.

1. Для функции z = 1− x − y 2 найти:

точку N(0,0) .

Вычислить предел lim

1− cos(x2

+ y2 )

(x2 + y

2 )2

x→0

y→0

Найти полный дифференциал функции z = ln(x 2 − y 2 ).

Показать, что частные производные функции z =

x 2

+ xy

удовлетворяют

уравнению y 2 ∂z − xy ∂z + x 2 = 0 .

∂y

∂x

Найти полный дифференциал второго порядка от функции

z = sin(xy) .

Найти экстремумы функции двух переменных

z = y 2 − x 2 + xy − 2x − 6y .

Найти условный экстремум функции z = x 2 + ( y − 2)2 при

ограничении

x 2 − y 2 = 4 .

Функция z = z(x,y) задана неявно уравнением x 2 + z 2 − 2 yz + 3y = 46

∂z

а) найти частные производные ∂x

;

∂y

б) написать уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности

z = z(x,y) в точке P(1,2,-3).

Для данной поверхности z = e x2 y +

написать уравнения касательной

плоскости и нормали в точке Q(2,0,1).

10. Для скалярного поля u = tg( x2 −π z ) найти и построить: y

а) поверхность уровня, проходящую через точку М(0,1,0); б) градиент скалярного поля u в точке М(0,1,0).

Вычислить производную по направлению l = (1,2,3).

Вариант 8.

1. Для функции z = arcsin x найти: y

а) область определения функции, определить ее границы и сделать чертеж, б) область значений функции,

в) семейство линий уровня и построить линию уровня, проходящую через точку N(2,1) .

Вычислить предел lim (1+ xy2 ) x 2 y + xy 2 .

x→0

y →3

Найти полный дифференциал функции z = ln( y2 − 2xy).

Показать, что частные производные функции z =

удовлетворяют

x 2 + y 2

уравнению

y ∂z − x

∂z

= 0 .

∂x

∂y

Найти частные производные третьего порядка

∂3z

∂x 2∂y

∂y 2∂x

от функции

z = sin xy .

Найти экстремумы функции двух переменных

z = 4x 2 + xy − 6 + y 2 + 2 y .

Найти условный экстремум функции z = 2x + 3y − 6

при

ограничении

x 2 + 4 y 2 = 4.

Функция z = z(x,y) задана неявно уравнением x 2 + y 2 − xy − yz = 0

∂z

а) найти частные производные ∂x

;

∂y

б) написать уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности z = z(x,y) в точке P(0, 2,2).

9. Для данной поверхности z = 4 − x − y + x 2 + y 2 написать уравнения

касательной плоскости и нормали в точке Q(4,3,2).

x + y

10. Для скалярного поля u = e z2 найти и построить: а) поверхность уровня, проходящую через точку М(0,0,1); б) градиент скалярного поля u в точке М(0,0,1).

Вычислить производную по направлению l = (1,2,3).

Вариант 9.

1. Для функции z = ln(x 2 + y 2 −1) найти:

а) область определения функции, определить ее границы и сделать чертеж, б) область значений функции,

в) семейство линий уровня и построить линию уровня, проходящую через точку N(1,2) .

2. Вычислить предел lim	tg(2xy)	.

x→2	x2 y
y→0

3.Найти полный дифференциал функции z = arctg(x2 − 2 y) .

4.Показать, что частные производные функции z = x 2 + y 2

удовлетворяют уравнению	y	∂z − x	∂z	= 0 .

		∂x	∂y

5. Найти полный дифференциал второго порядка

		x
от функции	z = e y .

6. Найти экстремумы функции двух переменных

z= x 2 + 8y 2 − 3xy + 8y +1.

7.Найти условный экстремум функции z = sin x + cos y + cos(x − y)

при ограничении x − y = π , 0 ≤ x, y ≤ 2π .

8. Функция z = z(x,y) задана неявно уравнением y 2 − z 2 + x 2 − 2xz + 2x = z

а) найти частные производные		∂z	,	∂z	;
		∂x
				∂y
б) написать уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности
z = z(x,y) в точке P(1,1,1).
9. Для данной поверхности z =	5 + x5				написать уравнения касательной

плоскости и нормали в точке Q(1,1,6).

10. Для скалярного поля u = ln(2 − x 2 − y 2 − z 2 ) найти и построить: а) поверхность уровня, проходящую через точку М(1,0,0);

б) градиент скалярного поля u в точке М(1,0,0). Вычислить производную по направлению l = (1,2,3).

<<< < Предыдущая 1 23 / 113 4 5 6 7 8 9 10 11 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]