Теория функций нескольких переменных. Дифференциальное и интегральное исчисление. Учебное пособие
.pdfЗадачи для самостоятельного решения:
Вычислить криволинейные интегралы II рода: 1) ∫ xydx + (x + y)dy , где
L
а) L – отрезок прямой, соединяющий точки О(0,0) и А(1,1); б) L – дуга параболы y=x2 , соединяющая точки О(0,0) и А(1,1).
в) L – ломаная ОВА: О(0,0), В(0,1) и А(1,1).
2) ∫ ydx − xdy ,
L
Ответы: 1) а)
где L – первая арка циклоиды x = 2(t − sin t) |
, t [0,2π ] . |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
y = 2(1− cost) |
|
|
4 |
, б) |
17 |
, в) |
3 |
; 2) 24π. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
3 |
12 |
2 |
|
||||
|
|
|
|
|||||
2.9. Формула Грина
Формула Грина устанавливает связь между криволинейным интегралом II рода и двойным интегралом.
Пусть в области D, ограниченной кусочно-гладкой кривой L, заданы функции Р(x,y) и Q(x,y), непрерывно дифференцируемые в замкнутой области D. Тогда справедлива формула Грина:
|
∫ P(x, y)dx + Q(x, y)dy = ∫∫( |
∂Q − ∂P )dxdy, |
(40) |
|||
|
L |
|
D |
∂x |
∂y |
|
где кривая L обходится против хода часовой стрелки. |
|
|||||
Пример 2.9. |
|
|
|
|
|
|
Применяя формулу Грина, вычислить интеграл ∫ (х2 + у2)dx – 2xy 2dy |
по |
|||||
|
|
|
|
|
L |
|
контуру треугольника ABC с вершинами в точках А(1,0), В(3,0) и С(3,2). |
|
|||||
Решение: |
|
|
|
|
|
|
Применим формулу Грина (40). |
|
|
|
|||
При P(x,y) = x2 + y2 |
и |
Q(x,y) = - 2xy2 |
находим разность |
|
||
∂Q − |
∂P = –2 у2 – 2 у |
и подставляем в интеграл |
|
|||
∂x |
∂y |
|
|
|
|
|
∫ (х2 + у2)dx – 2xy 2dy= ∫∫ (–2 у2 – 2 у)dxdy, |
где D – треугольник АВС. |
|||||
L |
|
|
АВС |
|
|
|
Уравнения сторон |
ABC следующие: АВ: у = 0; ВС: х = 3; СА: у = х – 1. |
|||||
71
y
С
А
В x
Расставим пределы в двойном интеграле и вычислим его:
|
|
|
|
2 |
|
|
|
3 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∫∫ (–2 у2 |
– 2 у)dxdy = ∫ (– 2y |
2 |
– 2y)dy ∫ |
dx = – 2 ∫ (y2 + y)dy x | 3у+1 = |
|
|||||||||||||
АВС |
|
|
|
0 |
|
|
|
у +1 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
y |
4 |
|
y |
3 |
+ y2)| 02 |
|
= – 2 ∫ (y2 + y)(2 – y) dy = – 2 |
|
∫ (– y |
3 + y2 + 2y) dy = – 2( |
− |
|
+ |
|
= |
||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||
0 |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
4 |
3 |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
= – 2(– 4 + |
|
8 |
+ 4) = – |
|
16 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Ответ можно проверить непосредственным интегрированием по контуру L, являющимся замкнутой ломаной со звеньями АВ, ВС, СА, пробегая его против часовой стрелки.
Задачи для самостоятельного решения:
Применяя формулу Грина, вычислить интегралы:
1) |
∫(x3 − 2y + x2 sin(x3 + y3 ))dx + (2xy + y 2 sin(x3 + y3 ))dy, |
|
L |
где L – окружность с уравнением х2+ у2 = 2х. |
|
2) |
∫(2cos x + xy)dx + (2cos y − xy)dy, где L – контур четырехугольника с |
|
L |
вершинами О(0,0), А(2,2), В(5,2) и С(3,0), указанными в порядке обхода.
Ответы: 1) 2π; 2) 21.
2.10. Условие независимости криволинейного интеграла II рода от пути интегрирования. Восстановление функции по ее дифференциалу
Пусть функции Р(x,y) и Q(x,y) непрерывны вместе со своими частными производными в замкнутой односвязной области D. Тогда следующие утверждения эквивалентны:
72
1) Значение криволинейного интеграла II рода ∫ P(x, y)dx + Q(x, y)dy не
AB
зависит от пути интегрирования вдоль произвольной дуги кривой АВ, для любых точек А и В из области D.
2) Вдоль любого замкнутого контура L D криволинейный интеграл II рода равен нулю: ∫ P(x, y)dx + Q(x, y)dy = 0 .
L |
|
|
|
3) В области D выполняется равенство |
∂P = |
∂Q . |
|
|
|
∂y |
∂x |
4) Если P(x, y)dx + Q(x, y)dy = dU , то функцию U=U(x,y) можно |
|||
|
( x , y ) |
|
|
воссстанвить по формуле U (x, y) = |
∫ P(x, y)dx + Q(x, y)dy, (x, y),(x0 , y0 ) D . |
||
|
( x0 , y0 ) |
|
|
(2,3)
Пример 2.10.1. Вычислить интеграл J = ∫(х + 3у)dx + ( y + 3x)dy .
(1,0)
Решение:
Данный интеграл не зависит от пути интегрирования, так как выполняется
условие |
∂Q |
= |
∂P |
, где P(x,y) = x + 3y, Q(x,y) = y + 3x и производные равны |
∂x |
∂y |
|||
∂P = 3, |
∂Q = 3. |
|
||
∂y |
∂x |
|
|
|
Таким образом, в качестве пути интегрирования выберем ломаную АCВ с вершинами в точках А(1,0), C(2,0) и В(2,3):
y * В
* |
* |
x |
АС
Тогда участок пути АC будет задаваться уравнениями у=0, dy=0, 1≤ x≤2,
участок CВ : х=2 , dx=0, 0≤ y≤3.
Следовательно,
(2,3) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
J = ∫(х + 3у)dx + ( y + 3x)dy = ∫(х + 3у)dx + (y + 3x)dy + |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
(1,0) |
|
АС |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
3 |
x |
2 |
|
|
2 |
|
(y |
+ |
6) |
2 |
|
|
3 |
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
+ ∫(х + 3 |
у)dx + (y + 3x)dy = ∫ xdx + ∫( y+ 6)dy = |
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
= |
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
||||||||
CB |
1 |
0 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
0 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
1 1
=2 (4 - 1) + 2 (81 - 36) = 24.
73
Пример 2.10.2. Восстановить функцию u(x,y) по ее дифференциалу du = (y + ln(x+1))dx +(x + 1 - ey)dy.
Решение:
Имеем P(x,y) = y + ln(x+1), Q(x,y) = x+1-ey.
Найдем функцию u(x,y) с помощью криволинейного интеграла по формуле
х |
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u(x,y) = ∫ P(x, y)dx + ∫Q(x0 , y)dy , здесь в качестве пути интегрирования |
||||||||||||||||
х0 |
|
|
y0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
взята ломаная, звенья которой параллельны координатным осям . |
|
|
|
|||||||||||||
Пусть x0=0, y0=0, тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
х |
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
х + |
х |
|
|
|
|
| у = |
u(x,y) = ∫( y + ln(x |
+ 1))dx + ∫(1 − e y )dy = ух| |
∫ln(x + 1)dx + у| у – еу |
||||||||||||||
0 |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
|
|
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
х |
|
|
u = ln(x + 1), |
dv = dx |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
= xy + y – e y + 1 + ∫ln(x + 1)dx = |
du = |
|
1 |
|
dx, |
v = x |
= xy + y – e y + 1 + |
|||||||||
|
|
0 |
|
|
x + 1 |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
х |
х |
dx |
|
|
y |
|
|
|
|
|
х |
(x + 1) −1 |
|
|||
+ xln(x+1)| 0 – |
∫ x |
|
= xy + y – e |
|
|
+ 1 + xln(x+1) – ∫ |
|
|
|
dx = |
|
|||||
x +1 |
|
|
|
x + 1 |
|
|
||||||||||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
||
|
|
|
x |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= xy + y – e y + 1 + xln(x+1) – ∫(1 − |
|
|
)dx = xy + y – e y + 1 + xln(x+1) – |
|||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
0 |
|
x + 1 |
|
|
|
|
|
|
|
||||
(x – ln(x+1))| х |
= y(x+1) – e y + 1 – x + (x+1)ln(x+1). |
|
|
|
|
|
||||||||||
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Итак, u(x,y) = y(x+1) – e y + 1 – x + (x+1)ln(x+1).
Задачи для самостоятельного решения:
Вычислить интегралы:
|
(2,1) |
(2,1) |
ydx − xdy |
|
(1,2) |
|
|
|
|
|
|
|
|
1) |
∫2хуdx + x2 dy ; |
2) ∫ |
; 3) |
∫e x+ y (dx + dy). |
|
||||||||
|
|
||||||||||||
|
(0,0) |
(1,2) |
y 2 |
(0,0) |
|
|
|
|
|
|
|
||
4) |
Найти функцию u(x,y), если du = (1 + |
1 |
)dx + ( |
2 |
− |
|
x |
)dy . |
|||||
|
y |
|
y 2 |
||||||||||
|
|
|
|
x |
|
y |
|
|
|
|
|||
5) |
Решить дифференциальное уравнение |
|
|
|
|
|
|
||||||
(4x3 y3 − 3y 2 + 8)dx + (3x4 y 2 − 6xy −1)dy = 0 . |
|
|
|
|
|
|
|||||||
Ответы: 1) 4; 2) 3 |
; 3) е2-1; 4) u(x, y) = ln x + 2ln y + |
x |
−1 + C; |
||||||||||
|
|||||||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
||
5) 8x + x4 y3 − 3xy 2 − y = C.
74
Варианты типовых заданий
Вариант 1
I. Кратные интегралы
1.Расставить пределы в интеграле ∫∫ f (x, y)dxdy и изменить порядок
D
интегрирования, если границы области D: y=2x, y=x, x=1.
2.Вычислить интеграл:
∫∫ ( y − x)dxdy , ∂D : y = x + 1, y = x − 3, x = −1, x = 2 .
D
3.Найти координаты центра тяжести однородной фигуры, ограниченной линией r = a cos2 ϕ .
4.Найти объём тела , заданного ограничивающими его поверхностями:
z=15y, z=0, x 2 + y 2 =8, x= 2y .
5.Вычислить тройной интеграл:
∫∫∫yzdxdydz, W :1 £ z £ 
4 - x 2 - y 2 , x ³ 0, y ³ 0 .
Ω
6.Найти массу тела Ω плотности ρ , если
Ω: 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 2, 0 ≤ z ≤ 1 и ρ(x, y, z) = x + y + z.
II. Криволинейные интегралы
1.Вычислить криволинейный интеграл II рода (в декартовых
координатах) ∫(х + у)dx + xdy , L: y = x2, 0≤ x≤ 1.
L
2.Вычислить криволинейный интеграл II рода (через параметр)
|
∫(1 + у)dx + xdy , L: x=2(t – sint), y=2(1 – cost), 0 |
≤ t ≤ π /2. |
|||
|
L |
|
|
|
|
3. |
|
2 |
1 |
|
|
Найти массу дуги кривой |
L: y=x + |
2 |
, 0 ≤ x ≤ 2 |
с линейной |
|
плотностью |
f(x,y) = 2x 4у −1. |
|
|
|
|
4.Применяя формулу Грина, вычислить интеграл
|
∫ 2(x2 + y2 )dx + (x + y)2dy , |
ABC: A(1,1), B(2,2), C(1,3). |
|||
|
АВС |
|
|
|
|
|
(1,2) |
|
x |
|
|
5. |
Вычислить интеграл ∫ (2хyex2 + ln у)dx + (ex2 + |
+ e y )dy . |
|||
|
|||||
|
(2,1) |
|
y |
||
6.Восстановить функцию по ее дифференциалу du = (2x3 + xy2)dx + (2y3 + x2y)dy.
75
Вариант 2
I. Кратные интегралы
1. Расставить пределы в интеграле ∫∫ f (x, y)dxdy и изменить порядок
D
интегрирования, если границы области D: y = x2 , y=x, x ≤ 0,5.
2. |
Вычислить интеграл: |
|
|
|
|
|
∫∫( yx +1)dxdy , ∂D : y = − |
1 x + |
7 |
, y = − |
1 x + 5, x = 0, x = 5. |
|
D |
3 |
3 |
|
3 |
3.Найти массу пластинки плотности γ (x, y) = y, ограниченной линией r = 2(1+ sinϕ) .
4.Найти объём тела заданного ограничивающими его поверхностями
|
x + z = 4, z = 0, y = x , y = 2 x . |
5. |
Вычислить тройной интеграл: |
|
∫∫∫xdxdydz, W : 3z ³ x 2 + y 2 , x ³ 0, 5 - 2z ³ x 2 + y 2 . |
|
Ω |
6. |
Найти массу тела Ω плотности ρ , ограниченного данными |
поверхностями: x+y+z=1, x=0, y=0, z = 0 и ρ(x, y, z) = z .
II. Криволинейные интегралы
1.Вычислить криволинейный интеграл II рода (в декартовых
координатах) ∫(2х − у)dx + (x + у)dy вдоль кривой L: y = 2x +1 от точки А(1,3)
L
до В(2,5).
2.Вычислить криволинейный интеграл II рода (через параметр)
|
∫(х + у)dx + xdy , L: x=2(t – sint), y=2(1 – cost), |
0 |
|
≤ t ≤ π . |
|
||||||||||||
|
L |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3. |
Найти массу дуги кривой L: y=sin2x , π /4≤ x≤ π /2 |
с линейной |
|||||||||||||||
плотностью |
f(x,y) = |
|
|
у2соs2x |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
5 |
− 4y 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
4. |
Применяя формулу Грина, вычислить интеграл |
|
|
|
|
||||||||||||
АВС∫ |
1 |
dx − |
1 |
dy |
, ABC: A(1,1), B(2,1), C(2,2). |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
y |
x |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(1,π / 4) |
2y |
3 |
x |
3 |
|
+ 4y3 + 3y |
2 |
|
5. |
Вычислить интеграл ∫ (3x2tgy − |
)dx + ( |
|
|
)dy . |
||||||||||||
x3 |
cos2 |
y |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(2,0) |
|
x2 |
|
|||||
6.Восстановить функцию по ее дифференциалу
du = ( |
x |
+ |
1 |
+ |
1 )dx +( |
y |
+ |
1 |
− |
x |
)dy. |
x2 + y2 |
|
x2 + y2 |
|
y2 |
|||||||
|
|
x |
|
y |
|
y |
|
|
Вариант 3
I. Кратные интегралы
1. Расставить пределы в интеграле ∫∫ f (x, y)dxdy и изменить порядок
D
интегрирования, если границы области D: xy = 1, y = x, x = 2
2.Вычислить интеграл:
∫∫(x + 2y)dxdy , ∂D : y = x, y = 3x, x = 2
D
3.Найти координаты центра тяжести однородной фигуры ограниченной линией r = 2 + cosϕ .
4.Найти объём тела заданного ограничивающими его поверхностями
z = 2( x 2 + y 2 ), z = 0, x + y = 2, x = 0, y = 0.
5.Вычислить тройной интеграл:
∫∫∫xdxdydz, W : x 2 + y 2 ³ z 2 , x ³ y, 2z ³ x 2 + y 2 .
Ω
6.Найти массу тела Ω плотности ρ , ограниченного данными
поверхностями: z 2 = x 2 + y 2 , z = h и ρ(x, y, z) = z .
II. Криволинейные интегралы
1.Вычислить криволинейный интеграл II рода (в декартовых
координатах) ∫ хуdx − ydy , L: y = x3, 1≤ x≤ 3.
L
2.Вычислить криволинейный интеграл II рода (через параметр)
∫(x − 2у)dx + ydy , L: x=et, y=e-t, 0 ≤ t ≤ 1.
L
3. |
Найти массу дуги кривой L: x=t+2, y=lnt, 1 ≤ t ≤ e2 с линейной |
|||||||
плотностью f(x,y) = |
3y 2 + 2y − 5 |
|
. |
|
|
|
|
|
1 + (x − 2)2 |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
||
4. |
Применяя формулу Грина, вычислить интеграл |
|
|
|||||
|
∫ y(ydx − xdy) , ABC: A(0,0), B(2,1), C(2,3). |
|
|
|||||
|
АВС |
|
|
|
|
|
||
5. |
Вычислить интеграл |
(π / 2,2) |
sin 2x |
+ x)dx + ( y − |
sin2 x |
)dy . |
||
∫ ( |
y |
y2 |
||||||
|
|
|
|
(π / 4,1) |
|
|
||
6.Восстановить функцию по ее дифференциалу
|
x2 |
+ у2 |
x2 + у2 |
dy. |
|
du = (2x + |
|
|
)dx - |
|
|
|
|
xy2 |
|||
|
x2 y |
|
|||
77
Вариант 4
I. Кратные интегралы
1. Расставить пределы в интеграле ∫∫ f (x, y)dxdy и изменить порядок
D
интегрирования, если границы области D: y=4- x 2 , y=x, y=0.
2.Вычислить интеграл:
∫∫(x - 3y)dxdy , y = x, y = 2x, y = 2.
D
3. Найти площадь фигуры, ограниченной линией r = 2 + cos 2ϕ.
4.Найти объём тела заданного ограничивающими его поверхностями
z = 2( x 2 + y 2 ), z = 0, x + y = 3, x = 0, y = 0.
5.Вычислить тройной интеграл:
∫∫∫2zxdxdydz, W : x 2 + y 2 + z 2 £ 8, x ³ 0, z ³ x 2 + y 2
Ω
6.Найти массу тела W плотности ρ , ограниченного данными
поверхностями:
x 2 + y 2 £ az , z ³ 0, x 2 + y 2 £ a 2 и ρ(x, y, z) = z.
II. Криволинейные интегралы
1.Вычислить криволинейный интеграл II рода (в декартовых
координатах) ∫( у − 2x)dx + xdy , L: y = 2x2, 0≤ x≤1.
L
2.Вычислить криволинейный интеграл II рода (через параметр)
∫ (x2 + у2 )dx + xydy , L: x=3cost, y=3sint, 0 ≤ t ≤ π /2.
L
3.Найти массу дуги кривой L: x=3cost, y=3sint, 0 ≤ t ≤ π /6 с линейной плотностью f(x,y) = x2 – y 2.
4.Применяя формулу Грина, вычислить интеграл
|
∫ 2x(y −1)dx − x2dy , |
L: y=x2, y=9. |
|
L |
|
|
|
(1,2) |
5. |
Вычислить интеграл |
∫ (e y + уe−x )dx + (xe y − e−x )dy . |
(0,0)
6.Восстановить функцию по ее дифференциалу du = (3x2 - 2x - y)dx + (2y – x + 3y 2) dy.
78
Вариант 5
I. Кратные интегралы
1. Расставить пределы в интеграле ∫∫ f (x, y)dxdy и изменить порядок
D
интегрирования, если границы области D: y=x, y = -x, y = 2.
2.Вычислить интеграл:
∫∫(x − y + 2)dxdy , ∂D : y = x 2 , y = 5x − 6 .
D
3.Найти массу пластинки плотности γ (x, y) = 1 , ограниченной линией
x
r= a cos2 2ϕ .
4.Найти объём тела, заданного ограничивающими его поверхностями
z + x = 2, z = 0, x 2 + y 2 = 1, x ³ 0 , y ³ 0 .
5.Вычислить тройной интеграл:
|
∫∫∫dxdydz , Ω : x 2 + y 2 + z 2 ≤ 2z, |
x 2 + y 2 ≤ z 2 . |
6. |
Ω |
плотности ρ , ограниченного данными |
Найти массу тела W |
поверхностями:
x 2 + y 2 + z 2 = a 2 , x 2 + y 2 = z 2 и ρ = x 2 + y 2 + z 2 .
II.Криволинейные интегралы
1.Вычислить криволинейный интеграл II рода (в декартовых
координатах) ∫(3х + у)dx + (x − y)dy , L: y = - x +1, 1≤ x≤ 3.
L
2.Вычислить криволинейный интеграл II рода (через параметр)
∫(x + 2у)dx + xdy , L: x=t, y=t3, 0 ≤ t ≤ 1.
L
3. |
Найти массу дуги кривой L: y = 4 – x 2, 1 ≤ x ≤ 2 с линейной |
||
|
|
4xy |
|
плотностью |
f(x,y) = |
|
. |
17 − 4y |
|||
4.Применяя формулу Грина, вычислить интеграл
∫ |
|
xy2 + 8x + y3 |
dx + 2x2dy , |
L: y=x2, y=x1/2. |
|
|
|||||
|
|
|
|
||||||||
L |
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5. |
(3,4) |
( |
|
x |
− |
y |
)dx + ( |
y |
+ 1)dy . |
||
Вычислить интеграл ∫ |
|
||||||||||
|
+ y 2 |
|
x2 + y 2 |
||||||||
|
(2,0) |
|
x2 |
|
x2 |
x |
|||||
6.Восстановить функцию по ее дифференциалу du = (siny +ysinx)dx +(xcosy - cosx)dy.
79
Вариант 6
I. Кратные интегралы
1. Расставить пределы в интеграле ∫∫ f (x, y)dxdy и изменить порядок
D
интегрирования, если границы области D: y = x 2 , y = 2x + 3.
2.Вычислить интеграл:
∫∫(3x − y)dxdy , ¶D : y 2 = 4 − x, y 2 = x.
D
3.Вычислить площадь фигуры, ограниченной кривой r = 2(1+ sin 2ϕ) .
4.Найти объём тела, заданного ограничивающими его поверхностями
z + x = 2, z = 0, x 2 + y 2 = 4 , x ³ 0 , y ³ 0 .
5.Вычислить тройной интеграл:
∫∫∫ |
|
dxdydz |
|
, |
W : x + y + z £ 1, x ³ 0 , y ³ 0 , z ³ 0 |
(1 |
+ x + y + z) |
3 |
|||
Ω |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
6.Найти массу тела W плотности ρ , ограниченного данными
поверхностями:
z = H, z = 0, x 2 + y 2 = R 2 и ρ = x 2 + y 2 + z 2
II. Криволинейные интегралы
1.Вычислить криволинейный интеграл II рода (в декартовых
координатах) ∫(х2 + у)dx + 2ydy вдоль кривой L: y = - x2 от точки А(-1,-1) до
L
В(0,0).
2.Вычислить криволинейный интеграл II рода (через параметр)
|
∫(x − 3у)dx + (2y − x)dy , L: x=4cost, y=2sint, -π /2≤ t ≤ 0. |
|
L |
3. |
Найти массу дуги кривой L: y = 2x − x2 , 0 ≤ x ≤ 2 с линейной |
плотностью f(x,y) =(3x2 – 2x)y .
4.Применяя формулу Грина, вычислить интеграл
|
∫ (y2 − 2xy)dx + (x2 − 2xy)dy , |
L: y=x2, y=x2 - 2, x=0, x=2. |
||||||
|
L |
|
|
|
|
|
|
|
5. |
(2,1) |
2x dx + |
y |
2 |
− 3x |
2 |
dy . |
|
Вычислить интеграл ∫ |
|
|
||||||
|
|
y4 |
|
|||||
|
(−1,2) |
y3 |
|
|
|
|
|
|
6.Восстановить функцию по ее дифференциалу
du = |
y + sin x cos2 (xy) |
dx +( |
x |
+ sin y )dy. |
|
cos2 (xy) |
|||
|
cos2 (xy) |
|
||
80