Теория функций нескольких переменных. Дифференциальное и интегральное исчисление. Учебное пособие

Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

служит круг радиуса a -

это область D.

По формуле (28) имеем:

m = ∫∫∫γ (x, y, z)dxdydz =∫∫∫dxdydz =∫∫dxdy

m = ∫∫∫γ (x, y, z)dxdydz =∫∫∫dxdydz =∫∫dxdy

∫dz = ∫∫( a2 − x2 − y 2 )dxdy.

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

15.08.2026

Размер:

842 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 117 8 9 10 11 > Следующая >>>

2.5. Геометрический и физический смысл тройного интеграла

Если f (x, y, z) - объёмная плотность распределения вещества в области

Ω 3 , то тройной интеграл численно равен массе всего вещества, заключенного в области Ω :

m = ∫∫∫ f (x, y, z)dxdydz	(23)
Ω
Если f (x, y, z) = 1 в области Ω , то тройной интеграл (23) равен объему
области Ω 3 , т.е.
V = ∫∫∫dxdydz	(24)
Ω

С помощью тройного интеграла вычисляются:

а) статические моменты тела относительно координатных плоскостей xOy, xOz и yOz:

M xy	= ∫∫∫ z × γ (x, y, z)dxdydz,
	Ω	(25)
M xz	= ∫∫∫ y ×γ (x, y, z)dxdydz,	(25)
	Ω
M yz	= ∫∫∫ x ×γ (x, y, z)dxdydz,
	Ω

где γ (x, y, z) - плотность распределения вещества.

б) координаты центра масс тела:

xc =

M yz

yc =

, zc

M xy

(26)

m - масса тела.

в) моменты инерции тела относительно координатных плоскостей,

координатных осей и начала координат:

= I xy I xz ,

I x

I y

= I xy I yz ,

I z

= I xz I yz ,

I0 = I xy + I xz + I yz ,

I xy

= ∫∫∫ z2 ×γ (x, y, z)dxdydz,

(27)

I yz

= ∫∫∫ x2 ×γ (x, y, z)dxdydz,

I xz

= ∫∫∫ y2 ×γ (x, y, z)dxdydz,

При вычислении тройных

интегралов

особую роль

играет понятие

правильной трёхмерной области, которое вводится по аналогии с правильной двухмерной областью. Так, например, область Ω , ограниченная снизу и сверху непрерывными поверхностями z = z1(x, y) и z = z2 (x, y) является правильной относительно оси Оz (рис. 2.9.)

Рис 2.9.

Область Ω обладает следующими свойствами:

1)Всякая прямая, параллельная оси Oz и проведённая через внутреннюю точку области Ω , пересекает границу области ровно в двух точках;

2)Всякая область Ω однозначно проектируется на плоскость xOy в двухмерную область D (рис. 2.9.).

Тройной интеграл вычисляется следующим образом:

∫∫∫ f (x, y, z)dxdydz = ∫∫ dxdy		z2 ( x, y)
∫∫∫ f (x, y, z)dxdydz = ∫∫ dxdy		∫ f (x, y, z)dz .
Ω	D	z1 ( x, y)
Здесь внутренний	интеграл берётся по z при фиксированных, но

произвольных в области D значениях переменных x и y. И если область D ограничена линиями y = y1(x) , y = y2 (x), x = a, y = b , то, переходя от двойного интеграла к повторному, получаем формулу

∫∫∫ f (x, y, z)dxdydz = ∫ dx

y2 (x )

∫ dy

y1 (x )

z2 (x, y )
∫ f (x, y, z)dz	(28)
z1 (x, y )

Если область Ω 3 не является правильной, то с помощью плоскостей, параллельных какой-либо из координатных, её разбивают на конечное число правильных областей.

Пример 2.5.1. Вычислить тройной интеграл ∫∫∫(a − x) yzdxdydz , если область

Ω ограничена плоскостями: х=0, у=0, z=0 и x + y + z = a .

Решение: Изобразим область Ω (рис.2.10.) Сверху область Ω ограничена

плоскостью z = a - x - y, снизу координатной плоскостью z = 0. Проекцией Ω на плоскость xOy является область D с границей ∂D : x = 0, y = 0, y = a − x.

Рис.2.10.

Согласно формуле (28), имеем

																a							a − y																		a − x − y												a								a − y											z2	a − x − y
∫∫∫(a - x) yz ×dxdydz =																∫ ydy									∫ (a						- x)dx													∫ zdz					=				∫ ydy										∫ (a - x)dx ×										\|	=
∫∫∫(a - x) yz ×dxdydz =																∫ ydy									∫ (a						- x)dx													∫ zdz					=				∫ ydy										∫ (a - x)dx ×									2	\|	=
G	1 a				a − y											0								0													1 a							0	a − y								0										0									2	0
=	1 a				a − y																																1 a								a − y
=	2		∫ ydy		∫ (a - x)dx ×(a - x - y)2 =																																2		∫ ydy							∫ (a - x) ×((a - x) - y)2 dx =
	2		0		0																																2		0							0
							1	a				a− y
						=	1	∫ ydy ∫((a											- x)3									- 2(a - x)2 y + y 2 (a - x))dx =
						=	2	∫ ydy ∫((a											- x)3									- 2(a - x)2 y + y 2 (a - x))dx =
							2	0					0
							1 a										(a - x)4																				(a - x)3 y																		2			(a - x)2 a − y
						=								-															+ 2																				- y																						\| =
						=	2	∫ ydy						-								4							+ 2														3						- y													2									\| =
							2	0														4																					3																			2								0
				1 a							1						4							4								2									3					3							y 2									2					2
									-								4		- a					4				+													3		- a			3			-													2		- a			2
			=		∫ ydy									( y												)										y( y												)										( y											)		=
			=		∫ ydy									( y												)										y( y												)										( y											)		=
				2 0							4																					3																						2
						1 a									1 2 1																				4					1				4				2					3								y 2a					2
					=		∫					(-						+						-					) y						4		+						a	4	-					a			3		y		+												=

						2		ydy							4						3						2													4								3																2
						2	0								4						3						2													4								3																2
													1 a									y5							a			4								2a3					y2 +							a2						y3
											=				∫			-							+											y -																									dy					=
											=				∫			-							+											y -																									dy					=
																					12								4														3										2
													2 0								12								4														3										2
										1							1						y6							a				4				y2						2a			2				y			3						a	2				y4 a
								=						-						×							+									×						+							×							+								×						\|	=
								=						-						×							+									×						+							×							+								×						\|	=
										2						12 6															4						2								3 3														2 4
										2						12 6															4						2								3 3														2 4									0
																	1							a6									a6							2a6								a	6										a6

														=							-							+									-								+									=										.
														=			2				-			72				+						8			-						9		+			8						=			144							.
																	2							72										8									9					8									144
Пример 2.5.2. Найти массу однородного тела, ограниченного параболоидом
z = x2 + y 2		и плоскостью z = a2 .

Решение: Найдем линию пересечения параболоида и плоскости: z = x2 + y 2

= 2

z a

x2 + y 2 = a2 , следовательно, проекцией тела Ω (рис.2.11.) на плоскость xOy

Рис 2.11.

Для вычисления двойного интеграла удобнее перейти к полярным координатам: 0 £ r £ a , 0 £ ϕ £ 2π

2π

r 2

r 4

a 4

2π

a4π

m = ∫dϕ ∫( a 2

− r 2 )rdr = ∫dϕ a 2

−

Задачи для самостоятельного решения:

Вычислить интегралы:

1) ∫∫∫ xydxdydz, где ∂>: z = xy,

x + y = 1, z ³ 0;

π .

∫∫∫ y cos(x + z)dxdydz, где ∂>: y =

x , y = 0, z = 0, x + z =

∫∫∫ dxdydz,

где ∂>: z = x2 + y2 , z = x + y.

4) Найти центр тяжести однородного тела, ограниченного цилиндром z = y2 ,

плоскостью 2х + 3у – 12 = 0 и тремя координатными плоскостями.

Ответы: 1)		1	; 2)	π 2	−	1	; 3)	π	; 4) xc =	6	, yc	=	12	, zc	=	8	.
	180			16		2		8		5			5			5

2.6. Тройной интеграл в цилиндрической и сферической системах координат

Цилиндрические координаты ( r,ϕ, z ) связаны с прямоугольными (x,y,z)

соотношениями:

x = r ×cosϕ, y = r ×sinϕ , z = z,

(29)

где r ³ 0, 0 ≤ ϕ ≤ 2π , − ∞ < z < ∞ , (рис. 2.12.)

Рис. 2.12.

При переходе от прямоугольных координат ( x, y, z ) к цилиндрическим координатам ( r,ϕ, z ) по формулам (29) тройной интеграл примет вид

∫∫∫ f (x, y, z)dxdydz = ∫∫∫ f (r cosϕ,r sinϕ, z)× rdrdϕdz				(30)
G	G*
Если точка М в пространстве имеет прямоугольные координаты (x,y,z), то
сферическими координатами точки М называют тройку чисел			(r,ϕ,θ ), где r -
расстояние от точки М до начала координат О,		θ - угол между положительным
направлением оси Oz и радиус-вектором r		точки М, ϕ	-	угол между
положительным направлением оси Ох и проекцией радиус-вектора r				на плоскость
хОу. (рис. 2.13.).

Рис. 2.13.

Связь между прямоугольными и сферическими координатами определяется

соотношениями	x = r ×cosϕ ×sinθ, y = r ×sinϕ ×sinθ , z = r × cosθ , где 0 ≤ r ≤ ∞,	0 ≤ ϕ ≤ 2π ,
0 ≤ θ ≤ π .
В этом случае тройной интеграл принимает вид:
∫∫∫ f(x,y,z)dxdydz =∫∫∫ f (r cosϕ sinθ,rsinϕ sinθ,rcosθ)r2 ×sinθ ×drdϕ dθ.		(31)
G	G

Обобщёнными сферическими координатами называют переменные (r,ϕ,θ ) ,

связанные с прямоугольными координатами ( x, y, z ) формулами x = ar cosϕ sinθ, y = br sinϕ sinθ , z = cr cosθ , a>0, b>0, c>0.

Для обобщённых сферических координат

∫∫∫ f(x,y,z)dxdydz = abc∫∫∫ f (ar cosϕ sinθ,brsinϕ sinθ,crcosθ)r2 sinθdrdϕ dθ. (32)

G G

Пример 2.6. Вычислить	интеграл ∫∫∫( (x + y)2 - z)dxdydz , если область Ω
	Ω
ограничена поверхностями z = 0 и (z - 1)2 = x 2 + y 2 .
Решение: Уравнение конической поверхности, ограничивающей область Ω ,
можно записать в виде z = 1 -	x2 + y 2 . Область D - это круг радиуса 1 с центром в
начале координат (рис 2.14).

Рис. 2.14.

Перейдём к цилиндрическим координатам: x = r ×cosϕ, y = r ×sin ϕ , z = z где

0 ≤ r ≤ 1, 0 ≤ ϕ ≤ 2π , 0 ≤ z ≤ 1 − r.

Тогда

∫∫∫( (x + y)2 − z)dxdydz = ∫∫∫( r 2 (cosϕ + sinϕ)2 − z) r drdϕ dz =

	G											G*
	2π	1	1−r																			2π															1				1−r
= ∫dϕ ∫rdr ∫( r 2 (1 + sin 2ϕ) - z)dz =																							∫(1 + sin 2ϕ)dϕ														∫r 3dr ∫dz -
	0	0	0																				0														0				0
2π	1	1−r		2π										1					3		(1 - r)dr -								1		2π					1						2	dr	=
- ∫dϕ ∫rdr ∫ zdz =					∫(1		+ sin 2ϕ)dϕ ∫r														(1 - r)dr -								2		∫dϕ					∫r(1 - r)							dr	=
0	0	0			0									0															2		0					0
	2π						r 4				r 5									1		2π			r 2					2r 3								r 4		1
	2π						r 4				r 5				1					1		2π			r 2					2r 3								r 4		1
	=	∫(1 + sin 2ϕ)dϕ							-							-						∫dϕ						-						+							=
	=	∫(1 + sin 2ϕ)dϕ							-							-						∫dϕ						-						+							=
		0					4				5				0					2		0				2					3								4	0
		0					4				5				0					2		0				2					3								4	0
		2π	+ sin 2ϕ)dϕ(					1		-		1	) -				1			2π				1		- 2 ×				1		+		1					=
		= ∫(1	+ sin 2ϕ)dϕ(					4		-		5	) -				2				∫dϕ			2		- 2 ×				3		+		4					=
		0						4				5					2				0			2						3				4
			1			1				2π				1								2π			π			π					π
		=		ϕ	-		cos2ϕ \| -											×ϕ				\|	=				-				=				.
		=		ϕ	-	2	cos2ϕ \| -							24				×ϕ				\|	=	10			-	12			=				.
			20			2						0		24								0		10				12				60

Задачи для самостоятельного решения:

Вычислить интегралы:

1)	∫∫∫(x2 + y2 )dxdydz, где >: r2 £ x2 + y2 + z2 £ R2 , z ³ 0;
	Ω
2)	∫∫∫	dxdydz	, где >: x2	+ y2 £ 1, -1 £ z £ 1.


	Ω x2 + y2 + (z - 2)2
3)	∫∫∫	dxdydz, где ∂>: z2 = x2 + y2 ,		x2 + y2 = 2x, z = 0.
	Ω

4) Вычислить массу тела ограниченного параболоидом x2 + y2 = 2az и

верхней полусферой x2 + y2 + z2 = 3a2 , если плотность в каждой точке равна квадрату суммы координат.

Ответы: 1)		4π	(R5		- r5 ); 2) π (3 10 + ln			2 -1	-	2 - 8); 3)	32	;
Ответы: 1)	15		(R5		- r5 ); 2) π (3 10 + ln			10 - 3	-	2 - 8); 3)	9	;
	15							10 - 3			9
4)	πa		5	(18	3 -	97	).

	5					6
	5					6

2.7. Криволинейный интеграл I рода

Пусть L – некоторая кусочно-гладкая кривая, заданная на плоскости XOY, и f(x,y) – непрерывная функция, определенная на этой кривой.

Криволинейный интеграл I рода от функции f(x,y) по кривой L является массой дуги кривой L с линейной плотностью f(x,y) и обозначается

m = ∫ f (x, y)dl,

(33)

где dl − элемент длины дуги кривой L.

Криволинейный интеграл I рода не зависит от направления пути интегрирования и вычисляется сведением к определенному интегралу, поэтому обладает основными свойствами определенного интеграла.

Рассмотрим различные случаи задания кривой L:
1)	Кривая задана явно – L: y=y(x), x [a,b]. Тогда dl =			1+ ( y'(x))2 dx и
		b
	∫	f (x, y)dl = ∫ f (x, y(x)) 1+ ( y'(x))2 dx;		(34)
	L	a
2)		x = x(t)	, t [α, β ].
2)	Кривая задана параметрически – L:		, t [α, β ].
		y = y(t)

Тогда dl =	(x'(t))2 + ( y'(t))2 dt					и
			β						(x'(t))2 + ( y'(t))2 dt;
	∫	f (x, y)dl = ∫ f (x(t), y(t))							(x'(t))2 + ( y'(t))2 dt;		(35)
	L		α
3) Кривая задана в полярной системе координат – L: r = r(ϕ ), ϕ [α, β ].
Тогда dl =	(r(ϕ ))2 + (r'(ϕ ))2 dϕ					и
			β	f (r cosϕ, r sinϕ ) (r(ϕ ))2 + (r'(ϕ ))2 dϕ.
	∫	f (x, y)dl = ∫		f (r cosϕ, r sinϕ ) (r(ϕ ))2 + (r'(ϕ ))2 dϕ.							(36)
	L		α
Пример 2.7. Вычислить массу дуги кривой L: 16x2 + 9y2 = 144 при 0£x£3,
y³ 0 с линейной плотностью f(x,y)= y						256x2 + 81y2 .
Решение:
Кривая L задана неявно. Выразим явно у через х :
		y(x) = 16 − 16 x2 = 4							9 − x2 .
				9		3
Масса m дуги кривой L вычисляется с помощью криволинейного интеграла
I рода (по длине дуги) по формуле (33). Найдем элемент длины дуги (34) .
							− 4x
Производная от у(х) равна у’(х) =										.
Производная от у(х) равна у’(х) =							3 9 − x2			.
Тогда дифференциал длины кривой равен
	− 4x		2		81 + 7x2
dl = 1 +			dx =					dx.
dl = 1 +			dx =					dx.
	3 9	− x2		3 9		− x2
	3 9	− x2		3 9		− x2

Следовательно, масса кривой равна

m = ∫ y	256x2 + 81y2	3	4	9 - x2	256x2 + 81×	16	(9 - x2 ) ×	81 + 7x	2
		dl = ∫								dx =
			3			9		3 9 - x2
L		0

16	3		2		16		7	3		3

	∫	(81 + 7x		) dx =		(81x +			)	= 544.
9					9		3	x
	0									0

Задачи для самостоятельного решения:

Вычислить криволинейные интегралы I рода:

1)	∫	dl	, где L – отрезок прямой						y = 1 x - 2, расположенный между
1)	∫	x2 + y2	, где L – отрезок прямой						y = 1 x - 2, расположенный между
	L	x2 + y2							2
точками А(0, -2) и В(4, 0).
2)	∫ xdl , где L – отрезок прямой, проходящей через точки А(0, 0) и В(1, 2).
	L
3)	∫ xdl , где L – дуга параболы y = x2								от точки А(2, 4) до точки В(1, 1).
	L
Ответы: 1) ln 3 5 + 7 ; 2)				3	; 3)		1	(17 17 - 5 5).
Ответы: 1) ln 3 5 + 7 ; 2)				2	; 3)	12		(17 17 - 5 5).
			2	2		12

2.8. Криволинейный интеграл II рода

Пусть L – некоторая кусочно-гладкая кривая, r(x, y) – радиус-вектор произвольной точки кривой, dr = (dx,dy) – его дифференциал и Р(x,y), Q (x,y)– непрерывные функции, определенные на этой кривой. Тогда работа А переменой силы F=( Р(x,y), Q (x,y)) по перемещению точки вдоль кривой L определяется как

криволинейный интеграл II рода:

A = ∫ P(x, y)dx + Q(x, y)dy

(37)

Криволинейный интеграл II рода зависит от направления пути интегрирования и обладает основными свойствами определенного интеграла, наиболее важные из которых следующие:

1) При замене пути интегрирования на обратный путь знак криволинейного интеграла II рода меняется на противоположный:

∫ P(x, y)dx + Q(x, y)dy = − ∫ P(x, y)dx + Q(x, y)dy,

AB BA

где L = АВ – дуга кривой L с началом в точке А и концом в точке В, а ВА – дуга кривой L с началом В и концом А .

2) Если кривая L состоит из двух несвязных кусков L = L1 ÈL2, L1 ÇL2=Ø, то криволинейный интеграл II рода по кривой L разложится на сумму двух интегралов

∫ P(x, y)dx + Q(x, y)dy = ∫ P(x, y)dx + Q(x, y)dy + ∫ P(x, y)dx + Q(x, y)dy .

Для вычисления криволинейного интеграла II рода различают следующие случаи задания кривой L:

1) Кривая задана явно – L =АВ: y=y(x), x [a,b], где А(a, y(a)) и B(b, y(b)). Тогда dy = y'(x)dx и

	b
∫ P(x, y)dx + Q(x, y)dy =∫(P(x, y)dx + Q(x, y)) y'(x)dx.			(38)
AB	a
2) Кривая задана параметрически – L=АВ: x = x(t), t [α,β ] , где
	y = y(t)
А(x(α), y(α)) и B(x(β), y(β)). Тогда dx = x'(t)dt , dy = y'(t)dt		и
	β
∫ P(x, y)dx + Q(x, y)dy =∫(P(x(t), y(t))x'(t) + Q(x(t), y(t)) y'(t))dt.			(39)
AB	α
Пример 2.8.1. Вычислить криволинейный интеграл II рода ∫		(x+3y)dx
	L

+x2ydy вдоль кривой L: y=x2 +2 от точки A(1,3) до точки В(2,6).

Решение:

Дифференциал функции y = x2 +2 равен dy = 2xdx. Подставив в подынтегральное выражение y и dy, получаем определенный интеграл :

	2	2
∫ (x+3y)dx +x2ydy= ∫		(x+3(x2+2)+x2(x2+2)2x)dx = ∫ (2x5+4x3+3x2+x+6)dx =
L	1	1
L

=(2x6/6 + 4x4/4 + 3x3/3 + x2/2 + 6x)|12 = 13 (64 - 1)+(16 - 1)+(8 - 1)+ 12 (4 - 1)+6(2 – 1)= = 50 12 .

Пример 2.8.2. Вычислить интеграл

∫

x2ydy – y 2xdx,

если кривая задана

параметрически L: x = cos t , y = sin t

0 ≤ t ≤ π /2.

Решение:

Найдем дифференциалы переменных dx и dy:

dx = -

sin t

dt и dy =

cos t

dt.

2 cos t

sin t

Подставив эти выражения в интеграл, будем иметь

π / 2

cos t

sin t

∫

x2y dy – y 2xdx = ∫

( cos sin t

+ sint cos t

)dt =

2 sin t

cos t

π / 2 dt =

t | π0/2

= π .

∫

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 117 8 9 10 11 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]