Теория функций нескольких переменных. Дифференциальное и интегральное исчисление. Учебное пособие

1

2.

Вычислить предел

lim(1− xy) xy .

x→0

y→5

3.

Найти полный дифференциал функции

z = ln(2xy − 3x).

4.

Показать, что частные производные функции z = (x 2 + y 2 )2

удовлетворяют уравнению

y

∂z − x

∂z = 0 .

∂x

∂y

5.

Найти частные производные третьего порядка

∂3z

и

∂3z

∂x

2∂y

∂y 2∂x

x

от функции

z = e y .

6.

Найти экстремумы функции двух переменных

z = x 2 − y 2 + 3xy + x − 5.

7.

Найти условный экстремум функции

z = y + x

при

ограничении

1

+

1

=

1

.

2

x 2

y 2

8.

Функция z=z(x,y) задана неявно уравнением x 2 + y 2 + 2 yz − z 2 + y − 2z = 2

∂z

∂z

а) найти частные производные

∂x

,

;

∂y

б) написать уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности

z = z(x,y) в точке P(1,1,1).

9.

Для данной поверхности z =

9 − x cos y + y sin x

написать уравнения

удовлетворяют уравнению

y

∂z − x

∂z

= 0 .

∂x

∂y

7.

Найти условный экстремум функции z =

1

+

1

при

x

y

ограничении x + y = 2 .

8.

Функция z=z(x,y) задана неявно уравнением 2x 2 + 2 y 2 + z 2 − 8xz − z + 8 = 0

∂z

∂z

а) найти частные производные

∂x

,

;

∂y

б) написать уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности

z = z(x,y) в точке P(2,0,1).

9.

Для данной поверхности z = y

1 + x − x 1 + y

написать уравнения

точку N(0,0) .

ln(1+ xy)

2.

Вычислить предел

lim

.

x→2

y

y →0

3.

Найти полный дифференциал функции z = x 2 − y 2 .

4.

Показать, что частные производные функции z = y ln(x 2 − y 2 )

удовлетворяют уравнению

y

2 ∂z + xy

∂z = xz .

∂x

∂y

5.

Найти частные производные третьего порядка

∂3z

и

∂3z

∂x

2∂y

∂y 2∂x

от функции z = cos

x

.

y

6.

Найти экстремумы функции двух переменных

∂z

∂z

а) найти частные производные

∂x

,

;

∂y

б) написать уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности

z = z(x,y) в точке P(-1,0,1).

9. Для данной поверхности z = 3 x 3 + y 3 + xy − 3 написать уравнения

касательной плоскости и нормали в точке Q(1,2,-1).

10. Для скалярного поля u = ln

x + y + z

найти и построить:

1+ 2xy + 2 yz + 2zx

точку N(1,1) .

2.

Вычислить предел lim

sin(x

2 − y2 )

.

x

− y

x→1

y→1

3.

Найти полный дифференциал функции z = x cos xy .

4.

Показать, что частные производные функции z = ye x2 − y 2

удовлетворяют

уравнению

y 2 ∂z + xy

∂z = xz .

∂x

∂y

5.

Найти частные производные третьего порядка

∂3z

и

∂3z

∂x 2∂y

∂y 2∂x

6.

Найти экстремумы функции двух переменных

z = x 2 − y 2 − 2xy − y + 3x − 20 .

7.

Найти условный экстремум функции

z = xy − 4x при

ограничении y2 = x3.

8.

Функция z = z(x,y) задана неявно уравнением x 2 + y 2 + z 2 − xy + 3z = 7

∂z

∂z

а) найти частные производные ∂x

,

;

∂y

б) написать уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности

z = z(x,y) в точке P(2,0,-2).

9. Для данной поверхности z =

3xy + 2

написать уравнения касательной

x2 ( y + 2)

плоскости и нормали в точке Q(1,0,1).

10. Для скалярного поля u = arcsin

x 2 + y 2 − z 2 найти и построить:

точку N(1,0) .

2.

Вычислить предел lim

sin(3xy)

.

x→1

y +1 -1

y →0

3.

Найти полный дифференциал функции

z = arctg

y 2

.

x

4.

Показать, что частные производные функции z =

x

удовлетворяют

x 2 - y 2

уравнению x ∂z + y

∂z = -2xz 2 .

¶x

¶y

5.

Найти частные производные третьего порядка

¶3z

и

¶3z

¶x 2¶y

¶y 2¶x

от функции z = e x2 + y2 .

6.

Найти экстремумы функции двух переменных

z = -x 2 + 4 y 2 - 8y + 3x + 5 - xy .

7.

Найти условный экстремум функции

z = x2 - y2

при

ограничении

x 2 + y 2 = 2 .

8.

Функция z = z(x,y) задана неявно уравнением x 2 + y 2 + z 2 - 6 y + 4z = 4

∂z

∂z

а) найти частные производные ¶x ,

;

¶y

б) написать уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности

z = z(x,y) в точке P(-3,0,-2).

9.

Для данной поверхности z = sin2 x ×cos y

написать уравнения

касательной плоскости и нормали в точке Q(p/4, p/4, Ö2/4).

10.

Для скалярного поля u = ln

x 2 +1

найти и построить:

x 2 + y 2 + z 2

1. Для функции

z =

1− x

2

найти:

1

− y

2

2. Вычислить предел lim 1− cos(2xy) .

x→0

xy sin x

y →1

удовлетворяют уравнению x ∂z + y

∂z = 2.

∂x

∂y

5. Найти полный дифференциал второго порядка от функции

z = e x2 + y2 .

6.

Найти экстремумы функции двух переменных

z = −x 2 − 4 y 2 + 5x − 3y − 2xy + 4 .

7.

Найти условный экстремум функции z = x 2 + 3y 2 + x − y

при

ограничении x + y = 1.

9.

Для данной поверхности z = (2 − x)(1+ y) + sin x написать уравнения

касательной плоскости и нормали в точке Q(0,1,4).

Для скалярного поля u = arcctg

x2

− y2

10.

найти и построить:

Вариант 18.

1. Для функции z =

1

+

1

найти:

x −1

y

точку N(0,1) .

arctg(x − y)

2.

Вычислить предел

lim

.

x→1

x2

− y2

y →1

3.

Найти полный дифференциал функции z = (xy +

x

)2 .

y

4.

Показать, что частные производные функции z = y(x2 − y2 )

удовлетворяют уравнению

1

∂z +

1

∂z =

z

.

x ∂x

y ∂y

y 2

5.

Найти частные производные третьего порядка

∂3z

и

∂3z

∂x

2∂y

∂y 2∂x

6.

Найти экстремумы функции двух переменных

z = −4x 2 − 5y 2 + y + x + xy +17 .

7.

Найти условный экстремум функции z = 3e x+ y 2

при

ограничении x + 2 y = 0 .

1. Для функции

z =

1

найти:

y −

x

точку N(0,1) .

2.

Вычислить предел lim

2 −

x + y + 4

.

x→0

x + y

y→0

3.

Найти полный дифференциал функции z = arctg

x

.

y2

4.

Показать, что частные производные функции

z = yx +

y2

x

удовлетворяют уравнению x ∂z + y

∂z = xy + z .

∂x

∂y

5.

Найти полный дифференциал второго порядка

от функции

z = y ln(x 2 + y 2 ) .

6.

Найти экстремумы функции двух переменных

z = 2x 2 − 3y 2 − x − 3y + 2xy − 3 .

7.

Найти условный экстремум функции z = cos x + cos y + cos(x + y) при

ограничении x + y =

3π

, 0 ≤ x, y ≤ 2π .

2

8.

Функция z = z(x,y) задана неявно уравнением x 2 + z 2 − 5zy + 3y = 54

∂z

∂z

а) найти частные производные ∂x ,

;

∂y

б) написать уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности

z = z(x,y) в точке P(1,1,-5).

9.

Для данной поверхности z = e x cos2 y

написать уравнения касательной

плоскости и нормали в точке Q(0, π/4, 1/2).

10. Для скалярного поля u =

xy −1

найти и построить: