Теория функций нескольких переменных. Дифференциальное и интегральное исчисление. Учебное пособие
.pdf
Вариант 17
I. Кратные интегралы
1. Расставить пределы в интеграле ∫∫ f (x, y)dxdy и изменить порядок
D
интегрирования, если границы области D: xy=2, y=x+1, x=4.
2.Вычислить интеграл:
∫∫(4 + x + y)dxdy , ∂D : y = -2x + 1, y = -2x + 5, x = 0, x = 3.
D
3.Найти координаты центра тяжести фигуры, ограниченной одним лепестком кривой r = a sin 2ϕ .
4.Найти объём тела, заданного ограничивающими его поверхностями
z = 30y, z = 0, x2 + y2 = 8, x = 2y , x = 0.
5.Вычислить тройной интеграл:
|
∫∫∫(x 2 + y 2 )dxdydz , |
<: z = = x2 - y2, z ≥ 0, y ≥ 0, 0 ≤ x ≤ 1. |
6. |
Ω |
тела Ω плотности ρ , ограниченного данными |
Найти массу |
поверхностями:
2x + y + z – 4 = 0, z = 0, x = 0, y = 0 и ρ(x, y, z) = y.
II. Криволинейные интегралы
1.Вычислить криволинейный интеграл II рода (в декартовых
координатах) ∫(3у − 2x)dx + y 2 dy , L: y = x , 1≤ x≤9.
L
2.Вычислить криволинейный интеграл II рода (через параметр)
|
∫ (3x + 2y)dx + (x2 + y 2 )dy , L: x=3t3 , y=3t – t 3, |
0 ≤ t ≤ 2. |
||
|
L |
|
|
|
3. |
Найти массу дуги кривой L: y=1 – x 2, 1 ≤ x ≤ 3 |
с линейной плотностью |
||
|
|
2xy |
|
|
|
f(x,y) = |
|
. |
|
|
5 − 4y |
|
||
4.Применяя формулу Грина, вычислить интеграл
∫ (1− 3xy2 )dx + 5dy , L: y2 = - x, x = - 4.
L
5. |
(π / 4,π / 4) y + sin x cos2 |
(xy) |
dx + ( |
x |
+ sin y)dy . |
||
Вычислить интеграл ∫ |
|
|
|
|
|||
cos2 (xy) |
|
cos2 |
(xy) |
||||
|
(0,0) |
|
|
|
|||
6.Восстановить функцию по ее дифференциалу
du = |
2x |
dx + |
y 2 − 3x2 |
dy. |
|
y3 |
y4 |
||||
|
|
|
91
Вариант 18
I. Кратные интегралы
1. Расставить пределы в интеграле ∫∫ f (x, y)dxdy и изменить порядок
D
интегрирования, если границы области D: y = 9 – x 2, y = 8x.
2.Вычислить интеграл:
∫∫(x + y)dxdy , ∂D : y = x2, y = x + 2.
D
3.Найти массу пластинки плотности γ (x, y) =y, ограниченной кривой r= a sin 2ϕ (один лепесток).
4.Найти объём тела, заданного ограничивающими его поверхностями
z = 15y, z = 0, x2 + y2 = 8, x = - 2y .
5.Вычислить тройной интеграл:
∫∫∫zdxdydz , <: z ≤ = x + y + 1, z ≥ 0, x ≤ 0, y ≥ 0.
Ω
6.Найти массу тела Ω плотности ρ , ограниченного данными
поверхностями:
x2 + y2 = 2z, x2 + y2 = 1, z = 0, x = 0, y = 0 и ρ(x, y, z) = 10x.
II. Криволинейные интегралы
1.Вычислить криволинейный интеграл II рода ( в декартовых
координатах) ∫( |
x3 |
− 2)dx + ( y + 3x)dy вдоль кривой L: y= - 2x от точки А(1,-2) |
|
y |
|||
L |
|
до В(-1,2).
2.Вычислить криволинейный интеграл II рода (через параметр)
∫ (x2 − y)dx + xydy , |
L: x= t2, y= t - |
t 2 |
, 0 ≤ t ≤ 1. |
|
3 |
||||
L |
|
|
3.Найти массу дуги кривой L: y=x2 + 4x + 3, -1 ≤ x ≤ 1 с линейной
плотностью f(x,y) = (x + 2) 4y + 5 .
4.Применяя формулу Грина, вычислить интеграл
|
∫(8xy − 5)dx + 3xydy , |
L: y2= - x, |
y= - x. |
|
|
L |
|
|
|
|
|
(2,0) |
+ y 2 |
+1)dx + 2yxdy . |
5. |
Вычислить интеграл |
∫ (x2 |
||
(0,4)
6.Восстановить функцию по ее дифференциалу du = (ey cosx + y + ex)dx +(ey sinx + x) dy.
92
Вариант 19
I. Кратные интегралы
1. Расставить пределы в интеграле ∫∫ f (x, y)dxdy и изменить порядок
D
интегрирования, если границы области D: y = x, y = −x, y = −2.
2.Вычислить интеграл:
∫∫(3x − 2y)dxdy , ∂D : y = x2, y = 0, x = 1.
D
3.Найти площадь фигуры, ограниченной кривой r= a(1 − cosϕ) .
4.Найти объём тела, заданного ограничивающими его поверхностями
z = 30y, z = 0, x2 + y2 = 8, x = - 2y , x = 0.
5.Вычислить тройной интеграл:
∫∫∫xdxdydz , >: x |
2 + |
y 2 |
≤ z , x ≥ 0, y ≥ 0, z ≤ 1. |
|
|||
Ω |
9 |
|
|
|
|
|
|
6.Найти массу тела Ω плотности ρ , ограниченного данными
поверхностями:
z2 + x2 + y2 = 5, x2 + y2 = |
z 2 |
, z ≥ 0 и ρ(x, y, z) = 1. |
|
4 |
|||
|
|
II. Криволинейные интегралы
1.Вычислить криволинейный интеграл II рода ( в декартовых
координатах) ∫ xydx + (2x − 2y)dy вдоль кривой L: y= 4x от точки А(0,0) до
L
В(1,4).
2.Вычислить криволинейный интеграл II рода (через параметр)
∫(3x − 2y)dx + xdy , L: x = t2 – 1, y = t 3 – t , 0 ≤ t ≤ 1.
L
3. Найти массу дуги кривой L: x2 – 2y 2 = 8, 0 ≤ y ≤ 1 с линейной
|
xy3 |
|
плотностью f(x,y) = |
|
. |
16x2 + 64y 2 |
||
4.Применяя формулу Грина, вычислить интеграл
|
∫ |
( |
3y2 |
+ 2x)dx + (x2 |
+ 5y)dy , |
ABC: A(-1,0), B(0,1), C(1,0). |
|
|
|||||
|
ABC |
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(4,1) |
+ y3 )dx + (x3 + 3xy 2 )dy . |
5. |
Вычислить интеграл |
∫ (3x2 y |
||||
|
|
|
|
|
(1,4) |
|
6. |
Восстановить функцию по ее дифференциалу |
|||||
|
du = (2yex – e y)dx + (2ex - xey) dy. |
|||||
93
Вариант 20
I. Кратные интегралы
1. Расставить пределы в интеграле ∫∫ f (x, y)dxdy и изменить порядок
D
интегрирования, если границы области D: y = x2, y = 7x + 6.
2.Вычислить интеграл:
∫∫(5x − 2y)dxdy , ∂D : y = x, y = x2.
D
3.Найти координаты центра тяжести фигуры ограниченной кривой
r = a(1 − cosϕ) .
4.Найти объём тела, заданного ограничивающими его поверхностями
z = (10/11) y, z = 0, x2 + y2 = 18, x = 3y , x = 0.
5.Вычислить тройной интеграл:
∫∫∫ |
xdxdydz |
, >: y + x – z ≤ π, z |
≤ 0, 0 ≤ y ≤ sin x . |
π − x − y |
|||
Ω |
|
|
|
6.Найти массу тела Ω плотности ρ , ограниченного данными
поверхностями:
x 2 |
+ |
y 2 |
+ |
z 2 |
= 1, z ≥ 0, ρ(x, y, z) = z. |
1 |
4 |
|
|||
|
1 |
|
|||
II. Криволинейные интегралы
1.Вычислить криволинейный интеграл II рода ( в декартовых
координатах) ∫ (2x − y)dx − xydy вдоль кривой L: y = - x 3 от точки А(1,-1) до
L
В(0,0).
2.Вычислить криволинейный интеграл II рода (через параметр)
|
∫ |
x2 |
dx + (x − 4y)dy , |
L: x = cos3 t, y = sin3 t , 0 ≤ t ≤ π /2. |
|
y |
|||
|
L |
|
|
|
3. |
Найти массу дуги кривой L: x2 + y2 = 25, 0 ≤ x ≤ 5 с линейной |
|||
плотностью f(x,y) = x(x2 + y2). |
|
|||
4. |
Применяя формулу Грина, вычислить интеграл |
|||
|
∫ (y2 |
+ 6cos x)dx − (x2 |
+ 8tgy)dy , L: y = x2 , y = 9. |
|
|
L |
|
|
|
|
|
|
|
(1,π / 2) |
5. |
Вычислить интеграл |
∫ (1 + 2x sin y)dx + (x2 cos y − 3y 2 )dy . |
||
(−1,0)
6.Восстановить функцию по ее дифференциалу
du = (2xy ex 2 |
+ lny)dx + ( ex2 + |
x |
+ ey) dy. |
|
|||
|
|
y |
|
94
Вариант 21
I. Кратные интегралы
1. Расставить пределы в интеграле ∫∫ f (x, y)dxdy и изменить порядок
D
интегрирования, если границы области D: y = x2, y2 = x, x = 0.5 (x>0.5).
2.Вычислить интеграл:
∫∫(2x + y)dxdy , ∂D : y = x2, 4y = x2, y = 4.
D
3. Найти массу пластинки плотности γ (x, y) =x, ограниченной кривой
r= a sin 2ϕ , 0 ≤ ϕ ≤ π2 .
4.Найти объём тела, заданного ограничивающими его поверхностями z =3y, z = 0, x + y = 4, y = 
2x .
5.Вычислить тройной интеграл:
∫∫∫dxdydz , <: x2 + y2 ≤ 4, z ≤ xy, z ≥ 0, x ≥ 0, y ≥ 0.
Ω
6.Найти массу тела Ω плотности ρ , ограниченного данными
поверхностями:
x2 + y2 + z2 ≤ R2, z ≥ 0 и ρ(x, y, z) = x2 + y2.
II. Криволинейные интегралы
1.Вычислить криволинейный интеграл II рода ( в декартовых
координатах) ∫2x2 ydx + (3x − y)dy вдоль кривой L: y= x2 + 1 от точки А(-2,5) до
L
В(1,2).
2.Вычислить криволинейный интеграл II рода (через параметр)
∫( y + 1)dx + (x −1)dy , L: x = t – sin t, y = 1 – cos t , 0 ≤ t ≤ 2π .
L
3.Найти массу дуги кривой L: x = 1+e3t , y = 3e-t , 0 ≤ t ≤ 1 с линейной
плотностью f(x,y) = 9(x −1)2 + y 2 .
4.Применяя формулу Грина, вычислить интеграл
∫ y2dx − xydy , ABC: A(1,1), B(2,1), C(1,2).
ABC
|
|
(π / 3,π / 2) |
5. |
Вычислить интеграл |
∫( y cos x − cos y)dx + (x sin y + sin x)dy . |
(−π / 6,0)
6.Восстановить функцию по ее дифференциалу du = (x4 +4xy3)dx + (6x2 y2 - 5y4) dy.
95
Вариант 22
I. Кратные интегралы
1. Расставить пределы в интеграле ∫∫ f (x, y)dxdy и изменить порядок
D
интегрирования, если границы области D: y=x, y=2x, y=6.
2.Вычислить интеграл:
∫∫(2 + x − 4y)dxdy , ∂D : y = x2, 4y = x2, x = 0, x = 2.
D
3.Найти массу пластинки плотности γ (x, y) =x, ограниченной кривой
r= a(1 + cosϕ) .
4.Найти объём тела, заданного ограничивающими его поверхностями
z = |
|
12 |
x , z = 0, x + y = 2, x = y . |
|
5 |
||||
|
|
|||
5.Вычислить тройной интеграл:
∫∫∫xyzdxdydz , <: x2 + y2 + z2 ≤ 1, x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0.
Ω
6.Найти массу тела Ω плотности ρ , ограниченного данными
поверхностями:
y2 + z2 = 2x, y2 + z2 = 2z, x = 0 , ρ(x, y, z) = 1.
II. Криволинейные интегралы
1.Вычислить криволинейный интеграл II рода ( в декартовых
координатах) ∫(x − 3y)dx − xdy вдоль кривой L: y=2x3 - 1 от точки А(1,1) до
L
В(0,-1).
2.Вычислить криволинейный интеграл II рода (через параметр)
∫ x2 ydx + (3x − y)dy , L: x = et , y = e-t , 1 ≤ t ≤ 2.
L
1
3. Найти массу дуги кривой L: y = 1 + 4x2 , 0 ≤ x ≤ 1/2 с линейной
|
xy |
|
плотностью f(x,y) = |
|
. |
1 + 8x2 y 4 |
||
4.Применяя формулу Грина, вычислить интеграл
|
∫ (x2 − y)dx + (x + e y )dy , |
L: y = x2 +1, y = 0, x = 1, x = -1. |
|
L |
|
|
(π / 3,π / 2) |
|
5. |
Вычислить интеграл |
∫( y cos x + 2x)dx + (sin x + sin y − 2y)dy . |
(π / 6,π / 3)
6. Восстановить функцию по ее дифференциалу du = (y + ysinx + siny)dx + (x – cosx + xcosy) dy.
96
Вариант 23
I. Кратные интегралы
1. Расставить пределы в интеграле ∫∫ f (x, y)dxdy и изменить порядок
D
интегрирования, если границы области D: y = 3x, y = 8 – x, y = 0.
2.Вычислить интеграл:
∫∫(3x + y )dxdy , ∂D : y = 2x, y = 6 – x, x = 0. |
|
D |
2 |
|
|
3.Найти координаты центра тяжести фигуры, ограниченной кривой
r= a(1 − cosϕ) .
4.Найти объём тела, заданного ограничивающими его поверхностями z = 12y, z = 0, x + y = 2, y = 
x .
5.Вычислить тройной интеграл:
∫∫∫dxdydz , <: z ≥ x2 + y2 , z ≤ 2x + 2y.
Ω
6.Найти массу тела Ω плотности ρ , ограниченного данными
поверхностями:
x2 = y2 + z2, y + z = 1, z = 0, y = 0, x = 0 , ρ(x, y, z) = 1
II. Криволинейные интегралы
1.Вычислить криволинейный интеграл II рода ( в декартовых
координатах) ∫( |
x |
+ 2)dx + (2y − 3x)dy , |
L: y = - x2 , 0 ≤ x ≤ 2. |
||||||||
|
|||||||||||
|
L y 2 |
|
|
|
|
|
|
||||
2. |
Вычислить криволинейный интеграл II рода (через параметр) |
||||||||||
|
∫ y 2 xdx + (1 − y)dy , L: x = 3cos t , y = 3sin t , 0 ≤ t ≤ π /6. |
||||||||||
|
L |
|
|
|
|
|
|
||||
3. |
Найти массу дуги кривой L: x= 1 (t + |
2π |
) , y =sin t, 0 ≤ t ≤ π /2 с |
||||||||
3 |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|||
|
|
|
|
y 2 cos(4x − |
2π |
) |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
||||||
линейной плотностью f(x,y) = |
|
|
3 |
. |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|||||||
|
17 |
−16y 2 |
|
|
|||||||
4. |
Применяя формулу Грина, вычислить интеграл |
||||||||||
|
∫ (xy − y2 )dx + 2dy , L: y = 2 x , y = 0, x = 4. |
||||||||||
|
L |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
(0,π / 6) |
+ sin x) + sin y)dx + (−x cos x + x cos y)dy . |
||||||
5. |
Вычислить интеграл |
∫( y(1 |
|||||||||
(−π / 2,0)
6.Восстановить функцию по ее дифференциалу du = (ycosx + 2x)dx + (sinx + siny - 2y) dy.
97
Вариант 24
I. Кратные интегралы
1. Расставить пределы в интеграле ∫∫ f (x, y)dxdy и изменить порядок
D
интегрирования, если границы области D: y = x2, y = 3x, y = 1 (y < 1).
2.Вычислить интеграл:
∫∫(x + 5y + 3)dxdy , ∂D : y = 
x , y = 2 
x , x = 4.
D
3.Найти координаты центра тяжести фигуры, ограниченной кривой
r= a(1 + cosϕ) .
4.Найти объём тела, заданного ограничивающими его поверхностями
z = 30y, z = 0, x2 + y2 = 2, x = 0, x = y .
5.Вычислить тройной интеграл:
∫∫∫2zdxdydz , <: z2 ≤ 2x, x2 + y2 ≤ z2.
6. |
Ω |
плотности ρ , ограниченного данными |
|||
Найти массу тела Ω |
|||||
поверхностями: |
|
|
|
||
|
x2+y2+z2=z и ρ(x, y, z) = |
|
1 |
|
. |
|
|
|
|
||
|
|
x 2 |
+ y 2 |
+ z 2 |
|
II. Криволинейные интегралы
1.Вычислить криволинейный интеграл II рода (в декартовых
координатах) ∫(3х2 + у)dx + (2y − x)dy , L: y = 3x2 , 1≤x≤2.
L
2.Вычислить криволинейный интеграл II рода (через параметр)
|
∫ xydx + (x + 2y)dy , L: x=4cost, y=4sint, 0 ≤ t ≤ π /3. |
|
L |
3. |
Найти массу дуги кривой L: x=cost , y=3sint, 0 ≤ t ≤ π /2 с линейной |
плотностью f(x,y) = 81x2 + y 2 .
4.Применяя формулу Грина, вычислить интеграл
∫ (5x − xy)dx + 4(x −1)dy , L: y = x2 + 2, y = 3.
L
|
(2,1) |
+ xy2 )dx + (x2 y + y3 )dy . |
5. |
Вычислить интеграл ∫ (x3 |
|
|
(1,4) |
|
6. |
Восстановить функцию по ее дифференциалу |
|
du = (siny - ysinx)dx + (xcosy + cosx) dy.
98
Вариант 25
I. Кратные интегралы
1. Расставить пределы в интеграле ∫∫ f (x, y)dxdy и изменить порядок
D
интегрирования, если границы области D: y = 2 – x, y = x/2, y = 0.
2.Вычислить интеграл:
|
∫∫(x − 6y)dxdy , ∂D : y = x2, y = 4. |
|
D |
3. |
Найти массу пластинки плотности γ (x, y) =x, ограниченной кривой |
r= a(1 − cosϕ) .
4.Найти объём тела, заданного ограничивающими его поверхностями
z = |
|
6 |
|
y , z = 0, x2 + y2 = 50, x = 5y . |
|
11 |
|||||
|
|
||||
5.Вычислить тройной интеграл:
∫∫∫2zdxdydz , <: x2 + y2 + z2 ≤ 1, z ≥ 0, y ≥ x2, x ≥ y2.
6. |
Ω |
|
плотности ρ , ограниченного данными |
Найти массу |
тела Ω |
||
поверхностями: |
|
|
|
|
x2+y2+z2=4x и |
ρ(x, y, z) = |
x 2 + y 2 + z 2 . |
II. Криволинейные интегралы
1.Вычислить криволинейный интеграл II рода ( в декартовых
координатах) ∫ (3xy 2 −1)dx + x2 ydy вдоль кривой L: y= 2x - 3 от точки А(1,-1) до
L
В(-1,-5).
2.Вычислить криволинейный интеграл II рода (через параметр)
|
∫(2y − x)dx + (x + 2)dy , L: x=cos3 t, y = sin3 t, 0 ≤ t ≤ π . |
|
L |
3. |
Найти массу дуги кривой L: y = ln(x – 1), 2 ≤ x ≤ 3 с линейной |
|
e3 y |
|
плотностью f(x,y) = |
|
. |
1 + e2 y |
||
4.Применяя формулу Грина, вычислить интеграл
|
∫(7x − y2 )dx + (sin y − 3)dy , |
L: y= 1 – x 2, y=0. |
|
L |
|
|
(5,1) |
+ 4xy3 )dx + (6x2 y 2 − 5y 4 )dy . |
5. |
Вычислить интеграл ∫ (x4 |
(0,0)
6.Восстановить функцию по ее дифференциалу du = (y cosx - cos y)dx +(x siny + sinx) dy.
99
Вариант 26
I. Кратные интегралы
1. Расставить пределы в интеграле ∫∫ f (x, y)dxdy и изменить порядок
D
интегрирования, если границы области D: xy = 4, y = 2x, x = 3.
2.Вычислить интеграл:
∫∫(2x + 5y)dxdy , ∂D : y = x2, y = 2x + 3.
D
3.Найти площадь фигуры, ограниченной кривой r= a(1 + cosϕ) .
4.Найти объём тела, заданного ограничивающими его поверхностями
z + y = 0.5, z = 0, x = 17 2y , x = 2 2y .
5.Вычислить тройной интеграл:
|
∫∫∫ |
|
dxdydz |
, >: |
x |
2 |
+ y |
2 |
≤ 2z, z |
≤ x – y. |
|
|
x 2 |
+ y 2 |
− 2x + 2y |
|
|
||||||
6. |
Ω |
|
|
|
|
|
|
|
|
ρ , ограниченного данными |
|
Найти |
массу |
тела |
Ω |
|
плотности |
||||||
поверхностями: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
x2+y2=2z, z = 2 и ρ(x, y, z) = |
x 2 |
|
+ y 2 . |
|
||||||
II. Криволинейные интегралы
1.Вычислить криволинейный интеграл II рода ( в декартовых
координатах) ∫(3 x2 y −1)dx + ( y − 2x)dy , L: y = 8x, -1 ≤ x ≤ 0 .
L
2.Вычислить криволинейный интеграл II рода (через параметр)
|
|
x3 |
dx + (x − y)dy , L: x = 3t, y = 3t2 , |
-1 ≤ t ≤ 0. |
||||||
∫L y |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||
3. |
Найти массу дуги кривой L: y = |
|
1 |
|
, -3 ≤ x ≤ -2 с линейной |
|||||
x |
+ 1 |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
y |
|
|
|
|||
плотностью |
|
f(x,y) = |
|
. |
|
|
|
|||
|
1 + (x +1)4 |
|
|
|
||||||
4.Применяя формулу Грина, вычислить интеграл
|
∫ |
(x3 − 2y)dx + (2xy + sin(y3 ))dy |
, |
: y2 = 1 - x , x = - 4. |
||||
|
|
|
L |
|||||
|
L |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(1,2) |
|
+ ln y)dx + (ex2 + |
x |
+ e y )dy . |
|
5. |
Вычислить интеграл |
∫ (2xyex2 |
||||||
|
||||||||
|
|
|
(2,1) |
|
|
y |
||
6. |
Восстановить функцию по ее дифференциалу |
|||||||
|
du = (1 + 2x siny)dx + (x2 cosy – 3y 2) dy. |
|||||||
100